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设F是特征不为2，3的域，C是复数域．设T2(F)和T2(C)分别是F和C上2×2上三角矩阵代数．一个矩阵A∈T2(F)若满足A3=A，则A叫做立方幂等阵．一个矩阵A∈T2(C)若满足Ak=A，则A叫做k幂等阵，这里k≥3.设T和Tk2(C)分别是T2(F)和T2(C)上所有立方幂等矩阵和k-幂等矩阵构成的子集．我们将刻画Φ(F)中φ的形式且φ满足；由A-AB∈T可以推出φ(A)-λφ(B)∈T，(V)λ∈F，B∈T2(F)．Φ(F)记所有从T2(F)到自身的上述单射φ的集合．若映射φ满足：由A-AB∈Tk2(C)可以推出φ(A)-λφ(B)∈Tk2(C)，则称φ是保k幂等的．用Φ(C)记所有从T2(C)到自身的上述单射φ的集合．
在第1章中我们给出了加法、乘法、线性和A-λB型保持问题的简要介绍．在第2章中刻画了T2(F)到T2(F)的保矩阵立方幂等的映射的形式．在第3章中刻画了T2(C)到T2(C)的保矩阵k-幂等的映射的形式．
用Eij表示(i,j)位置是1，其它位置是0的的矩阵．AT表示A的转置．I2表示T2(F)和T2(C)中的单位阵．记[1，n]表示集合{1，2，…，n}，A表示集合{ε|εk-1=1}．映射g记从[1，n]到[1，n]的双射．-A表示A的共轭，A*表示-AT，称为A的共轭转置．R(X)表示X的谱半径．GLn(F)为域F上的n阶一般线性群．