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数学思想是对数学概念、数学原理及数学方法的本质认识，是数学的灵魂和数学认识价值的体现，是学生形成良好数学认知结构的纽带，因此数学思想的学习和感悟是中学数学教学的重要内容。《义务教育数学课程标准》（2011年版）首次把数学的基本思想作为四基之一。由于数学思想多数是隐性的，常常蕴含在数学知识的产生、形成和应用过程中，致使数学教学中出现只关注数学知识的学习，而忽视数学知识内部隐含的数学思想的偏差现象，由此彰显出研究数学思想的教学设计及实施的重要性。
一、从初中几何教学片段窥数学思想的教学现状
笔者观摩了《多边形的内角和》课题的教学，教师引导学生在回顾三角形内角和的基础上，研究大家熟悉的四边形的内角和，并请同学小组合作讨论和汇报。有的学生从矩形、正方形的内角和是360°得到四边形的内角和也为360°。还有以下一些方法：如图1，连接AC，把四边形分成两个三角形，而每一个三角形的内角和等于180°，所以四边形的内角和等于两个三角形的内角和。如图2，在BC边上任取一点P，连接AP、DP，四边形的内角和等于三个三角形的内角和减去一个平角。如图3，在四边形ABCD内任取一点O，连接AO、BO、CO、DO，四边形内角和等于四个三角形内角和减去一个周角，等等。教师在肯定学生已有方法基础上，告诉学生求四边形的内角和，通常转化成两个三角形的内角和，这就是数学中的化归思想。并提出求任意的五边形、六边形的内角和问题，学生通过把多边形分解成多个三角形，求出了五边形、六边形的内角和，师生共同概括出这节课的主要内容：多边形的内角和为（n-2）·180°。
教师虽然尊重学生思维的差异和发展，但学生的认识停留在“一题多解”的操作层面，教师缺乏组织学生思考“一题多解”背后有什么共性的能力而只是简单告诉学生化归思想，忽视引导学生对各种方法本质的提炼，缺乏对化归思想的感悟和概括过程，使得显性知识背后隐含的数学思想“蜻蜓点水”，数学思想的显化提炼肤浅。
二、基于启发式教学的数学思想教学设计思路
《义务教育数学课程标准》（2011年版）把注重启发式、实行启发式教学作为课程的基本理念和实施建议，因此在数学教学中实施启发式教学显得尤为必要。启发式数学教学重在激活学生的数学思维活动，重在启发学生数学思维的深层参与，揭示数学的本质，强调教师从学生已有的数学知识、经验和思维水平出发，力求创设“愤悱”的数学教学情境，形成认知和情感的不平衡态势，从而引导学生学会思考，学生的数学思维得以发生和发展[1]。数学思想方法是对数学知识综合贯通的理解和升华。学生头脑中的数学思想一开始不是自发产生的，只有教师有意识地启发引导，才能使学生形成对数学思想个性化的理解和领悟。
数学思想教学的设计路线图：
体味是指教师要精通数学、钻研数学教学内容，感知数学知识隐含的数学思想，把握数学对象的本质特征。提炼是指精心设计教学过程，以启发式教学思想为指导，不仅关注数学知识的形成过程，更注重对数学思想实质的凸显。前两个环节突出强调教师对数学思想认识的重要性。渗透是指在教学过程中多次孕育，积累足够的感性体验，让学生感悟数学思想，教师把握启发的恰当时机，逐步深入，层层推进。概括是指数学思想方法逐步显性化，由师生共同概括出数学思想的本质，避免教师的简单告之。后两个环节突出强调教学过程中，在教师的启发引导下，学生主动积极建构数学思想。
三、《探索多边形的内角和》的教学设计
1.教学任务分析
化归是重要的数学思想，是化未知为已知、化复杂为简单、化陌生为熟悉的过程。在平面几何中，要解决一个较为复杂的图形问题，常常将其分解成基本图形，并应用基本图形的有关性质使复杂问题得以解决。“探索多边形的内角和”课题较好地体现了化归思想的运用。
本节课是《义务教育课程标准实验教科书》北师大版八年级上册第四章第六节“探索多边形内角和与外角和”的第一课时，是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，同时与下一课时多边形的外角和一脉相承。通过本课题的学习使学生经历探索、归纳、质疑等活动，积累数学活动经验，发展合情推理能力，让学生对发现的结论进行说理和简单推理，体会数学知识间的内在联系、感悟化归思想的实质。
