Finsler几何就是度量没有二次型限制的黎曼几何．著名数学家黎曼(B.Riemann)在1854年所作的具有历史意义的就职演说中已考虑了这种情况，但鉴于没有二次型限制后计算上过于复杂，他将研究限于二次型度量的几何，也就是现在熟知的黎曼几何，直到1918年，P.Finsler的博士论文才研究了一般度量的曲线和曲面.因此，Finsler几何确切地应称为黎曼-Finsler几何，为方便起见，我们称其为Finsler几何，　　 1900年，D.Hilbert在巴黎数学家大会上提出的23个问题中第4和第23问题直接与Finsler几何有关．此后，在数学家E.Cartan、S.S.Chern(陈省身)、L.Berwald、J.Douglas等人的努力下，Finsler几何的内容日益丰富．　　 20世纪90年代以后，在陈省身先生的大力倡导下，在鲍大卫(D.Bao)，沈忠民(Z.Shen)等人的努力下，Finsler几何的研究取得了许多突破性的进展．黎曼几何中的许多重要的整体性结果被推广到Finsler几何上，这不仅仅是更普适的结果，同时也给我们提供了一种更好的几何认知．重要的结果有：测地线理论([BCS])，比较定理([BCS，Sh1，Sh2，XY])，调和映射([HS，MY，SY])，Gauss-Bonnet定理([BC])等．　　 本文主要运用M.Gromov的方法，利用拓扑、代数等工具研究Finsler流形的曲率与拓扑．主要内容分为三个部分，分别探讨了Finsler流形的Gromov预紧性定理、Finsler流形的体积测度和Finsler流形上的基本群.