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[摘 要]分析当前数学课中存在的“去数学化”和“高耗低效”现象后，对课堂教学进行改革尝试。以“加法交换律和结合律”的磨课心路历程为例，从“选种”，“了解播种要求”，“播种安排”，“种地”等几方面探求教学方案，从而开启新的研究视野，探索数学教学“新方向”。
[关键词]加法运算律 磨课 心路历程
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）14-003
渔夫要对得起出航的大海，农民要对得起耕作的土地。而我，一位普通的小学数学老师，课堂就是我耕作的土地。在这块一亩三分地里，我勤勤恳恳地耕耘着，怀着“人无我有、人有我新、人新我实、人实我深”的永不满足的超越精神，演绎着一堂堂“真实有效、互动生成”的数学课。
一、观邻人种地
现象一：“种了别人的地，荒了自家的园”
出于对知识与技能的盲目追逐，很多数学课堂都忽视了本该拥有的文化气度和从容姿态。知识化、技巧化、功利化思想的不断弥散，让数学思想、方法和精神不但失去了可能生长的土壤，还逐渐被数学课堂所遗忘，这不能不说是一种悲哀。作为数学教师，千万不要种了别人的地，荒了自己的园。
现象二：“高投入，低产出”
农民总想以最低的经济投入获得最大的丰收，许多教师也投入了很大的“经济成本”：为了制作课件花费了许多宝贵的时间；购买教学实物花去了许多费用……如何以最低的投入获得最大的课堂效益？“简约、经济、实效”是数学课永远追求的目标。
二、去种自己的地
1.选种
农民在种地之前首先要考虑这一季庄稼种什么。教师上数学课，也要思考“教什么”。我坚信：教什么比怎么教更重要。“加法的交换律和结合律”这节课除了让学生掌握运算定律外，还要让学生初步掌握科学探究的方法，学会用数学的方法来思考问题。
2.了解播种要求
种子选好后，还要了解播种的要求。通过学习，夯实“四基”（基础知识、基本技能、基本的数学思想、基本的数学活动经验），发展学生的学力，促进学生的可持续发展。具体要求如下：
（1）使学生经历探索加法运算律的过程，理解并掌握加法的交换律和结合律，并初步感知加法运算律的价值，发展应用意识。
（2）使学生在学习用符号、字母表示自己发现的运算律的过程中，初步发展符号意识，初步培养归纳、推理的能力，逐步提高抽象思维的水平。
（3）在“猜想——举例验证——产生新的猜想——再验证”的学习过程中，培养学生初步的探究能力，使学生初步形成探究问题的意识和习惯。
（4）使学生在数学活动中获得成功的体验，进一步增强对数学学习的兴趣和信心。
3.播种安排
（1）播种愿望
通过实践，力图明晰教学惯常行为背后的预设、信念、思维模式，打开数学教学一扇新天窗，开启新的视野，探索数学教学“新方向”。
（2）播种安排
在数学问题的不断生成和解决中，让学生经历数学文明的探索历程。数学学习是思维的旅行，把数学探索的历程浓缩成一堂课，学生在探究的世界里尽情遨游，这样学到的数学才是真正意义上的数学。
4.种地
在一次课堂教学观摩活动中，我执教了“加法的交换律和结合律”。课堂实录如下：
【别有用心的课前谈话】
师：我们先来玩一个游戏。请两名同学到讲台上来仔细观察下面同学的座位，然后你们背过身去，老师将台下两名同学的位置调换一下，看你们能不能发现谁被调换了。
（学生认真观察，兴致很高，很快就发现了调座位的同学）
师：其实，无论在生活中，还是在数学学习的过程中，我们都要学会用数学的眼睛来观察，用数学的头脑来思考。
【独具匠心的课堂引入】
师：这节课先请大家认识一个成语——朝三暮四。它本来的意思就是早上3个、晚上4个。这里还有一个小故事呢。从前有一个人，养了一群猴子。一天，他对猴子说：“早上给你们每人3个桃子，晚上给你们每人4个。”猴子一听，都表示抗议。“那么，早上每人4个，晚上每人3个，怎么样？”“早上吃4个，变多了。好！好！好！”