2.教学过程设计
（1）教师设问，引入课题
教师提问：前面我们一起学习了三角形的内角和是180°，在平面图形中，除了三角形之外，生活中还有哪些常见的图形呢？
进一步追问：学习数学，我们要学会思考，学会联系，那大家思考一下，今天我们该学习什么内容？
【设计意图】教师通过设问，激活学生已有的知识和经验。运用方法论提示语启发引导学生认识到需要研究多边形的内角和，符合学生的认知规律，产生内在的学习需求。
（2）尊重差异，探寻方法
教师提问：研究问题，往往从特殊到一般，研究多边形的内角和，我们先研究（停顿，等待学生回答四边形、五边形等边数较少的图形），再研究多边形。四边形内角和是多少？
学生小组讨论，得出如下思考途径：
①快速回答360°。从矩形、正方形的内角和等于360°想到的。
②利用三角形的内角和为180°，把四边形分割成两个三角形。连接四边形的一条对角线就可以实现（如图1）。
③把四边形分割成若干个三角形的方法多样化，都可以说明四边形的内角和为360°（如图2～图5）。
④把四边形分割成一个平行四边形和三角形，利用平行四边形的性质和三角形内角和也可以实现（如图6）。
教师引导：上述图1～图6都充分证实了直接猜想四边形内角和360°是正确的，也就是说利用特殊法可以帮助我们指明解决问题的方向，因此解决问题时可以从特殊的情况出发进行研究，再探讨其一般性的结论。对于图1～图5的证明思路如何来概括一下？ 师生概括：四边形的内角和转化成我们已经学过的三角形的内角和。这种思考解决问题的思想在数学中称之为化归思想。
【设计意图】放手让学生探索解决问题的方法，开拓学生的思维。在整个教学过程中，教师注意引导学生对不同的思考途径给予合理的分析，尤其要引导学生通过数量关系发现四边形的内角和是三角形内角和的2倍这一重要特征，由此自然产生把四边形分割成两个三角形的思考路线，让学生体会特殊法在数学问题解决中的优势。教学过程中，教师循序渐进地引导使学生初步感受化归思想，积累感性体验，此时认识处于直观感知状态，对图6方法暂时不做过多的分析说明，为后继的学习埋下伏笔。
（3）创设情境，形成认知困惑
教师提问：对于五边形呢？（学生利用已有的知识能够解决）
教师追问：六边形、七边形、八边形呢？
【设计意图】创设“愤悱”的问题情境，让学生体会到虽然所求图形发生变化，但研究方法是相同的，即把所求的图形分割成若干个三角形。能否找到一个统一的表达式，既方便又快速地得到任意多边形的内角和？使学生体验到学习内角和的必要性，突出该节课的重点内容。
（4）利用启发性提示语，探求新知
教师提问：如何求n边形的内角和？学生在前面学习的基础上，自然想到把n边形分割成若干个三角形。
教师追问：把n边形分割成若干个三角形的办法很正确，那到底如何分割？分割成几个三角形呢？
学生探求解决问题的途径如下：
①通过观察三角形、四边形、五边形以及六边形可以发现n边形可以分割成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为（n-2）·180°。
②从n边形的一个顶点出发，分别与剩余的（n-1）个顶点相连，就有（n-1）条线段，再减去两条边所在的线段，也就是被（n-3）条线段分割，形成（n-2）个小三角形。
③从n边形内部任取一点，分别与n个顶点相连，形成n个小三角形，那么n个小三角形的内角和为n·180°，再减去一个周角，也可以得到n边形的内角和为（n-2）·180°。
师生概括：分割n边形的方法与分割四边形的方法（图1～图5）本质上是相同的，最终化归为熟悉的三角形内角和问题。
【设计意图】学生自然而然想到把n边形分割成若干个三角形，让学生再次体验化归思想，逐渐领悟化归的实质。对n边形内角和的研究，从具体上升为抽象，思维活动也从直观感知上升到思辨推理。同时从方法论的意义，引导学生通过观察、实验、归纳等科学方法发现数学规律，培养学生认识数学思想和数学方法的价值。
