摘 要： 高中数学中“数形结合”是一种非常重要的思想.“数”与“形”是数学中两个最基本的概念，一个用抽象的数字描述问题，一个用直观的图形呈现问题，既分析其代数含义又分析其几何含义.
　　关键词： 数形结合 转换 对应 思维
　　高中数学中，“数形结合”是一种非常重要的解题方法和思维方式.“数”与“形”是数学中两个最基本的概念，一个用抽象的数字描述问题，一个用直观的图形呈现问题.熟练地应用“数形结合”方法，可以做到把“数”变成“形”，把“形”变成“数”，根据自己的需求相互结合应运.但是，我们该如何用“数形结合”解决问题呢？我认为应该注意以下三点.
　　一、切实把握“数”与“形”的对应关系
　　数形结合的核心是“数”与“形”的对应关系，熟知这些对应关系，才能沟通两者的联系，才能把握住每个研究对象在数量关系上的性质与相应的图形特征之间的联系，以求相辅相成、相互转化.
　　例1：已知acosα bsinα=c，acosβ bsinβ=c（a，b≠0，α-β≠kπ，k∈Z）.求证：cos = .
　　分析：由条件式的结构，让人很容易联想到直线方程，即点A（cosα，sinα）与B（cosβ，sinβ）是直线ax by=c上的两点，另外又由cos a sin a=1及cos β sin β=1，可知，A、B两点在单位圆x y =1上，即点A、B是直线ax by=c与单位圆x y =1的交点条件所具有的几何意义，使我们联想到易于用数形结合处理问题.
　　解：在平面直角坐标系中点A（cosα，sinα）与B（cosβ，sinβ）是直线l：ax by=c与单位圆x y =1的两个交点，如图1所示，从而有
　　|AB| =（cosα-cosβ） （sinα-sinβ） =2-2cos（α-β）
　　又∵单位圆的圆心到直线的距离d=
　　由平面几何知识可知
　　|OA| -（ |AB|） =d ，即1- =d =
　　以证得
　　cos =
　　在明确了所给条件的几何意义之后，还要根据图形的性质分析清楚其结论的几何意义，这样才能选择恰当的方法完成证明.
　　二、运用“形”的直观解决数量关系
　　灵活应用“数”与“形”的转化，提高思维灵活性和创造性.运用数形结合的方法解决数学问题，但并不是要将每一道数学题都用图像法呈现出来去解，或是把每一副数学图像都转化成数学方程来解，而是根据题目的具体情况.
　　若数学问题的条件或结论的表达式有明显的几何意义，或通过转化可与之建立联系时，就可以探求图形的关系着手解答.
　　例2：已知C<0，试比较C，2 ，（ ） 的大小.
　　分析：这是比较数值大小的问题，用比较法会在计算中遇到一些困难，在同一坐标系中，画出三个函数：y=x、y=2 、y=（ ） 的图像位于y左侧的部分，如图2所示，很快就可以从三个图像的上、下位置关系得出正确的结论.
　　函数图像及性质与代数运算巧妙地结合，会给解题带来极大的方便.
　　三、利用数量关系揭示几何图形的性质
　　由“数”到“形”，灵活运用解析的思想，可以帮助我们更快捷地应对数学上的几何题.
　　例3：如图3所示，已知圆C 的半径为r （n=1，2，…），它们均与大小为2θ（θ为锐角）的定角∠AOB的两边OA、OB相切，并且圆C 与C 彼此外切，又r ∠r ，且r =1.试证明：不管在这组圆C 中任意取出多少个（顺序不论），所有取出的圆面积之和必小于半径r= 的圆面积.
　　分析：分析结论可知，应从证明 =常数q（|q|<1）入手，而圆与圆外切，可构造直角三角形并利用三角比的关系得出相邻两圆的半径间关系.
　　解：设圆C 与C 分别与OB相切于B 和B ，作C C⊥C B 于C，则CC =r -r .在Rt△C C C中，sinθ= = ，
　　得 =
　　设圆C 的面积为S ，则 =（ ） 为定值.
　　∵0　　∴数列﹛S ﹜是首项为S =π×1 =π，其公比为（ ） 的无穷等比数列.故所有圆面积的和为S=S S … S …= = = =π（ ） .
　　若从圆簇C 中任意取出n个，则其面积和必小于所有圆面积和S.
　　本题充分利用图形的几何特性，其中重要的一步sinθ= 就是由圆与圆外切的特性得到化“形”为“数”的.
　　总的来讲，采用数形结合思想解数学题，就是对题目中的条件与结论，既分析其代数含义又分析其几何含义，根据自己的需要在数与形之间灵活的转换和应运，将代数和几何统一起来解决问题的方法.