师：听了这个故事，大家有什么想法？
生：我觉得猴子太傻了，养猴的人只不过把早上吃的个数和晚上吃的个数调换了，猴子就上当了。
【洋溢真我的“自主建构”】
师：听了这个故事后，你能列出哪两道加法算式？它们之间有什么样的关系？
生1：3 4 = 4 3。
师： 观察这一等式， 你有什么发现？
生2： 我发现调换加数的位置，和还是一样的。
师：老师的发现和你很相似，但略有不同。（出示：交换3和4的位置，和不变）比较我们俩给出的结论，你想说些什么？
生2： 我觉得您给出的结论只代表一个特例，而我给出的结论能代表许多情况。
师：的确，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置，和不变”这样的结论，似乎草率了点，但我们可以把它看作是一个猜想。既然是猜想，那么我们还得怎样？
生3：验证。
师：怎么验证呢？
生4：举例。
……
师：有没有谁举例时发现了反例，也就是“交换两个加数的位置，和变了”？（学生摇头）我们能验证刚才的猜想吗？
生5： 能。
师：在这一组等式中，什么变了？什么不变？
生6：加数的位置变了，但它们的和不变。
师：原来，“变”和“不变”有时也能这样巧妙地结合在一起。你能用自己喜欢的方法将其中的规律表示出来吗？ 生7：甲数 乙数 = 乙数 甲数。
生8：□ ○ = ○ □。
生9：？ ！= ！ ？。
生10： a b = b a。
……
师：用字母表示和用文字表示，哪一种方法更好？ 为什么？（展示学生作品后，引导学生相互评价）
师： 经过举例验证，我们可以把这个猜想总结成一条定律。谁能给它起名字？
生11： 交换律。
生12： 加法交换律。
师（出示“38 47 = 75”的竖式）：马小虎同学做了这样一道题，我们怎么知道他做对了没有呢？
生13：可以调换两个加数的位置，再验算一遍。
师：其实，加法交换律还可以用这样的线段图来表示。你能用自己的话说说图的意思吗？
师：在以前的学习中，你在哪里用过加法交换律？能举个例子吗？
生14：一幅小棒图，左边有9根小棒，右边有5根小棒。求出小棒的总数，可以列式“9 5”，也可以列式“5 9”，“9 5=5 9”，这里就用到了加法交换律。
生15：在进行加法验算的时候，其实就是用到了加法交换律。
……
【激荡思维的师生互问】
师：加法中除了有交换律，还有没有其他规律呢？ 如果三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和会不变吗？我们不妨也把它看作是一个猜想，怎样验证呢？
生1：举例验证。（学生给出几组等式）
师：比较这几组等式，你发现了什么？
生2：刚才的猜想是正确的。
师：我们把这样的一个运算定律称为加法的结合律，你会用字母来表示吗？
生3：a b c = a （b c）。
【跳出常规的课堂练习】
师（出示课本的情境图：28个男生在跳绳，17个女生在跳绳，23个女生在踢毽子）：你能提出哪些用加法解决的数学问题？
生1： 跳绳的有多少人？
生2：女生有多少人？
生3： 参加活动的一共有多少人？
师： 你能列出不同的算式解决这些数学问题吗？
师（出示“38 76 24”和“38 （76 24）”）：这两道题目的计算结果一样吗？你喜欢做哪道题？
生4：一样，喜欢做第二道题，因为它比较简便。
师（出示“56 75 25”）：对于这道题你能很快算出答案吗？怎样算的？
生5：156，先算后两个数的和。
师：你能像老师这样出一道三个数连加的式子，让其他同学能很快说出计算结果吗？
（学生出题）
……
【清新自然的课堂小结】
师： 通过这节课的学习，你有哪些收获？还有哪些遗憾呢？
生1： 有了猜想，还需要举例来验证，得出的结论才准确。
生2：举例时尽可能多，而且要举一些特殊的例子，这样得出的结论才准确。
生3：这节课我不仅学会了加法运算律，感受到它可以使计算简便，还掌握了用“猜想——验证——总结——应用”来探索数学问题的方法。