（5）克服负迁移，概括化归思想
教师引导：我们解决n边形内角和的过程实质上就是化归思想的运用。梳理一下自己的思路，思考通过本节课的学习，谈谈对化归思想的认识？
学生经过思考后，不难概括出如下认识：
①化归思想就是把多边形分割成若干个三角形。
②化归思想就是把不熟悉的化成我们熟悉的，把不会解决的问题化成会解决的问题。
③化归思想比较实用，主要问题是如何化归。
教师追问：化归思想就是把多边形分割成若干个三角形的认识合理吗？
学生讨论，形成合理的认识：把多边形分割成若干个三角形是化归的途径之一，但不一定都要分割为三角形，只要是我们熟悉的，已经解决的图形都可以（如图6）。
过点A作AP∥CD交BC于P，把四边形分割成一个三角形和一个平行四边形，再利用平行线的性质同旁内角互补也可求出。
师生概括：化归思想的三个要素：未解决的问题（对象）、已解决的问题（目标）、转化的途径（方法），关键是如何化归。化归思想的本质是把不易解决或未解决的问题转化为易解决或已解决的问题，把复杂的问题转化为简单的问题。
教师追问：我们知道条条大路通罗马，化归的方法不是唯一的，那研究四边形和多边形的内角和时，一定要把图形分割吗？（如图7）
【设计意图】结合学生对化归思想的认识，教师抓住时机启发引导学生进行深入的思考，结合图6的证明途径，在互相交流中提升对化归思想本质的认识，克服思维定势，完善认知结构。最后师生共同提炼概括化归思想的实质，使化归思想明朗化，凸显数学思想的认识价值。并进一步引申，使学生产生了新的疑难和困惑，引发其课后对化归思想的深入探索。
学生感悟和把握数学思想，使其转化为自己头脑中的数学思想，与数学概念、原理等学习相比有一定的难度，对数学教师提出了更高的要求。教师在选择教学内容时，不是对教材的复制，而是按“教与学对应”、“教与数学对应”的原理对教材内容进行教学法加工[2]，引导学生体味并提炼数学知识背后蕴含的数学思想，有意识地安排学生从中感悟数学思想的过程。通过多次孕育渗透，并善于利用启发性提示语，引导学生思维的深层参与，从而领悟数学思想的真谛，凸显数学思想的认识价值。
参考文献
[1] 韩龙淑，王新兵.数学启发式教学的基本特征[J].数学教育学报，2009（6）.
[2] 涂荣豹.新编数学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2008.
【责任编辑 郭振玲】
一、从初中几何教学片段窥数学思想的教学现状
笔者观摩了《多边形的内角和》课题的教学，教师引导学生在回顾三角形内角和的基础上，研究大家熟悉的四边形的内角和，并请同学小组合作讨论和汇报。有的学生从矩形、正方形的内角和是360°得到四边形的内角和也为360°。还有以下一些方法：如图1，连接AC，把四边形分成两个三角形，而每一个三角形的内角和等于180°，所以四边形的内角和等于两个三角形的内角和。如图2，在BC边上任取一点P，连接AP、DP，四边形的内角和等于三个三角形的内角和减去一个平角。如图3，在四边形ABCD内任取一点O，连接AO、BO、CO、DO，四边形内角和等于四个三角形内角和减去一个周角，等等。教师在肯定学生已有方法基础上，告诉学生求四边形的内角和，通常转化成两个三角形的内角和，这就是数学中的化归思想。并提出求任意的五边形、六边形的内角和问题，学生通过把多边形分解成多个三角形，求出了五边形、六边形的内角和，师生共同概括出这节课的主要内容：多边形的内角和为（n-2）·180°。
教师虽然尊重学生思维的差异和发展，但学生的认识停留在“一题多解”的操作层面，教师缺乏组织学生思考“一题多解”背后有什么共性的能力而只是简单告诉学生化归思想，忽视引导学生对各种方法本质的提炼，缺乏对化归思想的感悟和概括过程，使得显性知识背后隐含的数学思想“蜻蜓点水”，数学思想的显化提炼肤浅。
二、基于启发式教学的数学思想教学设计思路
