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【摘 要】好多学生甚至有些老师对做功的计算和动能定理的应用存在理解误区。通过例子来具体说明功W=Fv·（受力点位移L v），系统动能定理应为W内+W外=∑ni=1 12mi（vi末2-vi初2）。
【关键词】受力点位移；内力做功；系统动能定理
1. 功W=Fv·（受力点位移L v）
在高中阶段，谈力做功也好，谈动能也罢，都是默认为以地面为参考系。所以功W=Fv·L v 是力与受力点对地位移的点乘。当物体可以看作质点或平动时，受力物体的位移与受力点的位移是一样的，所以功等于力与受力物体对地位移的点乘。但是当物体不是平动而且也不能当作质点时，物体受力点的位移与物体的位移就不一定相同。上题中力的作用点在脚上，而脚的运动情况与人的运动情况是不尽相同的，人既不是平动，也不能当作质点，因此应该用摩擦力乘以脚对地的位移。人在跑步过程中，总是一只脚着地，一只脚在空中向前运动，空中的脚落地时，地上的脚离地在空中向前运动，双脚交替进行。在地面上受摩擦力的脚与地面相对静止，没有位移，故摩擦力对着地脚做功为零；在空中运动的脚有位移但是不受地面的摩擦力，故摩擦力对空中的脚做功也为零。人无论加速减速还是匀速运动，只要着地的脚与地面没有相对运动，那么地面的摩擦力对人就没有做功。在开篇的习题中，脚与地面没有相对滑动，所以在各个阶段地面对人都没有做功。所以正确答案应该为C。为了便于理解，我们再举几个例子。
例1.1，一匀质长方体木块静止放于光滑地面上，一颗子弹以初速度v0 水平向右射入木块，最后留在木块中，子弹打入的深度为 d，在打入过程中木块的位移为L，假设射入过程中子弹与木块间的力f 大小恒定，求子弹对木块和木块对子弹做的功W1 和W2 分别为多少？
解析：为了简化，我们把子弹当作质点。射入过程中，子弹对地的位移为（L+d），故而阻力对子弹做功W1=-f （L+d）。木块长度不能忽略，木块也不能当作质点，子弹对木块作用力的作用点一直在变，子弹在木块上打入的深度为d的径迹可以认为是由无数个质点组成的一条线段，在子弹对每一个质点作用过程中，每个质点在力作用下位移分别为l1 ，l2， ，l3， ，l4，，l5，，l6……在相同的时间段里，每个质点位移与木块的整体位移都相同，所以l1 ，l2， ，l3， ，l4，，l5，，l6……恰好就是木块在各个小时间段里的位移，所以这些小位移之和恰好等于木块总位移L。子弹对木块做的功W2=fl1+fl2+fl3+fl4+...=fL 。
由上例可以看出，当物体平动时，由于作用点的位移与物体整体位移相同，所以无论受力点变化与否，外力对物体做的功都等于作用力点乘物体对地的位移。下面我们再看一个更直观的例子。
例1.2，如图2所示，粗糙水平面上的物块以水平向右的初速度v0 向右滑行，已知物体的质量为m，物体与地面间的滑动摩擦因数为u ，求物块向右滑行了L的过程中，摩擦力对物块做功W1 和摩擦力对地面做功W2 分别为多少？
解析：（1）以物块为研究对象，物块的受力点始终是底面，受力部分不变，受力的大小亦不变，所以摩擦力对物体做的功就等于摩擦力乘以物块底面的位移（物块位移），即W1=-umgl 。（2）摩擦力对地面做的功要用摩擦力乘以地面受力点的位移。地面的受力点一直在变化，但是地面上的每个受力质点在受到物块摩擦力时都不动（对地位移为零），故而摩擦力对地面每个受力点做功都为零，对地面做的总功也就是零。
综上所述，功等于力与受力点对地位移的点乘。当物体可以当作质点或是做平动时，功即等于力与物体对地位移的点乘。但当物体不能当作质点且也不做平动时，功只能用力与物体受力点对地位移的点乘。
2. 内力的功也可以改变物体的动能
通常应用动能定理时只研究外力的功是因为研究对象通常只是单个物体且为刚体，刚体内力做功代数和一定为零，所以不用考虑内力的功，物体动能变化量只用外力的功来量度。而当内力做功代数和不为零时，内力的功则不能忽略。下面也通过几个例子加以说明。
例2.1如图3所示，封闭有一定量气体的绝热汽缸固定在地面上，左侧的绝热活塞在外力F作用下缓缓向右移动压缩气体。活塞与汽缸间的摩擦忽略不计。封闭气体的动能是否增加？内能如何变化？
