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本论文分为两个部分.第一部分讨论了二阶和四阶椭圆算子特征值问题基于特征值上下界逼近的高精度后处理算法.第二部分讨论了空腔流振动频率特征值问题的自适应有限元方法. 在第二章,对于椭圆算子特征值问题,本文首先提出了把不能确保特征值下界的非协调有限元修改成能确保特征值下界的非协调有限元的一般性原则,这一原则基于由胡俊,黄云清和林群提出的椭圆算子特征值的下界理论.然后利用这一原则修改两个在文献中出现的非协调有限元使得它们能够产生特征值的下界.本文还证明了当三角形单元最大内角满足一定条件时,Crouzeix-Raviart(CR)元将产生特征值的下界,部分地解决了当特征函数光滑时,CR元是否产生特征值下界这一目前还没有解决的公开问题.数值算例验证了修改的两个非协调元将产生特征值的下界,还验证了Adini元产生特征值下界的条件既是充分的也是必要的. 在第三章,本文构造了基于特征值上下界的高精度后处理算法.接着给出了通过非协调元离散特征函数的投影平均插值得到特征值上界的简单方法并证明了所得到的特征值上界将收敛到精确特征值.在数值算例中,本文给出了实施后处理算法的两种方法.方法一:通过求解两次特征值问题得到特征值的上下界,进而实施后处理算法;方法二:先利用非协调有限元求解一次特征值问题得到特征值的下界,然后通过投影平均插值得到特征函数的协调元近似,再计算Rayleigh商得到特征值的上界,最后实施后处理算法.数值算例验证了这两种方法都能获得高精度和高收敛阶的特征值.但就计算时间而言,在得到特征值上界的过程中,方法二既不需要再一次求解特征值问题也不需要求解源问题,大大地减少了计算量,是一种简单经济的方法. 在第四章,对于空腔流振动频率的特征值问题,本文考虑其正则化格式,并用拉格朗日元进行离散.当u∈H1(Ω)2,本文使用自适应有限元方法求解这一问题并且给出了后验误差分析,汪明了对单重特征值在D(o)rfler标记策略下自适应有限元方法的拟最优性.数值算例验证了自适应有限元方法的拟最优性.