生4：这节课太有趣了，我感到时间太短了，还有许多定律没有探索出来。
师：你还有哪些新的猜想吗？
生5：乘法有交换律和结合律吗？
生6：除法和减法中有交换律和结合律吗？
……
师：数学学习是一条永无止境的路，愿同学们不断地研究、探索，未来的数学家就在你们中间。
这节课是思维涅槃之后悄然再生的。我在想：怎样用数学的美吸引学生？怎样让每个学生都在课堂上得到有效的发展？我对理想课堂的思考与追求，也因为这节观摩课而有了质的飞跃。
三、收获了什么？
1.“给数学课补点钙，让它拥有数学的脊梁”
千万次地追问：数学是什么？数学可以形成怎样的影响力？答案并不唯一。但我以为，数学可以在人的内心深处培植理性的种子，可以让人学会数学地思考，学会理性地看待问题。在这节课中，“变与不变”的辩证关系，“猜想——举例验证——提出新的猜想”的思考路径，数学自身的内在魅力（如数学的抽象性、简洁性、严密性、精美性），以及由“此知”及“彼知”的数学联想等都得到了一一展现，成为超越知识之上的更高的数学课堂追求。这是因为，数学发展史中的创造数不胜数，但是，我们可以看到任何一个数学问题都是沿着“猜想——举例验证——总结——应用”的轨迹延伸发展的。
2.“学数学为人生”
运算律本身只是一个显性知识，而在这个显性知识背后隐藏着探索的方法和策略，以及勇于探索的精神和互助互爱的人格品质。对学生来说，隐性知识比显性知识更重要。学生走出校门之后，可能一辈子再也碰不到加法交换律和结合律的题目，但是他要用这种探索规律的方法和策略去面对纷繁复杂的人生。可见，一种教育只有能教人求真、求善、求美，只有能对人的生命成长提供本质的力量，才是真正的教育。
四、几点困惑
课堂实践虽然画上了句号，但思考添加的却是省略号。如何寻找数学课广度和深度之间的黄金分割？如何处理预设和生成、生活味和数学化、短效和长效之间的关系？……这些都有待于今后不断地完善。
想起了艾青的诗句：“为什么我的眼里常含泪水，因为我对这片土地爱得深沉。”是的，数学、数学课堂、数学教育，是我永远耕作的土地。我愿做一个思考的行者，在课堂实践的土壤里，在审视自己的过程中，不断学习反思，不断完善自我、超越自我。
（责编 金 铃）
[关键词]加法运算律 磨课 心路历程
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）14-003
渔夫要对得起出航的大海，农民要对得起耕作的土地。而我，一位普通的小学数学老师，课堂就是我耕作的土地。在这块一亩三分地里，我勤勤恳恳地耕耘着，怀着“人无我有、人有我新、人新我实、人实我深”的永不满足的超越精神，演绎着一堂堂“真实有效、互动生成”的数学课。
一、观邻人种地
现象一：“种了别人的地，荒了自家的园”
出于对知识与技能的盲目追逐，很多数学课堂都忽视了本该拥有的文化气度和从容姿态。知识化、技巧化、功利化思想的不断弥散，让数学思想、方法和精神不但失去了可能生长的土壤，还逐渐被数学课堂所遗忘，这不能不说是一种悲哀。作为数学教师，千万不要种了别人的地，荒了自己的园。
现象二：“高投入，低产出”
农民总想以最低的经济投入获得最大的丰收，许多教师也投入了很大的“经济成本”：为了制作课件花费了许多宝贵的时间；购买教学实物花去了许多费用……如何以最低的投入获得最大的课堂效益？“简约、经济、实效”是数学课永远追求的目标。
二、去种自己的地
1.选种
农民在种地之前首先要考虑这一季庄稼种什么。教师上数学课，也要思考“教什么”。我坚信：教什么比怎么教更重要。“加法的交换律和结合律”这节课除了让学生掌握运算定律外，还要让学生初步掌握科学探究的方法，学会用数学的方法来思考问题。
2.了解播种要求
种子选好后，还要了解播种的要求。通过学习，夯实“四基”（基础知识、基本技能、基本的数学思想、基本的数学活动经验），发展学生的学力，促进学生的可持续发展。具体要求如下：
