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【摘要】通过梳理教学教材安排，分析学生已有学情，深度钻研除法算理算法，总结除法竖式难教难学的五大难点，提出八点教育教学建议，希望降低学生学习难度，提升教育教学效果。
【关键词】笔算除法;难点;对策
数的运算是小学数学学习内容的重要组成部分，是解决生活问题中常见的计算方法。除法又是四则运算中的难点之一，教师们都知道除法竖式教学难，却不知道为什么难，所以一般是采用讲授法讲解除法的算理算法，学生的学习过程则是通过积累大量练习，逐渐摸清算理算法掌握规律。通过梳理教学教材安排，分析学生已有学情，钻研除法算理算法，笔者希望能提升教师的教学效果，降低学生学习难度，减轻学生学习负担。
一、问题难点
1.运算顺序
数学的学习普遍都是螺旋上升的，前面所学知识为后序知识点做奠基、类推和迁移，但是有些知识却为后续学习带来负向迁移，比如，四则运算。小学阶段数的运算学习过程是按照加法、减法、乘法和除法的顺序来学习，三年级之前所学的加法、减法、乘法的运算顺序，全部都是从低位算起，只有除法却是从高位算起。人教版三年级下册第二单元教材，安排先教学42÷2，后教学52÷2。动手操作小棒探究42÷2时，有的学生基于之前加、减、乘的学习经验，会选择先平均分2根，再平均分4捆;有的学生基于生活经验平均分时先平均分多的，也就是整捆的十位，再平均分少的单根的，也就是个位;两种平均分的方法在十位和个位都没有余数时都可以，这就为学生辨析除法到底是从高位算起還是从低位算起，制造了困难，很多学生通过42÷2往往感知除法既可以从高位除起，又可以从低位除起，带着这种负面知识认知，到之后的例二——52÷2时，才深刻体会除法是从高位除起，和加、减、乘运算顺序是相反的。
2.书写格式
加、减、乘的竖式书写分别是以下格式：
但是除法竖式的书写格式却完全不同，格式如下：
关于除法竖式的第一次教学安排在二年级下册，根据艾宾浩斯遗忘曲线，经过两个学期时间的推移，在第二单元的复习课上，经笔者实际调查，约74%的学生已经将除法竖式格式记忆成和加、减、乘相似的竖式书写格式。加、减、乘的竖式书写格式在学生头脑中已经形成思维定势，类推出除法竖式格式也是类似，对学生掌握除法竖式书写格式造成负向迁移。
3.逆向思维
三年级第二学期的学生都能熟练掌握乘法口诀，但是除法是乘法的逆运算，思考过程中需要逆向思考，而除法计算过程中往往不能整除，运用乘法口诀时试商时，学生选择合适乘法口诀的思考过程是非常复杂的，必须经过实践探究平均分的过程，理解每次平均分的结果的含义和由来，才能深刻领会，积又要比被除数小还得最接近被除数。
4.运算综合性
加、减、乘的运算中，一般只有一种运算，乘法涉及进位时才会有两种运算，但除法竖式的计算过程中，试商要运用乘法，被除数减去乘积运用减法，整个平均分的过程是除法，一共综合运用三种运算，在算法方面就相对复杂，学生学习过程中就觉得困难。
5.余数要比除数小
往往老师们觉得“余数要比除数小”是在有余数除法时才进行教学的，但实际上学生的真正学情是，每一次除法的试商都要运用这一结论。而“余数比除数小”又囊括了两种情况，一种是余数比除数大，一种是余数等于除数，这就成为学生竖式试商过程中最大的难点。
二、建议
1.复习
讲授三年级下册第二单元口算除法前，先安排一节复习课，复习内容主要有三方面：
（1）理解除法含义
复习除法的含义，使学生感知除法的两个特征：一是平均分，目的不是根据乘法口诀快速说出平均分的结果，而是使学生在动手操作过程中，先一个一个地分，再两个两个的分……感受内化平均分的过程，理解余数如果等于或大于除数，还可以继续进行平均分。二是包含除，乘法的本质可以理解为相同加数相加，除法是乘法逆运算，相对来说，除法就可以理解为连续减去相同的数，如果没有剩余就叫整除，有剩余就是有余数的除法。
（2）复习笔算除法格式
加法、减法、乘法的竖式书写格式都有点类似，笔算除法的书写格式却与加它们完全不同，经过两个学期，很多学生已经完全遗忘除法竖式书写格式，为了能顺利进行第二单元教学，尊重学生已有学情，有必要进行笔算除法格式的复习。
（3）构建数学模型
2011版《新课标》中强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”学生学习数学，应该经历的过程应先是看山是山，看水是水;然后看山不是山，看水不是水;最后总结规律构建模型升华为看山仍然山，看水仍然是水。三年级下学期第二单元以前，运用除法一共有三种模型，分别是平均分、每几个一份能分成几份以及倍数关系，只有构建了三种模型，学生在解决问题以及应用时才能正确运用所学知识。
