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物体在有心力作用下的运动轨迹为圆锥曲线，即椭圆、抛物线或双曲线.这些曲线都是有心曲线，焦点为力心，因此都遵循光学反射定律.
对于双曲线，除了光学性质，还有两个有趣的数学性质，在解答有关物理问题时很有用，下面先证明这两个结论，然后利用这两个结论来推导 粒子散射公式.
1结论证明
结论1双曲线焦点到渐近线的距离等于半虚轴长 .
证明如图1所示，在直角坐标系中的一支双曲线，以实轴为χ 轴，虚轴为y 轴，其方程为 x2a2-y2b2=1，渐近线方程为y=±bax .画出一条渐近线OE ，则在直角三角形 中OAC中 ，OA=a，AC=b，则由勾股定理可知斜边与直角边的关系为OC2=a2+b2.而对于双曲线，焦距与实半轴和虚半轴的关系为c2=a2+b2 ，因此直角三角形OAC的斜边长等于双曲线的焦距，即OC=c .过焦点作渐近线的垂线FD ，由于OF=c ，则在两个直角三角形中，斜边相等，又由于对应角相等，因此两个三角形全等，所以焦点到渐近线的距离为FD=AC=b，即焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b .
结论2 一支双曲线的斥力心与另一支双曲线引力心重合.
证明万有引力和库仑力都是平方反比力，因此都是有心力.对于天体在万有引力作用下的双曲线运动，中心天体在双曲线的焦点上，即引力心位于运动轨迹的凹侧.与此类似，若电荷在库仑引力作用下沿双曲线运动，则靶电荷在双曲线的焦点上，即引力心位于运动轨迹的凹侧.
对于在斥力作用下的双曲线运动，瞄准电荷在靶电荷的库仑斥力作用下的运动，其轨迹为双曲线的一支，则力心位于运动轨迹的凸侧，如图2所示，靶电荷位于点C ，瞄准距离为d ，轨迹的对称轴是通过力心C与最近距离位置D的直线，对称轴与运动轨迹的交点D为双曲线的顶点，初速度所在直线AB为一条渐近线，可画出另一条渐近线，两条渐近线关于双曲线的对称轴对称，交点为O.根据对称性可画出另一支双曲线，其斥力心在点C' ，可见一支双曲线的斥力心位于另一支双曲线的凹侧，是另一支双曲线的引力心，而引力心为焦点，所以，一支双曲线的斥力心位于另一支双曲线的焦点，即斥力心与引力心重合.
还可证明如下：一条双曲线的力心必在对称轴上，而且引力心离曲线的顶点较近，斥力心离曲线的顶点较远，即r2>r1 ，如图3所示，只要双曲线的形状是确定的，那么引力心与斥力心到顶点的距离就唯一确定，而不可能是任何其它值.这样，在引力心或斥力心单独存在时，运动轨迹为同一条特定形状的双曲线，则顶点到两个力心的距离之差r2-r1 为一确定常数.根据对称性，若在图中画出另一条双曲线，由于形状完全相同，那么其中一支双曲线的斥力心必为另一支双曲线的引力心，因此一支双曲线的斥力心位于另一支双曲线的焦点.
2结论应用
例题 当一个正电荷掠过一个固定的正电荷时，其运动轨迹为一条双曲线，如图2所示，在α粒子散射现象中，设有一个原子序数为Z的重核位于双曲线的左侧C点，当一个质量为m 的α 粒子以初速度为υ0 沿一条瞄准距离为d 的直线AB方向射入时，由于受到原子核斥力的作用，运动轨迹为一支双曲线，设速度偏转角即散射角为θ ，质子的电荷量为e ，静电力常量为k ，试推导a 粒子散射公式cotθ2=kmυ202Ze2d
分析 在a 粒子散射现象中，瞄准电荷为a粒子，靶电荷为重核如金原子核， a粒子在库仑斥力作用下运动，其轨迹为双曲线的一支，力心位于运动轨迹的凸侧，由结论2可知，若一个重核为右侧一支双曲线的斥力心，则该重核恰好位于双曲线的左焦点C ，而初速度所在直线为渐近线，由于斥力心到渐近线的距离d为瞄准距离，因此左焦点到渐近线的距离为瞄准距离d ，根由结论1可知瞄准距d 等于双曲线的半虚轴长b.