《义务教育数学课程标准》（2011年版）把注重启发式、实行启发式教学作为课程的基本理念和实施建议，因此在数学教学中实施启发式教学显得尤为必要。启发式数学教学重在激活学生的数学思维活动，重在启发学生数学思维的深层参与，揭示数学的本质，强调教师从学生已有的数学知识、经验和思维水平出发，力求创设“愤悱”的数学教学情境，形成认知和情感的不平衡态势，从而引导学生学会思考，学生的数学思维得以发生和发展[1]。数学思想方法是对数学知识综合贯通的理解和升华。学生头脑中的数学思想一开始不是自发产生的，只有教师有意识地启发引导，才能使学生形成对数学思想个性化的理解和领悟。
数学思想教学的设计路线图：
体味是指教师要精通数学、钻研数学教学内容，感知数学知识隐含的数学思想，把握数学对象的本质特征。提炼是指精心设计教学过程，以启发式教学思想为指导，不仅关注数学知识的形成过程，更注重对数学思想实质的凸显。前两个环节突出强调教师对数学思想认识的重要性。渗透是指在教学过程中多次孕育，积累足够的感性体验，让学生感悟数学思想，教师把握启发的恰当时机，逐步深入，层层推进。概括是指数学思想方法逐步显性化，由师生共同概括出数学思想的本质，避免教师的简单告之。后两个环节突出强调教学过程中，在教师的启发引导下，学生主动积极建构数学思想。
三、《探索多边形的内角和》的教学设计
1.教学任务分析
化归是重要的数学思想，是化未知为已知、化复杂为简单、化陌生为熟悉的过程。在平面几何中，要解决一个较为复杂的图形问题，常常将其分解成基本图形，并应用基本图形的有关性质使复杂问题得以解决。“探索多边形的内角和”课题较好地体现了化归思想的运用。
本节课是《义务教育课程标准实验教科书》北师大版八年级上册第四章第六节“探索多边形内角和与外角和”的第一课时，是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，同时与下一课时多边形的外角和一脉相承。通过本课题的学习使学生经历探索、归纳、质疑等活动，积累数学活动经验，发展合情推理能力，让学生对发现的结论进行说理和简单推理，体会数学知识间的内在联系、感悟化归思想的实质。
2.教学过程设计
（1）教师设问，引入课题
教师提问：前面我们一起学习了三角形的内角和是180°，在平面图形中，除了三角形之外，生活中还有哪些常见的图形呢？
进一步追问：学习数学，我们要学会思考，学会联系，那大家思考一下，今天我们该学习什么内容？
【设计意图】教师通过设问，激活学生已有的知识和经验。运用方法论提示语启发引导学生认识到需要研究多边形的内角和，符合学生的认知规律，产生内在的学习需求。
（2）尊重差异，探寻方法
教师提问：研究问题，往往从特殊到一般，研究多边形的内角和，我们先研究（停顿，等待学生回答四边形、五边形等边数较少的图形），再研究多边形。四边形内角和是多少？
学生小组讨论，得出如下思考途径：
①快速回答360°。从矩形、正方形的内角和等于360°想到的。
②利用三角形的内角和为180°，把四边形分割成两个三角形。连接四边形的一条对角线就可以实现（如图1）。
③把四边形分割成若干个三角形的方法多样化，都可以说明四边形的内角和为360°（如图2～图5）。
④把四边形分割成一个平行四边形和三角形，利用平行四边形的性质和三角形内角和也可以实现（如图6）。
教师引导：上述图1～图6都充分证实了直接猜想四边形内角和360°是正确的，也就是说利用特殊法可以帮助我们指明解决问题的方向，因此解决问题时可以从特殊的情况出发进行研究，再探讨其一般性的结论。对于图1～图5的证明思路如何来概括一下？ 师生概括：四边形的内角和转化成我们已经学过的三角形的内角和。这种思考解决问题的思想在数学中称之为化归思想。
【设计意图】放手让学生探索解决问题的方法，开拓学生的思维。在整个教学过程中，教师注意引导学生对不同的思考途径给予合理的分析，尤其要引导学生通过数量关系发现四边形的内角和是三角形内角和的2倍这一重要特征，由此自然产生把四边形分割成两个三角形的思考路线，让学生体会特殊法在数学问题解决中的优势。教学过程中，教师循序渐进地引导使学生初步感受化归思想，积累感性体验，此时认识处于直观感知状态，对图6方法暂时不做过多的分析说明，为后继的学习埋下伏笔。
