五十年代以来,泛函分析中高度概括思想与经典分析的精致技巧相结合,形成逼近论的重要分支-算子逼近论.其主要研究领域之一是讨论线性算子序列的收敛性质,即研究点态收敛,依范数收敛以及收敛速度渐近分析;之二是研究收敛速度量化.首先讨论确定的算子序列在某个确定的线性赋范空间中对每个元素的逼近度估计.其次研究逼近论精度给出各种精度分析方法.进而运用逼近转化原理建立各类逼近逆定理以及逼近等价定理.近年来,随着小波分析、集值分析的发展,算子逼近论的研究有了新的生长点.小波分析是调和分析近年来重要发展.它是传统Fourier分析的新发展.小波基的给出为各类空间的研究提供了有力工具.它在函数论、算子论中有广泛应用.因此同Fourier分析一样,它也极大促进了算子逼近论的研究.集值随机过程是以Banach空间的子集为值的随机过程,是集值分析与随机过程结合的新分支,它丰富和深化了概率论与随机过程理论.由于抽象逼近论的发展以及随机分析方法在逼近论研究的深入运用,因此集值函数逼近理论成为逼近研究的一个有生命力的分支.该文将经典算子逼近理论与随机分析方法运用于小波分析和集值函数空间,得到了一系列有趣的结果.相关地,研究了集值函数空间的性质.