可压缩Euler方程组和Navier-Stokes方程组是流体力学中两个基本模型。这两类方程组及其相关系统数值模拟的研究是当今计算流体力学研究领域的重要课题之一。为了讨论这两个基本模型，本论文提出了两类松弛方法：首先基于状态变量梯度的松弛，提出一类新型二值算法，用于求解包括Euler方程组在内的双曲守恒律；第二类方法则基于通量的松弛，用于求解包括可压缩Navier-Stokes方程组在内的对流扩散方程组。　　双曲守恒律的数值求解通常使用高分辨率守恒方法。该类方法包括两个步骤：数据重构和构造近似Riemann解法器，其中数据重构是提高格式精度的有效方法之一。传统的数据重构方法主要通过状态变量的单元积分平均以及限制器的选取求得状态变量梯度的近似，从而得到状态变量在空间上的高阶分片多项式逼近，这一过程通常与方程本身无关。如何将数据重构中状态变量的梯度与原方程联系起来使得数据重构的过程更为合理有效应该是构造数值格式的一个重要讨论方向。　　出于对上述问题的考虑，我们基于状态变量梯度的松弛给出了一类求解非线性双曲守恒律的新型高分辨率二值有限体积格式。不同于传统的MUSCL型格式，我们采用合适的状态变量梯度松弛方法，通过原守恒律方程构造了一个关于状态变量梯度的新系统，并将新系统与原守恒律方程联立求解构造新二值格式，其中每一步数据重构中所需的状态变量梯度取自于新系统计算得到的状态变量梯度近似。我们基于二阶中心框架给出了相应二阶交错网格中心型二值有限体积格式；证明了由该方法得到的中心型二值格式在求解一维单个守恒律时是总变差有界(TVB)的，且格式满足单元熵不等式；最后通过一维和二维数值实验可以验证新二值格式是适用的。　　第二类松弛方法则是出于对下列问题的考虑：由于可压缩Navier-Stokes方程组较Euler方程组多出非线性粘性项，数值方法在处理粘性项时为保证格式稳定性通常都会受到约束，导致计算的时间步长变小或者需要求解大型线性方程组，使得计算代价较为昂贵。　　考虑到对流扩散方程组和双曲守恒律之间特殊的关系，我们提出了一类求解包括可压缩Navier-Stokes方程组在内的对流扩散方程组的通量松弛方法。此通量松弛方法是将对流扩散方程组中物理粘性项和热传导效应写进流函数中，利用通量松弛的思想，把原系统转化成一个带源项的双曲系统，因此可利用双曲系统中许多成熟的算法进行求解。我们给出了求解对流扩散方程组的通量松弛方法的一般框架，并讨论了一维单个对流扩散方程对应通量松弛系统的耗散性；针对可压缩Navier-Stokes方程组写出具体松弛系统，并且给出相应基于HLL-Riemann求解器的迎风型通量松弛格式；证明了求解一维单个对流扩散方程的一阶迎风型通量松弛格式在局部平衡态附近的稳定性，给出了松弛参数在数值格式稳定性中需满足的条件，因此发现松弛参数有助于调整松弛系统和数值格式的耗散程度：最后本文给出了单个对流扩散方程和可压缩Navier-Stokes方程组的一维和二维数值算例。　　本文的创新之处表现在：　　(1)针对求解双曲守恒律的高分辨率格式必须要用到的高阶数据重构，构造了一个新的关于状态变量梯度的系统，给出了数据重构中用到的状态变量梯度近似的一个新的理解，相应得到一类新型二值有限体积格式；证明了新二阶中心型二值格式应用在一维单个守恒律时的稳定性及离散单元熵不等式，其中后者对于一般的高分辨率格式来说较难做到。　　(2)针对对流扩散方程组，提出了一类新型通量松弛方法，将包括可压缩Navier-Stokes方程组在内的对流扩散方程组转化为一个带源项的双曲系统，因此可利用双曲系统中许多成熟的算法进行求解，使得计算更为简便；同时松弛系数的引入有助于调整格式的数值耗散程度。