（3）创设情境，形成认知困惑
教师提问：对于五边形呢？（学生利用已有的知识能够解决）
教师追问：六边形、七边形、八边形呢？
【设计意图】创设“愤悱”的问题情境，让学生体会到虽然所求图形发生变化，但研究方法是相同的，即把所求的图形分割成若干个三角形。能否找到一个统一的表达式，既方便又快速地得到任意多边形的内角和？使学生体验到学习内角和的必要性，突出该节课的重点内容。
（4）利用启发性提示语，探求新知
教师提问：如何求n边形的内角和？学生在前面学习的基础上，自然想到把n边形分割成若干个三角形。
教师追问：把n边形分割成若干个三角形的办法很正确，那到底如何分割？分割成几个三角形呢？
学生探求解决问题的途径如下：
①通过观察三角形、四边形、五边形以及六边形可以发现n边形可以分割成（n-2）个三角形，所以n边形的内角和为（n-2）·180°。
②从n边形的一个顶点出发，分别与剩余的（n-1）个顶点相连，就有（n-1）条线段，再减去两条边所在的线段，也就是被（n-3）条线段分割，形成（n-2）个小三角形。
③从n边形内部任取一点，分别与n个顶点相连，形成n个小三角形，那么n个小三角形的内角和为n·180°，再减去一个周角，也可以得到n边形的内角和为（n-2）·180°。
师生概括：分割n边形的方法与分割四边形的方法（图1～图5）本质上是相同的，最终化归为熟悉的三角形内角和问题。
【设计意图】学生自然而然想到把n边形分割成若干个三角形，让学生再次体验化归思想，逐渐领悟化归的实质。对n边形内角和的研究，从具体上升为抽象，思维活动也从直观感知上升到思辨推理。同时从方法论的意义，引导学生通过观察、实验、归纳等科学方法发现数学规律，培养学生认识数学思想和数学方法的价值。
（5）克服负迁移，概括化归思想
教师引导：我们解决n边形内角和的过程实质上就是化归思想的运用。梳理一下自己的思路，思考通过本节课的学习，谈谈对化归思想的认识？
学生经过思考后，不难概括出如下认识：
①化归思想就是把多边形分割成若干个三角形。
②化归思想就是把不熟悉的化成我们熟悉的，把不会解决的问题化成会解决的问题。
③化归思想比较实用，主要问题是如何化归。
教师追问：化归思想就是把多边形分割成若干个三角形的认识合理吗？
学生讨论，形成合理的认识：把多边形分割成若干个三角形是化归的途径之一，但不一定都要分割为三角形，只要是我们熟悉的，已经解决的图形都可以（如图6）。
过点A作AP∥CD交BC于P，把四边形分割成一个三角形和一个平行四边形，再利用平行线的性质同旁内角互补也可求出。
师生概括：化归思想的三个要素：未解决的问题（对象）、已解决的问题（目标）、转化的途径（方法），关键是如何化归。化归思想的本质是把不易解决或未解决的问题转化为易解决或已解决的问题，把复杂的问题转化为简单的问题。
教师追问：我们知道条条大路通罗马，化归的方法不是唯一的，那研究四边形和多边形的内角和时，一定要把图形分割吗？（如图7）
【设计意图】结合学生对化归思想的认识，教师抓住时机启发引导学生进行深入的思考，结合图6的证明途径，在互相交流中提升对化归思想本质的认识，克服思维定势，完善认知结构。最后师生共同提炼概括化归思想的实质，使化归思想明朗化，凸显数学思想的认识价值。并进一步引申，使学生产生了新的疑难和困惑，引发其课后对化归思想的深入探索。
学生感悟和把握数学思想，使其转化为自己头脑中的数学思想，与数学概念、原理等学习相比有一定的难度，对数学教师提出了更高的要求。教师在选择教学内容时，不是对教材的复制，而是按“教与学对应”、“教与数学对应”的原理对教材内容进行教学法加工[2]，引导学生体味并提炼数学知识背后蕴含的数学思想，有意识地安排学生从中感悟数学思想的过程。通过多次孕育渗透，并善于利用启发性提示语，引导学生思维的深层参与，从而领悟数学思想的真谛，凸显数学思想的认识价值。
参考文献
[1] 韩龙淑，王新兵.数学启发式教学的基本特征[J].数学教育学报，2009（6）.
[2] 涂荣豹.新编数学教学论[M].上海：华东师范大学出版社，2008.
【责任编辑 郭振玲】