论文部分内容阅读
【摘要】统计领域概念教学通过创设有趣的生活情境、搭建自主学习平台、巧设精准追问、采用合情推理和数据说话的的推断思考策略，让学生从问题情境中去观察、探索、归纳知识，改变原来的“听数学”为“做数学”，沿着知识发生、发展的脉络，学生经过自己亲身实践活动，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动建构，培养学生的数学交流素养。
【关键词】统计；交流素养；路径；追问；合情推理
笔者有幸参加了2017年4月6-7日在北京房山区召开的广东省教育科学十二五重点规划课题“基于PISA数学素养测评视角培养初中生数学交流素养的方法研究”（课题编号2015ZQJK035）第四次研讨会。现以研讨会上山东教师A和广东教师B上的同课异构课《数据的波动——方差》为例，谈谈统计领域中培养初中生数学交流素养的路径与方法。
方差的概念教学，应根据思维“最近发展区”理论，在学生已有知识经验中寻找新的“生长点”，以“概念同化”的形式进行教学。基于学生平均数及其统计含义的原有认知结构，对方差概念进行同化（都是描述数据的特征数），对离散程度（不同于集中趋势）这个新信息进行再扩充、延伸和顺应（极差、方差），从而形成以平均数为基础，结合方差进行统计分析的新认知结构。让学生由“知其然”发展到“知其所以然”，长此以往，学生就会逐渐在学习过程中发展基于数据的问题意识、合情推理能力和交流能力。
一、创设有趣的生活情境，提高学生积极参与数学交流的欲望
布鲁纳认为：“学习者在一定的问题情境中，经历对学习材料的亲身体验和发展过程，才是学习者最有价值的东西。” 它能激发学生的学习兴趣，唤起学生对知识的渴求，让学生在学习中伴随着一种积极的体验，使学生积极地投入学习。
案例1：创设情境，提出问题
（教师B）甲、乙两位运动员在射击选拔比赛中，各射击 10 次，成绩如下表（单位：环）：
假设你是老师，你会选择哪一位同学参加？
教师B出示问题之后就让学生深入探究；教师A出示问题之后，接着出示学习目标，再让学生自学。
本节课两位老师的情境设计都很好，具有导向性，是在学生已有的描述集中趋势的统计量（平均数、中位数、众数）知识的基础上，通过观察、思考、对比，感受到已学的统计知识不足以合理解决当前问题，引起认知上的冲突，进而猜测应有合理解释该问题的新知识，于是顺利过渡到方差的学习，这样的情境创设大大激发了学生学习的积极性，提高学生积极参与数学交流的欲望。教师B的设计把握住了学生迫切需要新的知识，迫切需要探究的强烈欲望，让学生深入探究，顺理成章，非常自然；教师A在学生跃跃欲试、摩拳擦掌渴望对问题进行探究的时候，出示了学生毫无方差概念的学习目标，稍显唐突，时机方面值得商榷，建议去掉出示学习目标环节，直接让学生进入自学探究环节。
二、巧设精准追问，提高学生数学交流思维的深度和广度
追问，它是前次提问基础上的延伸和拓展，是为了使学生弄懂弄通某一问题，往往在一问之后又再次提问，穷追不舍，对学生思维行为作即时的疏导、点拨，直到学生能正确解答、深入理解为止。法国教育家保罗·弗莱雷说过：“没有对话，就没有交流，也就没有真正的教育，课堂应该是对话的课堂。”课堂追问是师生课堂对话的主要形式，它不仅是课堂预设的生成和重新建构，也是课堂效能的关键所在；层层追问不仅是课堂教学最为真实的表现，而且也是新课程课堂教学回归本真的理念追求。
案例2 （教师B） 设置问题，引发思考
问题 1：有同学提出比较最高成绩，你同意吗？
问题 2：有同学认为两位运动员的最高成绩是一样的，故应当从平均成绩进行比较，你同意吗？
问题 3：现在最高分、平均分都一样，怎么办？
教师B投影出示3个问题，然后师生逐个问题共同解决。
这样直接提出问题串，优点在于递进设问，降低了问题解决的难度，同时预设了问题解决的路径和方向，便于学生思考、回答、解决问题。但是，有将整体问题碎片化之嫌，学生无需思考问题的解决路径和策略，无需做多角度思考，无需对比选择路径，进而交流环节的数学思考深度和广度都大打折扣。这样，学生失去了独立自主进行创造性思维的空间，容易沦为了机械回答老师问题的“应声筒”，久而久之，对培养学生的思维能力、数学交流能力是不利的，建议提出问题尽量保持完整性，老师可以根据学生回答的情况，运用课堂教学机智，设计问题进行追问，逐步将问题引向深入，从而解决。
