流体流动的稳定性一直是流体力学的中心问题之一。研究流动的稳定性,就是研究在什么条件下流动会从一个流动状态转换成另外一个流动状态。线性稳定性分析是研究流动第一次对流失稳比较有效的方法。目前,线性稳定性分析的数值方法主要集中于有限体积法、有限差分法、有限单元法和谱方法。谱方法因为其高精度在线性稳定性分析中有广泛应用。利用谱元法进行线性稳定性分析的研究则较少。谱元法不仅具有谱方法的精度,而且能够很好地通过区域划分技术避免谱方法在柱坐标和极坐标系统下其极点附近的节点聚集问题。本文研究了不同坐标系下的谱元法,并最终将其应用到柱坐标系下的线性稳定性分析。本文的主要工作有:　　(1)介绍谱离散的理论基础,通过求解直角坐标系的Poisson-型方程介绍谱元法的具体算法。　　(2)提出了极坐标系下的Fourier-Legendre谱元方法,此方法在周向上采用Fourier展开离散,在极点所在单元的径向采用Legendre-Gauss-Radau积分点离散,其它单元的径向采用Legendre-Gauss-Lobatto积分点,有效地消除了极点处的坐标奇异性,并通过区域分解技术控制节点的分布,避免节点在圆心附近聚集。　　(3)使用谱元方法作为空间离散结合时间分裂法给出了求解非定常不可压缩Navier-Stokes(N-S)方程的具体过程,将其推广到极坐标系和柱坐标系下。　　(4)提出了同位网格下直接求解定常不可压缩N-S方程的PN×PN-2谱元法,基本思想是消去方程中的时间项,采用Picard线性化迭代,给出一种求解二维定常不可压缩N-S方程的PN×PN-2谱元迭代法,方法中压力展开阶数比速度低两阶,不仅满足了LBB条件避免了压力振荡现象,并且不会因使用交错网格导致的插值计算而影响精度。　　(5)将谱元法应用到柱坐标系下线性稳定性分析,研究流体流动的第一次失稳。使用基于Picard线性化的PN×PN-2谱元法求解得到不可压缩N-S方程的基态解,基态解加入扰动代入三维方程推导得到柱坐标系下基于谱元法的广义特征值问题,最后利用ARPACK程序求解得到实部最大的特征值,从而寻找出流动的相关控制参数的失稳临界值,利用能量分析探索流动线性失稳的物理机制。　　上述工作得到的结果表明:　　(1)提出的极坐标系下的Fourier-Legendre谱元法,包含圆心的单元径向采用LGR点避免了r?0的坐标奇异性,利用区域分解技术将包含圆心的单元边界远离圆心,不仅避免了节点在圆心处的聚集从而减缓了时间步的限制,而且改善了网格的长宽比,在使用显式时间格式计算定常或非定常问题时能得到计算中更易收敛的更良态系数矩阵,使得在每一时间步的计算都要更有效率。在柱坐标系下使用上述思想能够同样地避免坐标奇异性以及改善网格质量。结合时间分裂法计算实际流动算例,数值结果展现了Fourier-Legendre谱元法不仅达到了谱精度,而且在计算效率上具有较大优势,充分体现了Fourier-Legendre谱元法的可靠性、有效性及相比谱方法的优越性。　　(2)利用基于Picard迭代的PN×PN–2谱元法求解定常不可压缩流动,计算了一些Stokes问题,以及方腔顶盖驱动流,均得到了与文献较吻合的结果,验证了本文方法用于求解定常不可压缩Navier-Stokes方程的有效性和正确性。另外,通过计算有精确解的Kovasznay流动,发现虽然时间分裂法能得到较为准确的结果,但是由于时间离散的差分格式导致不能体现出空间上谱离散的高精度,而PN×PN–2谱元法则能充分发挥谱方法的高精度优势,计算结果的精度基本能得到计算机精度,并且在计算量上也能展现出谱元法对于求解定常问题的巨大优势。　　(3)研究了柱坐标系下超环面腔体剪切流的线性稳定性,发现腔体曲率越大,剪切流流动越容易失稳,临界Re数越小,并且流动失稳后均为静态的,即转化为三维定常流。对于小曲率(δ=0.125和δ=0.25)的超环面剪切流,流动失稳时的波长为短波长≈0.4,而对大曲率(δ=0.5)的超环面剪切流,流动失稳的波长为长波长＞2.0。通过重构小扰动速度场以及能量分析,发现大曲率腔体δ=1时的超环面剪切流小扰动的速度场以及扰动动能变化较大的区域(即最容易失稳的区域)并不在主涡的中心区域,而是在最大驱动速度的下方区域;而小曲率δ=0.125的超环面顶盖驱动流,小扰动动能变化率较大的区域均在靠近外侧的壁面处,即外壁面主涡附近是流动最易失稳的区域。通过研究圆柱高径比为1、流体Pr数为1的Rayleigh-Bénard对流的第一次失稳,发现流动的第一次失稳临界Ra数为2270,而流动失稳时波数为0表明失稳后流动为轴对称的。根据重构的小扰动及扰动动能及热能能量分析,可以发现流体在圆柱中心最容易失稳。另外,扰动动能及热能变化率都是上下对称的,说明了Rayleigh-Bénard对流具有upward和downward两种流动型态是完全可能并且合理的。