论文内容分为两部分：多步共轭辛算法的研究、Krylov延迟修正高阶辛算法的构造及数值实验。　　 第一部分包含前两章。在第一章，由葛忠和冯康、Eirola和Sanz-Serna，以及冯康和唐贻发先后给出的有关线性多步辛算法的两种不同定义，唐贻发有关线性多步辛算法、多步共轭辛算法的结果，引出Hairer有关多步共轭辛算法唯一性的一个问题。　　 第二章阐述在多步算子及多步共轭辛算法方面所获得的结果。以最少参数(6个，5个)分别给出一阶、二阶线性多步算法在冯康定义下的步推算子到O(r6)，O(r7)(r是步长)的B-级数展开式，并给出二阶辛算子到O(r7)的展开式表达式；本研究证明：在共轭关系式Gλr3oGr1：Gr2oGλr3中，若Gr1代表线性多步算子，则(1)无论Gr3代表任何B-级数，G2的精度都不会超过G1的精度，(2)若Gr2是辛算子，而Gr3是线性多步算子，则G1，G2和G3的精度分别为2，2和1，且它们形如Gr(Z)=∑+∞i=0ri/i1Z[i]+r5+1A1+r5+2A2+r53A3+r5+4A4+O(r5+5)的展开式分别与梯形格式、欧拉中点格式、欧拉向前格式的展开式只相差一个参数θ(当θ=1时完全相同)。这个结果也在一定程度上解决了Hailer提出的问题。特别地指出：对称的二阶蛙跳格式不可能通过线性多步格式而共轭辛。　　 高阶辛算法的使用往往会产生一个隐式方程组，随着阶数的增高，求解这个方程组的难度也随之增大。在第二部分，基于Dutt，Greengard和Rokhlin提出的谱延迟修正方法，通过引入了Newton-Krylov子空间的概念，给出了Krylov延迟修正辛算法，从而避免了谱延迟修正方法(1)在处理刚性问题时出现的降阶现象，(2)对某些系统(尤其是微分代数系统)迭代时出现的发散现象。并且这个方法能高效、高精确度地求解所产生的隐式方程组。通过对三个典型例子的数值实验对比说明：相对于低阶辛算法与高阶非辛算法，高阶辛算法在求解效率及对系统首次积分保持方面具有明显的优势。