2.生活情景引入
数学的学习相对抽象，即使通过动手操作摆小棒，学生也很难理解除法为什么从高位算起，为此，课前谈话引入，笔者设计如下：
【片段1】
师：同学们，上学期期末，我们班级购买冬季厚版班服的事情还记得吗？
生：记得。
师：假如同一天田老师还需给你们每人发放一套夏版班服的话，你猜田老师会先发夏装还是冬装呢？为什么呢？
生1：先发夏装，因为夏装薄比较好发。
生2：先发冬装，因为我们班冬装很厚重，很占地方，当时把讲台都放满了，田老师肯定先发冬装。
师：你们的想法呢？同意生1的请举手，同意生2的请举手。
生举手投票，96%的同学支持第二种。 师：是啊，生活中，我们分发物品会先分发多的，后分发少的，那平均分的除法呢？这节课让我们一起来探究下吧！
3.教学顺序
教材的设计是，先教学42÷2，后教学52÷2，动手操作小棒探究42÷2时，有的学生基于之前加、减、乘的学习经验，会选择先平均分2根，再平均分4捆;有的学生基于生活经验平均分时先平均分多的，也就是整捆的十位，再平均分少的、单根的也就是个位;两种平均分的方法在十位和个位都没有余数时都可以，这就为学生辨析除法到底是从高位算起还是从低位算起，制造了困难，很多学生通过42÷2往往感知除法既可以从高位除起，又可以从低位除起，带着这种负面知识认知，再学习52÷2时，很多学生就不知道该先平均分十位还是个位，所以笔者建议先教学52÷2，再教学42÷2，让学生在探究52÷2时，深刻感知先平均分十位再平均分个位，进而小结规律，先从高位算起，一位一位算。
4.实践探究
三年级第二学期之前，运用除法的三种情况分别是平均分、每几个一份能分成几份以及倍数关系，但笔算竖式时，我们只将除法竖式看作第一种含义，就是平均分，例如52÷2，为了让学生深刻感知平均分的含义，一定要让学生经历实践操作摆小棒的过程，教学过程中向学生提出第一个疑问，先平均分整捆的，还是先平均分单根的。经过动手探究感知两个结论，一是平均分时先分整捆的，也就是竖式计算时从高位算起，二是余数要比除数小才能算下一位，如果余数等于或者大于除数就还可以再次平均分，商就要适当调整。
5.理解算理
数学真正的魅力在于培养人的数学思维和激发人的数学思考，如何培养学生的数学思维，促使学生主动思考呢？就是在日常教学中，不仅使学生会数学，还要懂原理，对于除法竖式来说，就是不仅会算法，还要会算理，能真正理解除法的含义，掌握平均分的过程，理解笔算除法的算理，才能活学活用、举一反三，扩宽数学思维的广度，增进数学思考的深度。
6.培养数感
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的数感培养主要包括“理解数的意义;能用多种方法表示数;能在具体的情境中把握数的相对大小;能用数表达和交流信息;能为解决问题选择适当的算法;能估计运算的结果等等。”笔算除法的数感培养目标是，在笔算除法过程中，把握商和除数的积与被除数之间的相对大小，那如何培养学生的这方面数感呢？首先落實学生乘法口诀的正确率和速度，其次提高除法口算（一位数除两位数、整百整十数）的正确率和速度，进而培养学生试商调商过程中的数感。
7.总结算法
通过以上建议操作，学生会深刻感知除法的含义、理解除法的算理、掌握并运用“余数小于除数”的原理，但是还要抽象总结概括出除法竖式算法，帮助学生梳理条理、理清思路，构建笔算除法的模型，使学生能有效利用所学算理算法正确进行笔算除法。
8.拓展一位数除多位数
通过课堂生成反馈，学生对于一位数除两位数、多位数时，一位一位除理解还是不够深刻。数学教学的知识点不应该是孤岛似的闪烁各自光芒，而应该是网状互动的，结合维果茨基的“最近发展区理论”，可以适当拓展知识，比如，一位数除以六位数（每一位都有余数）这种情况，学生在具体情境中感知数学的知识是通用的，也是为以后学习做好铺垫。
笔算除法是人教版三年级下册最难教学的内容之一，很多老师感慨学生怎么都教不会，反复练习又事倍功半，就是因为我们没有尊重学生的基本学情。陶行知先生提出教的法子根据学的法子、学的法子根据做的法子。我们的教学应当永远以学生“如何做”为导向，尊重学生已有知识经验，找到知识点之间的联系与区别，这样才能切实有效提高教学效果。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.1.
