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本文中,我们考虑哈密尔顿系统z=JHz(t,z),(0.0.1)其中H:R×R2n=R×Rn×Rn→R,(t,z)=(t,x,y)→H(t,x,y)满足:(PH)H∈C2(R×R2n,R)关于每个分量都是2π-周期的.(EH)H(t,-z)=H(t,z),(A)(t,z)∈R×R2n.(EH)H(-t,x,y)=H(t,x,y)=H(t,-x,y),(A)(t,x,y)∈R×Rn×Rn.我们要寻找(0.0.1)满足x(-t)=-x(t)且y(-t)=y(t)(A)t∈R.(0.0.2)的2π-周期解z=(x,y).对每个这种解z0(t),可指定两种类型的Maslov-指标(取值在Z×{0,…,2n}中的整数对),(i2π(z0),v2π(z0))及(μ1,2π(z0),v1,2π(z0)).显然,问题(0.0.1)-(0.0.2)至少有2n个常值解(也称为平凡解),构成集合:W2n={(0,wn+1,…,w2n)∈R2n|wn+i∈{0,π),i=1,,n}.
本文第一个主要结果表明:如存在w0∈W2n且μ1,2π(w0)≠0使得条件(NH)成立,则μ1,2π(w0)＞n时问题(0.0.1)-(0.0.2)至少有μ1,2π(w0)-n对非平凡解,μ1,2π(wo)＜-v1,2π(w0)时至少有|μ1,2π(w0)|-v1,2π(w0)对.
对任何m∈N,W0也是(0.0.1)的2mπ-周期解.如果它的平均指标i2π(w0)=limm→∞i2mπ(w0)/m≠0,本文第二个主要结果断言:(i)如果i2π(w0)＜0且整数m＞4n/|i2π(w0)|满足(NHm),则问题(0.0.1)-(0.0.2)至少有[m|i2π(w0)|-4n/2]对非平凡的2mπ-周期解.(ii)如果i2π(w0)＞0且整数m＞3n/i2π(w0)满足(NH"m),则问题(0.0.1)-(0.0.2)至少有[mi2π(w0)-3n/2]对非平凡的2mπ-周期解.
对二阶系统-d2x/dt2=Vx(t,x),在V满足类似假设下也获得了类似结果.