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组合恒等式和组合同余式是组合数论的重要内容.本文主要研究关于Bernoulli，Euler多项式的对称恒等式以及关于Salié数的q模拟和二项式系数的同余式.Miki，Matiyasevich发现了Bernoulli数卷积恒等式.在2006年，孙智伟和潘颢又发现了Bernoulli和Euler多项式对称恒等式.Salié数Sn有重要的组合意义.利用Bernoulli数的算术性质，Carlitz证明了对任意自然数n，2n整除S2n.郭军伟和曾江引入了三种Salié数的q模拟.孙智伟提出了很多与二项式系数求和有关的同余式猜想. 在本文中，我们首先提出了Euler多项式的两个一般的对称恒等式，并给出了证明.接着研究了q-Salié数的可除性，证明了郭军伟和曾江关于Salié数q模拟的两个猜想.最后完全证明了孙智伟猜想的7个同余式和部分证明了他猜想的另外2个同余式，它们涉及中心二项式系数的和式以及调和数. 全文共分四章，内容如下: 第一章包括主要内容介绍和预备知识. 在第二章中，我们主要对孙智伟和潘颢关于Euler多项式的一个对称恒等式进行推广.当m是奇数时，推广形式是关于m个Euler多项式卷积和的恒等式;当m是偶数时，推广形式是关于m个Bernoulli，Euler多项式卷积和的恒等式.证明过程中使用了差分技巧.我们把主要结果叙述如下: 设m，n是自然数，r0，r1，…，rm是使得r0+r1+…+rm=n-1的任意复数. (1)如果m是奇数，则有∑k1，…，km≥0 k1+…+km=n m∏j=1(rjkj)Ekj(xj)=-m∑i=1(-1)i∑k1，…，km≥0 k1+…+km=n(r0ki)Eki(1-xi)∏1≤j≤m j≠i(rjkj)Ekj(xj-xi+1j＞i), 记号1j＞i在j＞i时取值1，否则取值0. (2)当m是偶数时，则有r0/2∑k1，…，km≥0 k1+…+km=nm∏j=1(rjkj)Ekj(xj)=m∑i=1(-1)i∑k1，…，km≥0 k1+…+km=n(r0ki)Eki(1-xi)∏1≤j≤m j≠i(rjkj)Ekj(xj-xi+1j＞i). 取x1=…=xm=1/2，有如下推论: 设m，n是自然数，r0，r1，…，rm是使得r0+r1+…+rm=n-1的任意复数. (1)当m是奇数时，则有(-1)n∑k1，…，km≥0 k1+…+km=n m∏j=1(rjkj)Ekj(xj)=m∑i=1(-1)i∑k1，…，km≥0 k1+…+km=n(-1)|｛i＜j≤m:kj＞0｝｜(r0ki)Eki∏1≤j≤m j≠i(rjkj)(B)kj+1, 这里(B)k=2k(2k-1)Bk/k，当k=1，2，3，…… (2)当m是偶数时，则有(-1)nr0∑k1+，…，k≥0 k1+…+km=n m∏j=1(rjkj)Ekj=m∑i=1(-1)i∑k1+，…，k≥0 k1+…+km=n(-1)|｛i＜j≤m:kj＞0}|(r0ki)(2kj-2)Bki∏1＜j≤mj≠i(rjkj)(B)kj+1. 在第三章中，我们研究了两种q-Salié数(S)n(q)和(S)n(q)的可除性，通过新的辅助性同余式: n∑k=0(-1)kq(2k2)[2n+12k]q≡0(mod(Q)n(q))和n∑k=0(-1)kq(2k2)-2k[2n+12k]q≡0(mod(Q)n(q))， 我们证明了郭军伟和曾江关于Salié数q模拟的两个猜想.把主要结果叙述如下: 设n是正整数，则我们有(S)2n(q)≡0(mod(Q)n(q))和(S)2n(q)≡0(mod(Q)n(q)). 在第四章中，我们完全证明了孙智伟猜想的7个同余式和部分证明了他猜想的另外2个同余式.该章共有三个定理.定理4.1.1涉及二项式系数和在3处的阶.以下是定理的表述: 设整数m≡1(mod3). (i)对任意正整数n我们有v3(1/nn-1∑k=0(2kk)/mk)≥min{v3(n)，v3(m-1)-1}. 且当整数a≥v3(m-1)时我们有1/3a3a-1∑k=0(2kk)/mk≡m-1/3(mod3v3(m-1)). (ii)设a∈Z+，假设1/3a3a-1∑k=0(3a-1k)(-1)k(2kk)≡0(mod3a-1)成立.则我们有v3(1/3a3a-1∑k=0(3a-1k)(-1)k(2kk)/mk)≥min{a，v3(m-1)}-1. 在同样的前提下，当整数a＞ v3(m-1)时我们有1/3a3a-1∑k=0(3a-1k)(-1)k(2kk)/mk≡-m-1/3(mod3v3(m-1)). 定理4.1.2包含四个模p，p2的同余式.我们列出了这四个同余式: (i)对大于3的素数p我们有p-1/2∑k=0CkCk+1/16k≡8(mod p2). 对奇素数p我们有p-1/2∑k=0(2kk+1)2/16k≡(-1)p-1/2-4(mod p2). (ii)设素数p≡1(mod4)，则有p-1∑k=0(2kk)(2kk+1)/8k≡0(mod p). 设素数p≡3(mod4)，则有p-1∑k=0CkCk+1/(-16)k≡-10(mod p).定理4.1.3给出的是与调和数求和相关的一个同余式.现把定理表述如下: 对大于3的素数p我们有p-1∑k=0(2kk)Hk/k4k≡0(mod p).