如：师设问：（完整问题）依据什么标准来比较选派哪位运动员去参加比赛更合适呢？
生甲：（生活经验）比较最高成绩
师追问1：比较一下它们的最高成绩，可行吗？为什么？
生乙：不行，最高成绩一样，都是10分。
师追问2：那比较什么呢？
生丙：（生活经验）应该比较平均成绩
老师追问3：现在求出的平均成绩也一样，我们还学过什么统计量没有用上？
生丁：（猜想）难道是中位数？众数？极差？
师追问4：中位数，众数，极差分别反映一组数据的什么内容？比较它们可以吗？
……
通过以上的层层追问，學生对问题的理解会清晰、明了、深刻。因此，在学生思考欠缺深度时，要通过一环扣一环的追问，将问题不仅指向学生思维的深度，使其能知其一，又能知其二；而且指向学生思维的过程，使其知其然，又能知其所以然。这对于引发学生自主探究，提高学生思维的敏捷性、深刻性，提高学生数学交流思维的深度、广度，构建完整的知识体系具有独特的价值。
三、善用合情推理和数据说话的推断思考策略，促使学生数学交流顺畅进行
根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理。波利亚说：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个定理之前，先得猜想、发现出这个定理的内容，在完全作出证明之前，先得不断检验、完善、修改所提出的猜想，还得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理。” 合情推理是“发现真理”的思维，我们在教学中应尽可能地让学生观察、分析、联想、试验、类比、归纳、猜想，掌握一些探求问题的方法，达到“授之于鱼，不如授之于渔”的目的。 案例3：全班交流，形成共识
（教师B）可以用什么量（角度）来刻画（描述）一组数据的稳定性（波动大小）呢？
问题 1：我们可以用什么量来刻画某次成绩相对平均数的波动大小？
问题 2：点到直线 a 的距离是一个非负数，我们可以用什么量来表示它？
问题 3：用什么量才能刻画出一组数据相对其平均数的波动大小？
问题 4：数据的个数对结果有影响吗？怎样避免？
在学生经历最高成绩和平均成绩这两个角度都无法筛选运动员的情况下，提出了“稳中求胜”的策略，进而转向探索数据的稳定性或波动程度。教师B让学生先独立思考，然后小组讨论，接着出示上面的问题串，全班交流探讨可以用什么量（角度）来刻画（描述）一组数据的稳定性（波动大小）的问题。
如果单从所给表格中的甲、乙两组数来看它们的离散程度，比较散乱，难以理解，但教师B采用数形结合的思想，介入直角坐标系这个“形”，学生直观感知，一目了然，可以很直观达成对方差的正确理解。问题串的设计很到位，问题1 研究“某次成绩”相对平均数的波动大小，由此产生“两数的差”；问题2研究“某个点”到直线a （平均数）的距离，产生“绝对值”；问题3和4研究“一组数据”，自然出现“绝对值的和”“绝对值的和的平均值”，最后为了利于计算，把“绝对值”换成“平方数”，随着一个个问题的逐层解决，整节课的重难点就解决了，此处由点到面，微观阐述，非常精彩，直观观察、数据说话、合情推理的统计理念贯穿始终，促使学生数学交流顺畅进行。教师B还利用多媒体现场演示，当场计算、列表对比，激发了学生浓厚的学习兴趣，同时深切地感受数学的魅力！