解析：以封闭气体为研究对象，活塞对气体做正功。若错误理解动能定理认为动能变化量等于外力做功代数和，则会得出封闭气体的动能（隶属于机械能的动能）增加，而事实上，封闭气体的动能（隶属于机械能的动能）与开始一样，仍然为零，理论结果与事实有矛盾。
从能量角度分析，外力F做正功消耗了外界的能量，分子力做正功，消耗了分子势能，外界消耗的能量和减少的分子势能全部转化成了分子动能。
由上例可以看出，对系统应用动能定理时，不仅要考虑外力的功还要考虑内力的功，计算系统动能应该是各个质点的动能之和。即W内+W外=∑ni=1 12mi（vi末2-vi初2） 。为了便于理解我们再看看下面的例子。
例2.2如图4所示，一质量为M的木板静止放在光滑水平地面上，一质量为m的小物块以水平初速度v0 滑上木板的左端。物块和木板间的滑动摩擦因数为u ，经过一段时间后二者共速，在相对运动过程中，物块相对木板位移为L，求物块和板的末速度是多少？
解析：假设木板对地位移为S，末速度为 v。
摩擦力对木板做功W1=umgS= 12 Mv2 ①
摩擦力对物块做功W2=-umg（L+S）= 12 mv2- 12 mv02 ②
①+②得-umgL= 12 mv2 + 12 Mv2- 12 mv02 ③
解得系统末速度v=mv02-2umgLM+m 。
③式恰好就是对物块和木板组成的系统的动能定理。外力做功为零，内力（摩擦力）对系统做功代数和等于系统动能的增加量。
从功能关系的角度来看，摩擦力通过对物块和木板组成的系统做负功（Wf=-umgL ）把系统的一部分动能转化成了内能。系统动能向内能转化的量为umgL 。对系统列功能关系应该为umgL= 12 mv02 - 12（m+M）v2。
在本例中，系统内力的功影响了系统的动能。故而对物体或系统列动能定理时既应该考虑外力的功，也应该考虑内力的功，只有当物体为刚体或系统内力的功为零时，列动能定理时才只考虑外力的功。
为了简单起见，应用动能定理时选的研究对象往往是单个物体，选系统时往往应用能量守恒。
综上所述，计算功时应该用力与受力点对地的位移的点乘，列动能定理时，应该是内外力做功的代数和等于研究对象动能的变化量。
收稿日期：2013-08-11
【关键词】受力点位移；内力做功；系统动能定理
1. 功W=Fv·（受力点位移L v）
在高中阶段，谈力做功也好，谈动能也罢，都是默认为以地面为参考系。所以功W=Fv·L v 是力与受力点对地位移的点乘。当物体可以看作质点或平动时，受力物体的位移与受力点的位移是一样的，所以功等于力与受力物体对地位移的点乘。但是当物体不是平动而且也不能当作质点时，物体受力点的位移与物体的位移就不一定相同。上题中力的作用点在脚上，而脚的运动情况与人的运动情况是不尽相同的，人既不是平动，也不能当作质点，因此应该用摩擦力乘以脚对地的位移。人在跑步过程中，总是一只脚着地，一只脚在空中向前运动，空中的脚落地时，地上的脚离地在空中向前运动，双脚交替进行。在地面上受摩擦力的脚与地面相对静止，没有位移，故摩擦力对着地脚做功为零；在空中运动的脚有位移但是不受地面的摩擦力，故摩擦力对空中的脚做功也为零。人无论加速减速还是匀速运动，只要着地的脚与地面没有相对运动，那么地面的摩擦力对人就没有做功。在开篇的习题中，脚与地面没有相对滑动，所以在各个阶段地面对人都没有做功。所以正确答案应该为C。为了便于理解，我们再举几个例子。
例1.1，一匀质长方体木块静止放于光滑地面上，一颗子弹以初速度v0 水平向右射入木块，最后留在木块中，子弹打入的深度为 d，在打入过程中木块的位移为L，假设射入过程中子弹与木块间的力f 大小恒定，求子弹对木块和木块对子弹做的功W1 和W2 分别为多少？
解析：为了简化，我们把子弹当作质点。射入过程中，子弹对地的位移为（L+d），故而阻力对子弹做功W1=-f （L+d）。木块长度不能忽略，木块也不能当作质点，子弹对木块作用力的作用点一直在变，子弹在木块上打入的深度为d的径迹可以认为是由无数个质点组成的一条线段，在子弹对每一个质点作用过程中，每个质点在力作用下位移分别为l1 ，l2， ，l3， ，l4，，l5，，l6……在相同的时间段里，每个质点位移与木块的整体位移都相同，所以l1 ，l2， ，l3， ，l4，，l5，，l6……恰好就是木块在各个小时间段里的位移，所以这些小位移之和恰好等于木块总位移L。子弹对木块做的功W2=fl1+fl2+fl3+fl4+...=fL 。
