论文部分内容阅读
本论文首先研究的是与群有关的von Neumann代数的交叉积。给定可数离散群G和H，设σ是从群H到G的自同构群的同态映射，则它们的交叉积G×σH也是一个可数离散群。此时(Uhζ)(g)=ζ(σh-1(g))是l2(G)上的酉算子，而h→AdUh是群H在LG上酉实现的作用，记为σ。当群G×σH在М上的作用α由酉表示(g，h)→V(g，h)实现时，βh=Ad(V(e，h)⊕Uh)是群H在М×σG上的作用，此时有交叉积М×α(G×σH)同构于(М×αG)×βH。更一般地，当α不是酉实现时，βh=α(e，h)⊕AdUh是群H在交叉积М×αG上的作用。得到М×α(GσH)同构于(М×σG)×βH。
接下来，刻画了局部紧群SL2(R)在上半复平面C+上的分式线性作用所得的酉表示以及与L∞(C+)作交叉积得到的von Neumann代数。当C+上的测度为双曲测度dxdy/y2时，SL2(R)在上半复平面的分式线性作用导出SL2(R)在希尔伯特空间L2(C+.dxdy/y2)上的酉表示以及在L∞(C+)上的连续作用α。得到这个酉表示生成的von Neumann代数是超有限的，但不是有限的。然后证明了交叉积L∞(C+)×αSL2(R)同构于交叉积L∞(SL2(R)/K)×βSL2(R)。而L∞(SL2(R)/K)×βSL2(R)同构于М×γSL2(R)，其中М是L∞(SL2(R))在SL2(R)的右正则表示p限制到子群K下的不动点代数。从而证明了交叉积L∞(C+)×αSL2(R)同构于LK×β(L2(SL2(R)/K)，v))，则L∞(C+)与SL2(R)的交叉积是个超有限的von Neumann代数，并由此证明了群SL2(R)在L∞(C+)上的遍历作用α不是自由的。
最后，刻画了C*-代数和von Neumann代数的单调积。对于C*-代数A1和A2及相应的态ρ1和ρ2，相应GNS构造为(π1，H1)和(π2，H2)，则单调积C*-代数A1ΔA2是B(H2⊕H1)中由K(H2)⊕π(A1)和π2(A2)⊕I所生成的C*-子代数。证明了K(H2)⊕π1(A1)是A1ΔA2的双边闭理想，因而单C*-代数的单调积不一定是单的C*-代数。还证明了核型C*-代数的单调积仍是核型C*-代数。若ρ1和ρ2是von Neumann代数М1和М2上的正规态，相应GNS构造为(π1，H1)和(π2，H2)，证明了von Neumann代数单调积M1ΔM2=B(H2)⊕π1(M1)。从而得到了单调积的换位子定理，并完全刻画了因子相对于忠实正规态的单调积von Neumann代数的类型。