合理设置开放性问题，从数与形两个角度审视问题，让学生有充分讨论的时间与空间，凸显学生学习的主体地位；通过教师适时引导，激发思维碰撞，创设师生交流、生生交流、自我反思调整的氛围，以此培养学生数学交流素养。教师B的教学设计始终是以问题为中心，采取“问题聚焦，层层深入”的方法，通过对这些问题的解决，使得学生主动地参与探究学习，并经历一个完整的解决问题的过程，在探究过程中培养了学生的观察能力、探究能力、理解能力、合作交流能力，更让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的特点，亲身体会数学活动的乐趣，培养学生利用已知数学知识解决未知问题的创新意识，理解知识的来龙去脉，领会知识的产生、发展、形成过程，真正体现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的新课标理念。值得商榷的地方是：①为了利于计算，把“绝对值”换成“平方数”，这个理由过于牵强，“为什么是平方数运算？”值得研究，教师也应知其所以然，但未必要讲给学生听；②关于1/n的处理可以更好，举个反例即可，说明如果没有1/n就意味着数据越多就越离散，与现实情况不符。
四、搭建自主学习平台，培养学生自学、阅读、交流的能力
顾名思义，自主学习是以学生作为学习的主体，通过学生独立的分析、探索、实践、质疑、创造等方法来实现学习目标。《新课标》指出：“倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。”先学后教，教师要把学生“学”数学放在教师教之前，“导”学是教学之重点，要把组织学生自主数学学习活动作为老师的主要任务之一，并要担任起活动的指导者。学生自主学习时可以圈圈点点：画出关键字或句子、用波浪线和“？”标出不懂之处、在空白处写下自己的疑问、在空白处写下自己的看法和体会等；学生自主学习时也可以自我提问：这部分内容主要讲了些什么？这部分内容与我们学习过的什么有关联？这部分内容与我们的生活有什么关系？并尝试去解决，长期坚持自主学习，学生的独立学习、自主学习和交流能力水平都将得到提升。
案例4 （教师A）出示自学指导
教师A先用多媒体投影三条自学要求：①根据自学题纲自学课本第120页-122页，并尝试解决教学案的四个问题；②自学完成后，独立完成自学检测反馈题；③自学中存在疑惑，请用红笔作出标注。当学生完成自学之后，又投影出示第二个要求：①组长调控下统一答案，大胆提出自己的疑惑进行交流讨论；②先小组内交流，没解决的问题由组长记录好，准备班内交流。
这是一节典型的“先学后教”教法的课例，让学生带着任务去自学，先让学生感知探究的问题，暴露问题之后针对问题去解决，逐步推进，给学生搭建自学的舞台，让学生有充分讨论的时间与空间，可以很好地培养学生自学、阅读、交流的能力。但自主指导的题目本身要有一条主线，而不只是对一个一个独立问题的解决，每一单个的问题的呈现有点碎片化，建议有两种改进的设计方法，一种是设计一个主问题，环环相扣，逐层解决；另一种是设计一个综合性背景，根据教师的自身功力连续发问，随时把握学生对问题理解的动态不断追问，保证问题之间的关联性，形成一个整体，呈现问题的发生、发展过程。作为教师的我们不仅要学生理解学习内容，更要他们掌握学习方法。注重总结学习过程的方法，这是学生对自己学习活动的一种自我意识和体验，是较高层次的一种带有策略的方法。教师A让学生带着问题，带着任务去自学，这是教给学生一种学习方法的很好体现。不但让学生掌握了知识，而且让学生从“学会”上升到了“会学”。
统计领域概念教学通过创设有趣的生活情境、搭建自主学习平台、巧设精准追问、采用合情推理和数据说话的的推断思考策略，让学生从问题情境中去观察、探索、归纳知识，改变原来的“听数学”为“做数学”，沿着知识发生、发展的脉络，学生经过自己亲身实践活动，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动建构。这不仅让学生对所学内容留下深刻的印象，而且能力得到提高，充分调动学生学习的热情，让学生学会学习，学会探索问题的方法，培养学生的学习能力和数学交流能力。
参考文献：
[1]李庾南.数学自学·议论·引导教学法.北京：人民教育出版社，2004.
[2]周成平.中国著名教师的精彩课堂.南京：江苏人民出版社，2009.
[3]孙云晓、赵霞.自主学习决定成功.桂林：漓江出版社，2008.
