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非线性函数是组合数学中的重要研究对象，它与组合学中的其它对象有着广泛的联系.在密码学中，函数的非线性度是衡量抗差分攻击的重要标准.在流密码中，它们可以作为密钥流的生成元；在区组密码中作为S—box；在编码理论中，非线性度高的函数可以生成性质良好的纠错码，射影二重码等；在序列理论中，它们可以用来构造完美序列和几乎完美序列等.
在本文中，我们做了以下工作：(1)构造了一族有限域上的完美非线性映射；(2)利用3元弱正则bent函数构造参数为(32m，32m-1+ε3m-1，32m-2，32m-2+ε3m-1)和(32m，32m-1-1-2ε3m-1，32m-2-2ε3m-1-2，32m-2-ε3m-1)的强正则图，其中ε=±1.在参数较小的情况下，我们验证了其中的一些强正则图是新的，并证明了Coulter—Matthews bent函数是弱正则的猜想；(3)我们利用s—非线性函数和差分一致2s非线性函数构造了类数为3和4的结合方案；利用p元弱正则bent函数构造类数为p的结合方案，其中p是奇素数.特别的，由3元弱正则bent函数构造的结合方案是amorphic的；(4)我们研究了几乎p元完美序列和几乎p元拟完美序列.我们分别构造了它们的一些例子，并给出一些关于不存在性质的结果.对于周期不超过100的这种序列，我们给出了关于它们存在性的表格；(5)我们给出一类直积差集的存在性结果.最后列出了一个非弱正则3元bent函数的例子.据我们所知，这是目前已知的第二个例子.
本文共有五章.在第一章中，我们引入基本的概念和符号，并且介绍研究背景和本文的主要结果.第二章讨论由3元bent函数构造的强正则图.并证明Coulter—Matthews bent函数是弱正则的.第三章中，我们给出利用非线性函数构造结合方案的结果.在第四章中，我们研究了几乎p元完美序列和几乎p元拟完美序列.第五章给出了一族完美非线性函数；讨论一类直积差集的存在性；最后列出了一个非弱正则3元bent函数的例子.