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本文有两个部分：在第一部分，我们研究了带边黎曼曲面上Toda系统的解，给出了临界状态下Toda系统有解的一个充分条件。
在第二部分，对n维的完备非紧黎曼流形M，我们推导了M×(-∞，0]上快速扩散方程和非线性抛物方程正解的椭圆型梯度估计。作为应用，我们分别得到了这两类方程正解的Liouville型定理。这推广了Souplet-张([58])的结果。另外，我们还得到了Ricci流下的多孔介质方程正解的局部梯度估计和Harnack型不等式。