【关键词】笔算除法;难点;对策
数的运算是小学数学学习内容的重要组成部分，是解决生活问题中常见的计算方法。除法又是四则运算中的难点之一，教师们都知道除法竖式教学难，却不知道为什么难，所以一般是采用讲授法讲解除法的算理算法，学生的学习过程则是通过积累大量练习，逐渐摸清算理算法掌握规律。通过梳理教学教材安排，分析学生已有学情，钻研除法算理算法，笔者希望能提升教师的教学效果，降低学生学习难度，减轻学生学习负担。
一、问题难点
1.运算顺序
数学的学习普遍都是螺旋上升的，前面所学知识为后序知识点做奠基、类推和迁移，但是有些知识却为后续学习带来负向迁移，比如，四则运算。小学阶段数的运算学习过程是按照加法、减法、乘法和除法的顺序来学习，三年级之前所学的加法、减法、乘法的运算顺序，全部都是从低位算起，只有除法却是从高位算起。人教版三年级下册第二单元教材，安排先教学42÷2，后教学52÷2。动手操作小棒探究42÷2时，有的学生基于之前加、减、乘的学习经验，会选择先平均分2根，再平均分4捆;有的学生基于生活经验平均分时先平均分多的，也就是整捆的十位，再平均分少的单根的，也就是个位;两种平均分的方法在十位和个位都没有余数时都可以，这就为学生辨析除法到底是从高位算起還是从低位算起，制造了困难，很多学生通过42÷2往往感知除法既可以从高位除起，又可以从低位除起，带着这种负面知识认知，到之后的例二——52÷2时，才深刻体会除法是从高位除起，和加、减、乘运算顺序是相反的。
2.书写格式
加、减、乘的竖式书写分别是以下格式：
但是除法竖式的书写格式却完全不同，格式如下：
关于除法竖式的第一次教学安排在二年级下册，根据艾宾浩斯遗忘曲线，经过两个学期时间的推移，在第二单元的复习课上，经笔者实际调查，约74%的学生已经将除法竖式格式记忆成和加、减、乘相似的竖式书写格式。加、减、乘的竖式书写格式在学生头脑中已经形成思维定势，类推出除法竖式格式也是类似，对学生掌握除法竖式书写格式造成负向迁移。
3.逆向思维
三年级第二学期的学生都能熟练掌握乘法口诀，但是除法是乘法的逆运算，思考过程中需要逆向思考，而除法计算过程中往往不能整除，运用乘法口诀时试商时，学生选择合适乘法口诀的思考过程是非常复杂的，必须经过实践探究平均分的过程，理解每次平均分的结果的含义和由来，才能深刻领会，积又要比被除数小还得最接近被除数。
4.运算综合性
加、减、乘的运算中，一般只有一种运算，乘法涉及进位时才会有两种运算，但除法竖式的计算过程中，试商要运用乘法，被除数减去乘积运用减法，整个平均分的过程是除法，一共综合运用三种运算，在算法方面就相对复杂，学生学习过程中就觉得困难。
5.余数要比除数小
往往老师们觉得“余数要比除数小”是在有余数除法时才进行教学的，但实际上学生的真正学情是，每一次除法的试商都要运用这一结论。而“余数比除数小”又囊括了两种情况，一种是余数比除数大，一种是余数等于除数，这就成为学生竖式试商过程中最大的难点。
二、建议
1.复习
讲授三年级下册第二单元口算除法前，先安排一节复习课，复习内容主要有三方面：
（1）理解除法含义
复习除法的含义，使学生感知除法的两个特征：一是平均分，目的不是根据乘法口诀快速说出平均分的结果，而是使学生在动手操作过程中，先一个一个地分，再两个两个的分……感受内化平均分的过程，理解余数如果等于或大于除数，还可以继续进行平均分。二是包含除，乘法的本质可以理解为相同加数相加，除法是乘法逆运算，相对来说，除法就可以理解为连续减去相同的数，如果没有剩余就叫整除，有剩余就是有余数的除法。
（2）复习笔算除法格式
加法、减法、乘法的竖式书写格式都有点类似，笔算除法的书写格式却与加它们完全不同，经过两个学期，很多学生已经完全遗忘除法竖式书写格式，为了能顺利进行第二单元教学，尊重学生已有学情，有必要进行笔算除法格式的复习。
（3）构建数学模型
2011版《新课标》中强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”学生学习数学，应该经历的过程应先是看山是山，看水是水;然后看山不是山，看水不是水;最后总结规律构建模型升华为看山仍然山，看水仍然是水。三年级下学期第二单元以前，运用除法一共有三种模型，分别是平均分、每几个一份能分成几份以及倍数关系，只有构建了三种模型，学生在解决问题以及应用时才能正确运用所学知识。