[本文是广东省教育科研“十二五”规划2015年度重点项目“基于PISA数学素养测评視角培养初中生数学交流素养的方法研究”（课题批准号2015ZQJK035）的阶段研究成果]
【关键词】统计；交流素养；路径；追问；合情推理
笔者有幸参加了2017年4月6-7日在北京房山区召开的广东省教育科学十二五重点规划课题“基于PISA数学素养测评视角培养初中生数学交流素养的方法研究”（课题编号2015ZQJK035）第四次研讨会。现以研讨会上山东教师A和广东教师B上的同课异构课《数据的波动——方差》为例，谈谈统计领域中培养初中生数学交流素养的路径与方法。
方差的概念教学，应根据思维“最近发展区”理论，在学生已有知识经验中寻找新的“生长点”，以“概念同化”的形式进行教学。基于学生平均数及其统计含义的原有认知结构，对方差概念进行同化（都是描述数据的特征数），对离散程度（不同于集中趋势）这个新信息进行再扩充、延伸和顺应（极差、方差），从而形成以平均数为基础，结合方差进行统计分析的新认知结构。让学生由“知其然”发展到“知其所以然”，长此以往，学生就会逐渐在学习过程中发展基于数据的问题意识、合情推理能力和交流能力。
一、创设有趣的生活情境，提高学生积极参与数学交流的欲望
布鲁纳认为：“学习者在一定的问题情境中，经历对学习材料的亲身体验和发展过程，才是学习者最有价值的东西。” 它能激发学生的学习兴趣，唤起学生对知识的渴求，让学生在学习中伴随着一种积极的体验，使学生积极地投入学习。
案例1：创设情境，提出问题
（教师B）甲、乙两位运动员在射击选拔比赛中，各射击 10 次，成绩如下表（单位：环）：
假设你是老师，你会选择哪一位同学参加？
教师B出示问题之后就让学生深入探究；教师A出示问题之后，接着出示学习目标，再让学生自学。
本节课两位老师的情境设计都很好，具有导向性，是在学生已有的描述集中趋势的统计量（平均数、中位数、众数）知识的基础上，通过观察、思考、对比，感受到已学的统计知识不足以合理解决当前问题，引起认知上的冲突，进而猜测应有合理解释该问题的新知识，于是顺利过渡到方差的学习，这样的情境创设大大激发了学生学习的积极性，提高学生积极参与数学交流的欲望。教师B的设计把握住了学生迫切需要新的知识，迫切需要探究的强烈欲望，让学生深入探究，顺理成章，非常自然；教师A在学生跃跃欲试、摩拳擦掌渴望对问题进行探究的时候，出示了学生毫无方差概念的学习目标，稍显唐突，时机方面值得商榷，建议去掉出示学习目标环节，直接让学生进入自学探究环节。
二、巧设精准追问，提高学生数学交流思维的深度和广度
追问，它是前次提问基础上的延伸和拓展，是为了使学生弄懂弄通某一问题，往往在一问之后又再次提问，穷追不舍，对学生思维行为作即时的疏导、点拨，直到学生能正确解答、深入理解为止。法国教育家保罗·弗莱雷说过：“没有对话，就没有交流，也就没有真正的教育，课堂应该是对话的课堂。”课堂追问是师生课堂对话的主要形式，它不仅是课堂预设的生成和重新建构，也是课堂效能的关键所在；层层追问不仅是课堂教学最为真实的表现，而且也是新课程课堂教学回归本真的理念追求。
案例2 （教师B） 设置问题，引发思考
问题 1：有同学提出比较最高成绩，你同意吗？
问题 2：有同学认为两位运动员的最高成绩是一样的，故应当从平均成绩进行比较，你同意吗？
问题 3：现在最高分、平均分都一样，怎么办？
教师B投影出示3个问题，然后师生逐个问题共同解决。
这样直接提出问题串，优点在于递进设问，降低了问题解决的难度，同时预设了问题解决的路径和方向，便于学生思考、回答、解决问题。但是，有将整体问题碎片化之嫌，学生无需思考问题的解决路径和策略，无需做多角度思考，无需对比选择路径，进而交流环节的数学思考深度和广度都大打折扣。这样，学生失去了独立自主进行创造性思维的空间，容易沦为了机械回答老师问题的“应声筒”，久而久之，对培养学生的思维能力、数学交流能力是不利的，建议提出问题尽量保持完整性，老师可以根据学生回答的情况，运用课堂教学机智，设计问题进行追问，逐步将问题引向深入，从而解决。