对于双曲线，除了光学性质，还有两个有趣的数学性质，在解答有关物理问题时很有用，下面先证明这两个结论，然后利用这两个结论来推导 粒子散射公式.
1结论证明
结论1双曲线焦点到渐近线的距离等于半虚轴长 .
证明如图1所示，在直角坐标系中的一支双曲线，以实轴为χ 轴，虚轴为y 轴，其方程为 x2a2-y2b2=1，渐近线方程为y=±bax .画出一条渐近线OE ，则在直角三角形 中OAC中 ，OA=a，AC=b，则由勾股定理可知斜边与直角边的关系为OC2=a2+b2.而对于双曲线，焦距与实半轴和虚半轴的关系为c2=a2+b2 ，因此直角三角形OAC的斜边长等于双曲线的焦距，即OC=c .过焦点作渐近线的垂线FD ，由于OF=c ，则在两个直角三角形中，斜边相等，又由于对应角相等，因此两个三角形全等，所以焦点到渐近线的距离为FD=AC=b，即焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b .
结论2 一支双曲线的斥力心与另一支双曲线引力心重合.
证明万有引力和库仑力都是平方反比力，因此都是有心力.对于天体在万有引力作用下的双曲线运动，中心天体在双曲线的焦点上，即引力心位于运动轨迹的凹侧.与此类似，若电荷在库仑引力作用下沿双曲线运动，则靶电荷在双曲线的焦点上，即引力心位于运动轨迹的凹侧.
对于在斥力作用下的双曲线运动，瞄准电荷在靶电荷的库仑斥力作用下的运动，其轨迹为双曲线的一支，则力心位于运动轨迹的凸侧，如图2所示，靶电荷位于点C ，瞄准距离为d ，轨迹的对称轴是通过力心C与最近距离位置D的直线，对称轴与运动轨迹的交点D为双曲线的顶点，初速度所在直线AB为一条渐近线，可画出另一条渐近线，两条渐近线关于双曲线的对称轴对称，交点为O.根据对称性可画出另一支双曲线，其斥力心在点C' ，可见一支双曲线的斥力心位于另一支双曲线的凹侧，是另一支双曲线的引力心，而引力心为焦点，所以，一支双曲线的斥力心位于另一支双曲线的焦点，即斥力心与引力心重合.
还可证明如下：一条双曲线的力心必在对称轴上，而且引力心离曲线的顶点较近，斥力心离曲线的顶点较远，即r2>r1 ，如图3所示，只要双曲线的形状是确定的，那么引力心与斥力心到顶点的距离就唯一确定，而不可能是任何其它值.这样，在引力心或斥力心单独存在时，运动轨迹为同一条特定形状的双曲线，则顶点到两个力心的距离之差r2-r1 为一确定常数.根据对称性，若在图中画出另一条双曲线，由于形状完全相同，那么其中一支双曲线的斥力心必为另一支双曲线的引力心，因此一支双曲线的斥力心位于另一支双曲线的焦点.
2结论应用
例题 当一个正电荷掠过一个固定的正电荷时，其运动轨迹为一条双曲线，如图2所示，在α粒子散射现象中，设有一个原子序数为Z的重核位于双曲线的左侧C点，当一个质量为m 的α 粒子以初速度为υ0 沿一条瞄准距离为d 的直线AB方向射入时，由于受到原子核斥力的作用，运动轨迹为一支双曲线，设速度偏转角即散射角为θ ，质子的电荷量为e ，静电力常量为k ，试推导a 粒子散射公式cotθ2=kmυ202Ze2d
分析 在a 粒子散射现象中，瞄准电荷为a粒子，靶电荷为重核如金原子核， a粒子在库仑斥力作用下运动，其轨迹为双曲线的一支，力心位于运动轨迹的凸侧，由结论2可知，若一个重核为右侧一支双曲线的斥力心，则该重核恰好位于双曲线的左焦点C ，而初速度所在直线为渐近线，由于斥力心到渐近线的距离d为瞄准距离，因此左焦点到渐近线的距离为瞄准距离d ，根由结论1可知瞄准距d 等于双曲线的半虚轴长b.