Hardy空间是调和分析的重要课题，有着悠久的研究历史，它的发展对偏微分方程、复分析、几何分析等领域有着重要的推动作用。近年来，Hardy空间的研究取得重要的进展，P.Auscher，X．T．Duong和A．McIntosh等人使用面积函数定义了与微分算子相联系的的Hardy空间。后来，X．T．Duong和L．X．Yan等人进一步深入研究这些空间，他们发现了很多与经典Hardy空间相类似的性质，同时也发现了很多本质上的区别。因此我们希望对这种与算子相联系的Hardy空间进行更加深入的研究。在Hardy空间的研究取得进展的同时，奇异积分算子理论也发生了深刻的变化，A．McIntosh和X．T．Duong给出了一种新的奇异积分算子理论，它不但能涵括经典的奇异积分算子理论，更重要的是它还能解决非光滑核的奇异积分算子的问题，这是经典理论所不能做到的，因此有着重要的意义。一个自然的问题是能否把这些理论推广到乘积空间上，这便是本文第三章要研究的问题。而奇异积分算子理论中一个重要的问题是如何确定算子的L2有界性，在经典的卷积型算子，可以采用Fourier变换的办法得到，后来为了研究非卷积型的奇异积分算子，David和Journé给出了著名的T1定理从而得到算子的L2有界性的判别法则；但是为了更方便地验证算子的L2有界性，T1定理并没给出非常满意的答案，为了解决这个问题，后来由David，Journé和Semmes给出了全局的Tb定理，M．Christ给出了局部的Tb定理，再后来P.Auscher等人利用树分解理论把局部Tb定理的条件从L∞减弱到L2，这在偏微分方程上有着重要的应用。本文第四章的目的就是把该局部Tb定理推广到齐性空间上。本文共分为四章。第一章中，我们将介绍本文研究课题的历史背景、研究现状、研究方法及其意义，并给出了本论文的的主要结果。 众所周知，Hardy空间有着多种等价刻画，在文献[DSTY]中，我们给出了乘积空间上与算子相联系的乘积Hardy空间的几个等价刻画，遗憾的是没能给出原子分解和极人函数刻画；因此本文第二章将研究乘积空间上与更加特殊的算子(即Schr(o)dinger算子)相联系的Hardy空间的多种等价刻画，其中包括了原子分解和极大函数刻画。 第三章中，我们将给出乘积空间上的非光滑核的奇异积分算子，它不但包含了经典的奇异积分算子，更重要的是包含了非光滑核的奇异积分算子。在这一章中，我们还给出了符合我们理论条件的例子。 第四章中，我们将利用树分解理论和Beylkin—Coinfman—Rokhlin算法，给出齐性空间上的局部Tb定理，值得注意的是齐性空间上没有Harr基，但文献[AHMTT]的证明需要利用Harr基，因此我们的证明也要做相应的改变。