如：师设问：（完整问题）依据什么标准来比较选派哪位运动员去参加比赛更合适呢？
生甲：（生活经验）比较最高成绩
师追问1：比较一下它们的最高成绩，可行吗？为什么？
生乙：不行，最高成绩一样，都是10分。
师追问2：那比较什么呢？
生丙：（生活经验）应该比较平均成绩
老师追问3：现在求出的平均成绩也一样，我们还学过什么统计量没有用上？
生丁：（猜想）难道是中位数？众数？极差？
师追问4：中位数，众数，极差分别反映一组数据的什么内容？比较它们可以吗？
……
通过以上的层层追问，學生对问题的理解会清晰、明了、深刻。因此，在学生思考欠缺深度时，要通过一环扣一环的追问，将问题不仅指向学生思维的深度，使其能知其一，又能知其二；而且指向学生思维的过程，使其知其然，又能知其所以然。这对于引发学生自主探究，提高学生思维的敏捷性、深刻性，提高学生数学交流思维的深度、广度，构建完整的知识体系具有独特的价值。
三、善用合情推理和数据说话的推断思考策略，促使学生数学交流顺畅进行
根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理。波利亚说：“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样，在证明一个定理之前，先得猜想、发现出这个定理的内容，在完全作出证明之前，先得不断检验、完善、修改所提出的猜想，还得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理。” 合情推理是“发现真理”的思维，我们在教学中应尽可能地让学生观察、分析、联想、试验、类比、归纳、猜想，掌握一些探求问题的方法，达到“授之于鱼，不如授之于渔”的目的。 案例3：全班交流，形成共识
（教师B）可以用什么量（角度）来刻画（描述）一组数据的稳定性（波动大小）呢？
问题 1：我们可以用什么量来刻画某次成绩相对平均数的波动大小？
问题 2：点到直线 a 的距离是一个非负数，我们可以用什么量来表示它？
问题 3：用什么量才能刻画出一组数据相对其平均数的波动大小？
问题 4：数据的个数对结果有影响吗？怎样避免？
在学生经历最高成绩和平均成绩这两个角度都无法筛选运动员的情况下，提出了“稳中求胜”的策略，进而转向探索数据的稳定性或波动程度。教师B让学生先独立思考，然后小组讨论，接着出示上面的问题串，全班交流探讨可以用什么量（角度）来刻画（描述）一组数据的稳定性（波动大小）的问题。
如果单从所给表格中的甲、乙两组数来看它们的离散程度，比较散乱，难以理解，但教师B采用数形结合的思想，介入直角坐标系这个“形”，学生直观感知，一目了然，可以很直观达成对方差的正确理解。问题串的设计很到位，问题1 研究“某次成绩”相对平均数的波动大小，由此产生“两数的差”；问题2研究“某个点”到直线a （平均数）的距离，产生“绝对值”；问题3和4研究“一组数据”，自然出现“绝对值的和”“绝对值的和的平均值”，最后为了利于计算，把“绝对值”换成“平方数”，随着一个个问题的逐层解决，整节课的重难点就解决了，此处由点到面，微观阐述，非常精彩，直观观察、数据说话、合情推理的统计理念贯穿始终，促使学生数学交流顺畅进行。教师B还利用多媒体现场演示，当场计算、列表对比，激发了学生浓厚的学习兴趣，同时深切地感受数学的魅力！