（1）使学生经历探索加法运算律的过程，理解并掌握加法的交换律和结合律，并初步感知加法运算律的价值，发展应用意识。
（2）使学生在学习用符号、字母表示自己发现的运算律的过程中，初步发展符号意识，初步培养归纳、推理的能力，逐步提高抽象思维的水平。
（3）在“猜想——举例验证——产生新的猜想——再验证”的学习过程中，培养学生初步的探究能力，使学生初步形成探究问题的意识和习惯。
（4）使学生在数学活动中获得成功的体验，进一步增强对数学学习的兴趣和信心。
3.播种安排
（1）播种愿望
通过实践，力图明晰教学惯常行为背后的预设、信念、思维模式，打开数学教学一扇新天窗，开启新的视野，探索数学教学“新方向”。
（2）播种安排
在数学问题的不断生成和解决中，让学生经历数学文明的探索历程。数学学习是思维的旅行，把数学探索的历程浓缩成一堂课，学生在探究的世界里尽情遨游，这样学到的数学才是真正意义上的数学。
4.种地
在一次课堂教学观摩活动中，我执教了“加法的交换律和结合律”。课堂实录如下：
【别有用心的课前谈话】
师：我们先来玩一个游戏。请两名同学到讲台上来仔细观察下面同学的座位，然后你们背过身去，老师将台下两名同学的位置调换一下，看你们能不能发现谁被调换了。
（学生认真观察，兴致很高，很快就发现了调座位的同学）
师：其实，无论在生活中，还是在数学学习的过程中，我们都要学会用数学的眼睛来观察，用数学的头脑来思考。
【独具匠心的课堂引入】
师：这节课先请大家认识一个成语——朝三暮四。它本来的意思就是早上3个、晚上4个。这里还有一个小故事呢。从前有一个人，养了一群猴子。一天，他对猴子说：“早上给你们每人3个桃子，晚上给你们每人4个。”猴子一听，都表示抗议。“那么，早上每人4个，晚上每人3个，怎么样？”“早上吃4个，变多了。好！好！好！”
师：听了这个故事，大家有什么想法？
生：我觉得猴子太傻了，养猴的人只不过把早上吃的个数和晚上吃的个数调换了，猴子就上当了。
【洋溢真我的“自主建构”】
师：听了这个故事后，你能列出哪两道加法算式？它们之间有什么样的关系？
生1：3 4 = 4 3。
师： 观察这一等式， 你有什么发现？
生2： 我发现调换加数的位置，和还是一样的。
师：老师的发现和你很相似，但略有不同。（出示：交换3和4的位置，和不变）比较我们俩给出的结论，你想说些什么？
生2： 我觉得您给出的结论只代表一个特例，而我给出的结论能代表许多情况。
师：的确，仅凭一个特例就得出“交换两个加数的位置，和不变”这样的结论，似乎草率了点，但我们可以把它看作是一个猜想。既然是猜想，那么我们还得怎样？
生3：验证。
师：怎么验证呢？
生4：举例。
……
师：有没有谁举例时发现了反例，也就是“交换两个加数的位置，和变了”？（学生摇头）我们能验证刚才的猜想吗？
生5： 能。
师：在这一组等式中，什么变了？什么不变？
生6：加数的位置变了，但它们的和不变。
师：原来，“变”和“不变”有时也能这样巧妙地结合在一起。你能用自己喜欢的方法将其中的规律表示出来吗？ 生7：甲数 乙数 = 乙数 甲数。
生8：□ ○ = ○ □。
生9：？ ！= ！ ？。
生10： a b = b a。
……
师：用字母表示和用文字表示，哪一种方法更好？ 为什么？（展示学生作品后，引导学生相互评价）
师： 经过举例验证，我们可以把这个猜想总结成一条定律。谁能给它起名字？
生11： 交换律。
生12： 加法交换律。
师（出示“38 47 = 75”的竖式）：马小虎同学做了这样一道题，我们怎么知道他做对了没有呢？
生13：可以调换两个加数的位置，再验算一遍。
师：其实，加法交换律还可以用这样的线段图来表示。你能用自己的话说说图的意思吗？
师：在以前的学习中，你在哪里用过加法交换律？能举个例子吗？
生14：一幅小棒图，左边有9根小棒，右边有5根小棒。求出小棒的总数，可以列式“9 5”，也可以列式“5 9”，“9 5=5 9”，这里就用到了加法交换律。
