一般而言，动力系统主要研究“大范围”样本点“长时间”的演变规律.大量事实表明，初始状态的微小飘移可能使得未来偏差很大，如Poincare发现的横截同宿现象、Smale马蹄、Lorenz气象模型、Henon奇异吸引子等.因此，从统计角度去揭示动力系统演变规律成为大家关注的一个课题.本文主要分析动力系统演化过程中衡量复杂性的统计指标：同调群的谱半径、拓扑熵、测度熵、周期轨道的指数增长率以及它们之间的关系。　　(1)证明远离同宿切的微分同胚都满足Shub熵猜测：同调群谱半径的对数不超过拓扑熵，即代数拓扑的混乱度一定被点集拓扑的混乱度所控制。进一步，我们发现在远离切的世界里，所有系统都可以被符号编码。并且拓扑熵和测度熵都具有上半连续性。　　(2)证明非一致双曲系统的一个新的变分关系：饱和集的拓扑熵等于测度熵的下确界.这一变分关系鲜明对比于经典的变分原理：拓扑熵等于测度熵的上确界，即全测集上复杂程度可以达到整体的拓扑复杂程度.本文的变分关系可以揭示经典变分原理的另一面：在零测集上，尽管测度熵总为零，但系统的拓扑变化可以非常复杂，甚至拥有正拓扑熵.非一致双曲集是构成系统双曲部分的基本单元，进一步，本文把非一致双曲结构和变分关系定理应用到了一致双曲之外的三类典型系统：Katok的非一致双曲光滑同胚，Mane的持续传递部分双曲微分同胚和Bonatti-Viana的持续传递非部分双曲微分同胚。　　(3)证明任何双曲遍历测度的测度熵等于逼近它的周期轨道的指数增长率，从而建立了与Bowen拓扑熵公式对应的测度熵公式，并将Katok的一个不等式改进为等式.进一步，我们证明周期轨道在双曲遍历测度的支撑周围以测度熵的指数量级平均分布。　　(4)证明对任给正数K，存在两个等价的含奇点可微流，它们的统计指标展现奇异关系：一个有零拓扑熵和无穷周期指数增长率，而另一个有大于K的拓扑熵和零周期指数增长率.事实上，紧流形上可微流的熵总不会达到无穷.根据Palis稠密性猜测的观点。在开稠系统中，非零熵总伴随非零周期指数增长率，所以本文构造的系统含于排除了开稠系统后的缝隙中。