【摘 要】
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本文主要研究齐次A-调和方程与共轭A-调和方程的解的性质.在回顾了有关A-调和方程的解的基本概念与主要结论的基础上,证明了关于A-调和张量的加权积分不等式.同时给出一些重
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本文主要研究齐次A-调和方程与共轭A-调和方程的解的性质.在回顾了有关A-调和方程的解的基本概念与主要结论的基础上,证明了关于A-调和张量的加权积分不等式.同时给出一些重要算子的L
-估计,例如同伦算子T、Green算子G、Hodge上微分算子d<*> 及Laplace-Beltrami算子△.本文主要工作总结如下:1.在T.Iwaniec,C.Nolder和S.Ding等人的研究工作基础上,证明了满足A-调和方程的微分形式的局部及全局加权积分不等式的参数形式,包括Caccioppoli不等式与逆Holder不等式.这些结论是关于Sobolev函数的相应不等式的推广,其中的参数使得到的不等式更加灵活、适用.2.文中介绍了Green算子G与同伦算子T,它们是数学分支中的两类重要算子.我们首先建立了作用在微分形式上的复合算子ToG的Sobolev嵌入不等式及Poincaré不等式,并将得到的结论推广成关于A-调和张量的局部A<,r>(M)-加权形式.然后利用紧流形的性质,得到了全局A<,r>(M)-加权积分不等式.3.共轭A-调和张量是共轭调和函数的自然推广.文中首先建立了一对共轭A-调和张量之间的估计式,从而得到了关于Hodge上微分算子d<*>与Green算子G的A<,r>(Ω)-加权Poincaré不等式及Sobolev嵌入定理.随后,我们给出了作用于共轭A-调和张量的投影算子H的局部加权L
-估计,进一步在John域上证明了关于投影算子H的全局加权估计式.上述结论为研究投影算子及共轭A-调和方程的解的性质提供了有效的研究工具.4.本文回顾了几类双权的定义,例如A<,r>,<,λ>(Ω)、A<,r>(λ,Ω)及A<,r><λ>(Ω).进而证-Ⅰ-明了关于A-调和方程的解的双权积分不等式,如逆Holder不等式及Sobolev嵌入不等式,并将得到的结果应用于R中的K-拟正则映射上.随后相应于不同的双权,我们给出了关于复合算子ToG的局部L-估计的双权形式,最后在紧流形上给出了ToG全局加权积分估计的双权形式.
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