2.生活情景引入
数学的学习相对抽象，即使通过动手操作摆小棒，学生也很难理解除法为什么从高位算起，为此，课前谈话引入，笔者设计如下：
【片段1】
师：同学们，上学期期末，我们班级购买冬季厚版班服的事情还记得吗？
生：记得。
师：假如同一天田老师还需给你们每人发放一套夏版班服的话，你猜田老师会先发夏装还是冬装呢？为什么呢？
生1：先发夏装，因为夏装薄比较好发。
生2：先发冬装，因为我们班冬装很厚重，很占地方，当时把讲台都放满了，田老师肯定先发冬装。
师：你们的想法呢？同意生1的请举手，同意生2的请举手。
生举手投票，96%的同学支持第二种。 师：是啊，生活中，我们分发物品会先分发多的，后分发少的，那平均分的除法呢？这节课让我们一起来探究下吧！
3.教学顺序
教材的设计是，先教学42÷2，后教学52÷2，动手操作小棒探究42÷2时，有的学生基于之前加、减、乘的学习经验，会选择先平均分2根，再平均分4捆;有的学生基于生活经验平均分时先平均分多的，也就是整捆的十位，再平均分少的、单根的也就是个位;两种平均分的方法在十位和个位都没有余数时都可以，这就为学生辨析除法到底是从高位算起还是从低位算起，制造了困难，很多学生通过42÷2往往感知除法既可以从高位除起，又可以从低位除起，带着这种负面知识认知，再学习52÷2时，很多学生就不知道该先平均分十位还是个位，所以笔者建议先教学52÷2，再教学42÷2，让学生在探究52÷2时，深刻感知先平均分十位再平均分个位，进而小结规律，先从高位算起，一位一位算。
4.实践探究
三年级第二学期之前，运用除法的三种情况分别是平均分、每几个一份能分成几份以及倍数关系，但笔算竖式时，我们只将除法竖式看作第一种含义，就是平均分，例如52÷2，为了让学生深刻感知平均分的含义，一定要让学生经历实践操作摆小棒的过程，教学过程中向学生提出第一个疑问，先平均分整捆的，还是先平均分单根的。经过动手探究感知两个结论，一是平均分时先分整捆的，也就是竖式计算时从高位算起，二是余数要比除数小才能算下一位，如果余数等于或者大于除数就还可以再次平均分，商就要适当调整。
5.理解算理
数学真正的魅力在于培养人的数学思维和激发人的数学思考，如何培养学生的数学思维，促使学生主动思考呢？就是在日常教学中，不仅使学生会数学，还要懂原理，对于除法竖式来说，就是不仅会算法，还要会算理，能真正理解除法的含义，掌握平均分的过程，理解笔算除法的算理，才能活学活用、举一反三，扩宽数学思维的广度，增进数学思考的深度。
6.培养数感
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的数感培养主要包括“理解数的意义;能用多种方法表示数;能在具体的情境中把握数的相对大小;能用数表达和交流信息;能为解决问题选择适当的算法;能估计运算的结果等等。”笔算除法的数感培养目标是，在笔算除法过程中，把握商和除数的积与被除数之间的相对大小，那如何培养学生的这方面数感呢？首先落實学生乘法口诀的正确率和速度，其次提高除法口算（一位数除两位数、整百整十数）的正确率和速度，进而培养学生试商调商过程中的数感。
7.总结算法
通过以上建议操作，学生会深刻感知除法的含义、理解除法的算理、掌握并运用“余数小于除数”的原理，但是还要抽象总结概括出除法竖式算法，帮助学生梳理条理、理清思路，构建笔算除法的模型，使学生能有效利用所学算理算法正确进行笔算除法。
8.拓展一位数除多位数
通过课堂生成反馈，学生对于一位数除两位数、多位数时，一位一位除理解还是不够深刻。数学教学的知识点不应该是孤岛似的闪烁各自光芒，而应该是网状互动的，结合维果茨基的“最近发展区理论”，可以适当拓展知识，比如，一位数除以六位数（每一位都有余数）这种情况，学生在具体情境中感知数学的知识是通用的，也是为以后学习做好铺垫。
笔算除法是人教版三年级下册最难教学的内容之一，很多老师感慨学生怎么都教不会，反复练习又事倍功半，就是因为我们没有尊重学生的基本学情。陶行知先生提出教的法子根据学的法子、学的法子根据做的法子。我们的教学应当永远以学生“如何做”为导向，尊重学生已有知识经验，找到知识点之间的联系与区别，这样才能切实有效提高教学效果。
参考文献：
[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.1.