在成像过程中,由于光学仪器和传输介质等因素的影响,人们观测到的图像通常是不清晰并且被噪声污染过的。另外,在如核磁共振成像这样的一些应用中,人们收集到的数据并不以图像的形式呈现。因此,图像的恢复与重建成为图像处理中一个经典的问题。在用于图像恢复的各种变分模型中,那些基于全变差的模型被广泛认为可以保持图像边界并去除图像中多余的细节。所以,自从这些模型由Rudin,Osher和Fatemi在1992年提出后,便一直吸引着研究者们极大的兴趣。2006年,Candès,Romberg和Tao基于全变差模型建立了从不完全频率域信息精确恢复稀疏信号和图像的可行性,这进一步说明了此类模型在图像恢复与重建中的尤为重要性。然而,由于全变差不可微与变量耦合的性质,使得此类模型通常很难求解。从全变差模型提出至今,尽管人们做出了很大的努力,但是其求解算法仍然很慢。　　 本文中,我们提出了一族求解全变差模型的交替极小化图像恢复算法。该族算法不仅适用于单、多信道的图像信号,而且在图像去模糊过程中可以去除一定水平的白噪声和脉冲噪声。对于多信道信号,该族算法允许跨信道图像模糊过程。此外,我们成功地将这种交替极小化技巧推广到从不完全Fourier系数中重建稀疏和可压缩的信号(如医学图像)。　　 尽管我们的提法基于众所周知的二次罚函数法,但由于问题的结构得到充分利用,使得该族算法的单步计算量很小,因而非常有效。具体说来,除了具有线性复杂度的有限差分和收缩运算外,算法的单步计算量主要是几个快速Fourier变换。由于这一点,再加上一个合理的收敛速率,使得该族算法的收敛速度,与当今求解全变差模型的最好的算法相比,有了收敛阶的提高。进一步,算法的实际收敛速度被一种连续化技巧大大提高。理论上,我们证明了提出的算法是对Geman和Yang在1995年提出的半二次方法的一种推广。此外,我们建立了很强的收敛性结果,其中包括一些辅助变量的有限收敛性和其余变量的依赖于某些子矩阵谱半径的q-线性收敛速率。我们给出图像去模糊和医学图像重建中大量的数值结果来说明提出的算法远优于当今求解全变差模型的最好的算法。同时,这些结果还表明,基于全变差模型的处理速度(比如我们提出的算法所达到的收敛速度)是可以与那些被广泛使用的简单模型的处理速度相媲美的。