生15：在进行加法验算的时候，其实就是用到了加法交换律。
……
【激荡思维的师生互问】
师：加法中除了有交换律，还有没有其他规律呢？ 如果三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和会不变吗？我们不妨也把它看作是一个猜想，怎样验证呢？
生1：举例验证。（学生给出几组等式）
师：比较这几组等式，你发现了什么？
生2：刚才的猜想是正确的。
师：我们把这样的一个运算定律称为加法的结合律，你会用字母来表示吗？
生3：a b c = a （b c）。
【跳出常规的课堂练习】
师（出示课本的情境图：28个男生在跳绳，17个女生在跳绳，23个女生在踢毽子）：你能提出哪些用加法解决的数学问题？
生1： 跳绳的有多少人？
生2：女生有多少人？
生3： 参加活动的一共有多少人？
师： 你能列出不同的算式解决这些数学问题吗？
师（出示“38 76 24”和“38 （76 24）”）：这两道题目的计算结果一样吗？你喜欢做哪道题？
生4：一样，喜欢做第二道题，因为它比较简便。
师（出示“56 75 25”）：对于这道题你能很快算出答案吗？怎样算的？
生5：156，先算后两个数的和。
师：你能像老师这样出一道三个数连加的式子，让其他同学能很快说出计算结果吗？
（学生出题）
……
【清新自然的课堂小结】
师： 通过这节课的学习，你有哪些收获？还有哪些遗憾呢？
生1： 有了猜想，还需要举例来验证，得出的结论才准确。
生2：举例时尽可能多，而且要举一些特殊的例子，这样得出的结论才准确。
生3：这节课我不仅学会了加法运算律，感受到它可以使计算简便，还掌握了用“猜想——验证——总结——应用”来探索数学问题的方法。
生4：这节课太有趣了，我感到时间太短了，还有许多定律没有探索出来。
师：你还有哪些新的猜想吗？
生5：乘法有交换律和结合律吗？
生6：除法和减法中有交换律和结合律吗？
……
师：数学学习是一条永无止境的路，愿同学们不断地研究、探索，未来的数学家就在你们中间。
这节课是思维涅槃之后悄然再生的。我在想：怎样用数学的美吸引学生？怎样让每个学生都在课堂上得到有效的发展？我对理想课堂的思考与追求，也因为这节观摩课而有了质的飞跃。
三、收获了什么？
1.“给数学课补点钙，让它拥有数学的脊梁”
千万次地追问：数学是什么？数学可以形成怎样的影响力？答案并不唯一。但我以为，数学可以在人的内心深处培植理性的种子，可以让人学会数学地思考，学会理性地看待问题。在这节课中，“变与不变”的辩证关系，“猜想——举例验证——提出新的猜想”的思考路径，数学自身的内在魅力（如数学的抽象性、简洁性、严密性、精美性），以及由“此知”及“彼知”的数学联想等都得到了一一展现，成为超越知识之上的更高的数学课堂追求。这是因为，数学发展史中的创造数不胜数，但是，我们可以看到任何一个数学问题都是沿着“猜想——举例验证——总结——应用”的轨迹延伸发展的。
2.“学数学为人生”
运算律本身只是一个显性知识，而在这个显性知识背后隐藏着探索的方法和策略，以及勇于探索的精神和互助互爱的人格品质。对学生来说，隐性知识比显性知识更重要。学生走出校门之后，可能一辈子再也碰不到加法交换律和结合律的题目，但是他要用这种探索规律的方法和策略去面对纷繁复杂的人生。可见，一种教育只有能教人求真、求善、求美，只有能对人的生命成长提供本质的力量，才是真正的教育。
四、几点困惑
课堂实践虽然画上了句号，但思考添加的却是省略号。如何寻找数学课广度和深度之间的黄金分割？如何处理预设和生成、生活味和数学化、短效和长效之间的关系？……这些都有待于今后不断地完善。
想起了艾青的诗句：“为什么我的眼里常含泪水，因为我对这片土地爱得深沉。”是的，数学、数学课堂、数学教育，是我永远耕作的土地。我愿做一个思考的行者，在课堂实践的土壤里，在审视自己的过程中，不断学习反思，不断完善自我、超越自我。
（责编 金 铃）