由上例可以看出，当物体平动时，由于作用点的位移与物体整体位移相同，所以无论受力点变化与否，外力对物体做的功都等于作用力点乘物体对地的位移。下面我们再看一个更直观的例子。
例1.2，如图2所示，粗糙水平面上的物块以水平向右的初速度v0 向右滑行，已知物体的质量为m，物体与地面间的滑动摩擦因数为u ，求物块向右滑行了L的过程中，摩擦力对物块做功W1 和摩擦力对地面做功W2 分别为多少？
解析：（1）以物块为研究对象，物块的受力点始终是底面，受力部分不变，受力的大小亦不变，所以摩擦力对物体做的功就等于摩擦力乘以物块底面的位移（物块位移），即W1=-umgl 。（2）摩擦力对地面做的功要用摩擦力乘以地面受力点的位移。地面的受力点一直在变化，但是地面上的每个受力质点在受到物块摩擦力时都不动（对地位移为零），故而摩擦力对地面每个受力点做功都为零，对地面做的总功也就是零。
综上所述，功等于力与受力点对地位移的点乘。当物体可以当作质点或是做平动时，功即等于力与物体对地位移的点乘。但当物体不能当作质点且也不做平动时，功只能用力与物体受力点对地位移的点乘。
2. 内力的功也可以改变物体的动能
通常应用动能定理时只研究外力的功是因为研究对象通常只是单个物体且为刚体，刚体内力做功代数和一定为零，所以不用考虑内力的功，物体动能变化量只用外力的功来量度。而当内力做功代数和不为零时，内力的功则不能忽略。下面也通过几个例子加以说明。
例2.1如图3所示，封闭有一定量气体的绝热汽缸固定在地面上，左侧的绝热活塞在外力F作用下缓缓向右移动压缩气体。活塞与汽缸间的摩擦忽略不计。封闭气体的动能是否增加？内能如何变化？
解析：以封闭气体为研究对象，活塞对气体做正功。若错误理解动能定理认为动能变化量等于外力做功代数和，则会得出封闭气体的动能（隶属于机械能的动能）增加，而事实上，封闭气体的动能（隶属于机械能的动能）与开始一样，仍然为零，理论结果与事实有矛盾。
从能量角度分析，外力F做正功消耗了外界的能量，分子力做正功，消耗了分子势能，外界消耗的能量和减少的分子势能全部转化成了分子动能。
由上例可以看出，对系统应用动能定理时，不仅要考虑外力的功还要考虑内力的功，计算系统动能应该是各个质点的动能之和。即W内+W外=∑ni=1 12mi（vi末2-vi初2） 。为了便于理解我们再看看下面的例子。
例2.2如图4所示，一质量为M的木板静止放在光滑水平地面上，一质量为m的小物块以水平初速度v0 滑上木板的左端。物块和木板间的滑动摩擦因数为u ，经过一段时间后二者共速，在相对运动过程中，物块相对木板位移为L，求物块和板的末速度是多少？
解析：假设木板对地位移为S，末速度为 v。
摩擦力对木板做功W1=umgS= 12 Mv2 ①
摩擦力对物块做功W2=-umg（L+S）= 12 mv2- 12 mv02 ②
①+②得-umgL= 12 mv2 + 12 Mv2- 12 mv02 ③
解得系统末速度v=mv02-2umgLM+m 。
③式恰好就是对物块和木板组成的系统的动能定理。外力做功为零，内力（摩擦力）对系统做功代数和等于系统动能的增加量。
从功能关系的角度来看，摩擦力通过对物块和木板组成的系统做负功（Wf=-umgL ）把系统的一部分动能转化成了内能。系统动能向内能转化的量为umgL 。对系统列功能关系应该为umgL= 12 mv02 - 12（m+M）v2。
在本例中，系统内力的功影响了系统的动能。故而对物体或系统列动能定理时既应该考虑外力的功，也应该考虑内力的功，只有当物体为刚体或系统内力的功为零时，列动能定理时才只考虑外力的功。
为了简单起见，应用动能定理时选的研究对象往往是单个物体，选系统时往往应用能量守恒。
综上所述，计算功时应该用力与受力点对地的位移的点乘，列动能定理时，应该是内外力做功的代数和等于研究对象动能的变化量。
收稿日期：2013-08-11