为了使Hilbert变换在信号分析的应用中具有坚实的数学基础，本文研究了乘积函数的Hlibert变换问题。在前人研究结果的基础上，给出了L2(R)上的Bedrosian恒等式成立的新的充要条件，利用此条件得到了一些满足Bedrosian恒等式的特解，举出例子说明以前的Bedrosian型充分条件都不是必要的。同时，刻画了一类函数的特征，对这类函数而言，不存在对应的函数使它们的乘积满足Bedrosian恒等式。在进一步理解Bedrosian定理的过程中，发现了在某些特定条件下，如果函数f是Fourier低频的，那么fg要满足Bedrosian恒等式，g必须是Fourier高频的。所有对应的结果在周期函数和周期的Hilbert变换的情形得到了证明。在此过程中发展了加性正定核的理论，同时发现了Bedrosian恒等式及周期的Bedrosian恒等式分别与L2(R+)及l2(Z+)上右平移不变子空间之间的密切联系。根据构造高维解析信号的不同方法，研究了相应的高维Bedrosian恒等式成立的充要条件。最后，利用这些结果研究了在HHT算法中起到重要作用的内蕴模态函数(Intrinsic Mode Function)。