在本文中，我们研究了完备黎曼流形上的曲率流的一些几何性质，同时，也给出了它们的一些应用。 在微分几何中，在一定的曲率条件下，了解给定的流形的拓扑是一个重要的问题。八十年代为解决Poincaré猜想和Thurston几何化猜测，Hamilton引进了一个重要的工具：Ricci流。近年来Ricci流理论已经成为几何分析的核心的课题之一，而Ricci流理论中的一个关键的问题是怎样了解奇点的结构。为此，Hamilton将紧流形上的Ricci流方程的解的奇点分成两类，分别称为第一类奇点和第二类奇点。对于第一类奇点，人们已经有了很好的认识，而对于第二类奇点，已知的结果是非常少的，人们甚至不知道它是否存在。关于这个问题，Hamilton猜测第二类奇点是存在的，并且曾经在文章[43]中描述过它的实现过程，在Ben Chow，Peng Lu和Lei Ni的关于Ricci流的书中[28](见第XXV页)，该问题被称为一个公开的问题。本文的第一个结果是解决了这个公开的问题，证实了Hamilton的猜测，证明了紧流形上第二类奇点的存在性。定理0.1 对每个n≥2，在Sn+1中存在径向对称的度量，使得以这些度量为初值的Ricci流方程{(а)gij/(а)t=-2Rij,gij(0)=(g)ij. 的解将发生第二类奇点。本文的第二个结果是证明在一定条件下，如果流形的Ricci曲率的特征值在每点都相互接近，那么该流形是紧致的。定理0.2 设Mn(n≥3)是一个完备的局部共形平坦的黎曼流形，具有有界和正的数量曲率。假设Mn具有非负截面曲率，并且满足Rij≥εRgij，其中ε>0，那么Mn是紧致的。 上述的结果可以看作是经典的Bonnet—Myers定理的一个类似的结果。 本文的第三部分是给出了广义Frankel猜想的一个简短的且完全分析的证明，并进行了推广，从而得到了在非负正交的全纯双截曲率条件下的K(a)hler流形的完全分类。 定理0.3 设(Mn，h)是一n维(n≥2)的紧K(a)hler流形，具有非负的正交的全纯双截曲率，((M)n，(h))是其万有覆盖空间。则((M)n，(h))必全纯等距于下列流形中其中的一个： (1)(Ck，h0)×(M1，h1)×…×(Ml，hl)×(CPn1，θ1)×…×(CPnτ，θτ)，其中h0表示Ck上的欧氏度量，hi(1≤i≤l)是秩≥2的不可约紧Hermitian对称空间Mi上的相应度量，θj(1≤j≤r)是CPnj上的K(a)hler度量具有非负正交的全纯双截曲率； (2)(Y,go)×(M1，h1)×…×(Ml，hl)×(CPn1，θ1)×…×(CPnr，θr)，其中Y或者是一单连通的黎曼面，高斯曲率在某点为负，或者是一单连通的非紧K(a)hler流形，复维数dim(Y)≥2，具有非负的正交的全纯双截曲率且全纯截面曲率的最小值<0，Mi，CPnj(1≤i≤2，1≤j≤r)和情况(1)中的相同。并且，Mi和CPnj的全纯截面曲率≥-min{Y的全纯截面曲率}>0。