合理设置开放性问题，从数与形两个角度审视问题，让学生有充分讨论的时间与空间，凸显学生学习的主体地位；通过教师适时引导，激发思维碰撞，创设师生交流、生生交流、自我反思调整的氛围，以此培养学生数学交流素养。教师B的教学设计始终是以问题为中心，采取“问题聚焦，层层深入”的方法，通过对这些问题的解决，使得学生主动地参与探究学习，并经历一个完整的解决问题的过程，在探究过程中培养了学生的观察能力、探究能力、理解能力、合作交流能力，更让学生亲眼目睹数学过程形象而生动的特点，亲身体会数学活动的乐趣，培养学生利用已知数学知识解决未知问题的创新意识，理解知识的来龙去脉，领会知识的产生、发展、形成过程，真正体现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的新课标理念。值得商榷的地方是：①为了利于计算，把“绝对值”换成“平方数”，这个理由过于牵强，“为什么是平方数运算？”值得研究，教师也应知其所以然，但未必要讲给学生听；②关于1/n的处理可以更好，举个反例即可，说明如果没有1/n就意味着数据越多就越离散，与现实情况不符。
四、搭建自主学习平台，培养学生自学、阅读、交流的能力
顾名思义，自主学习是以学生作为学习的主体，通过学生独立的分析、探索、实践、质疑、创造等方法来实现学习目标。《新课标》指出：“倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。”先学后教，教师要把学生“学”数学放在教师教之前，“导”学是教学之重点，要把组织学生自主数学学习活动作为老师的主要任务之一，并要担任起活动的指导者。学生自主学习时可以圈圈点点：画出关键字或句子、用波浪线和“？”标出不懂之处、在空白处写下自己的疑问、在空白处写下自己的看法和体会等；学生自主学习时也可以自我提问：这部分内容主要讲了些什么？这部分内容与我们学习过的什么有关联？这部分内容与我们的生活有什么关系？并尝试去解决，长期坚持自主学习，学生的独立学习、自主学习和交流能力水平都将得到提升。
案例4 （教师A）出示自学指导
教师A先用多媒体投影三条自学要求：①根据自学题纲自学课本第120页-122页，并尝试解决教学案的四个问题；②自学完成后，独立完成自学检测反馈题；③自学中存在疑惑，请用红笔作出标注。当学生完成自学之后，又投影出示第二个要求：①组长调控下统一答案，大胆提出自己的疑惑进行交流讨论；②先小组内交流，没解决的问题由组长记录好，准备班内交流。
这是一节典型的“先学后教”教法的课例，让学生带着任务去自学，先让学生感知探究的问题，暴露问题之后针对问题去解决，逐步推进，给学生搭建自学的舞台，让学生有充分讨论的时间与空间，可以很好地培养学生自学、阅读、交流的能力。但自主指导的题目本身要有一条主线，而不只是对一个一个独立问题的解决，每一单个的问题的呈现有点碎片化，建议有两种改进的设计方法，一种是设计一个主问题，环环相扣，逐层解决；另一种是设计一个综合性背景，根据教师的自身功力连续发问，随时把握学生对问题理解的动态不断追问，保证问题之间的关联性，形成一个整体，呈现问题的发生、发展过程。作为教师的我们不仅要学生理解学习内容，更要他们掌握学习方法。注重总结学习过程的方法，这是学生对自己学习活动的一种自我意识和体验，是较高层次的一种带有策略的方法。教师A让学生带着问题，带着任务去自学，这是教给学生一种学习方法的很好体现。不但让学生掌握了知识，而且让学生从“学会”上升到了“会学”。
统计领域概念教学通过创设有趣的生活情境、搭建自主学习平台、巧设精准追问、采用合情推理和数据说话的的推断思考策略，让学生从问题情境中去观察、探索、归纳知识，改变原来的“听数学”为“做数学”，沿着知识发生、发展的脉络，学生经过自己亲身实践活动，形成自己的经验、猜想，产生对结论的感知，实现对知识意义的主动建构。这不仅让学生对所学内容留下深刻的印象，而且能力得到提高，充分调动学生学习的热情，让学生学会学习，学会探索问题的方法，培养学生的学习能力和数学交流能力。
参考文献：
[1]李庾南.数学自学·议论·引导教学法.北京：人民教育出版社，2004.
[2]周成平.中国著名教师的精彩课堂.南京：江苏人民出版社，2009.
[3]孙云晓、赵霞.自主学习决定成功.桂林：漓江出版社，2008.
[本文是广东省教育科研“十二五”规划2015年度重点项目“基于PISA数学素养测评視角培养初中生数学交流素养的方法研究”（课题批准号2015ZQJK035）的阶段研究成果]