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摘 要:本文主要介绍了反证法及反证法的常用场合,本文把反证法的常用场合分为八点,分别是:①命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断;②有关唯一性的问题;③命题结论是“至多”“至少”形式;④命题结论涉及无限集或数目不确定的对象;⑤某些起始命题。⑥难证的逆命题;⑦命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时;⑧直接论证不习惯,不适应。
关键词:反证法 反设 归谬 结论 矛盾
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1672-8882(2011)06-111-02
一、什么是反证法
1589年,25岁的意大利科学家伽俐略,登上比萨斜塔,同时丢了两个不同的铁球,用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的错误论断,这是众所周知的。但你可能不知道,伽俐略还进行了如下的推理论证:假设亚里士多德的断言是正确的。设物体A比物体B重得多,则A应比B先落地,现在把A和B捆在一起成为物体A+B。一方面由于A+B比A重,它应比A先落地;另一方面,由于A比B落得快,A、B一起时,B应“拉了A的后腿”,使A下落的速度减慢,所以,A+B应比A先落地,有应比A后落地,这个矛盾来源于亚里士多德的断言。因此,亚里士多德的断言是错误的。
伽俐略的论证是有力的,逻辑性极强的,而伽俐略所用的方法,就是我们现在要介绍的反证法。
反证法是一种间接法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设。然后,从这个假设出发经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。
用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:
（1）反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。
（2）归谬——从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。
（3）结论——说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论。
二、反证法的分类
按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。
1、若结论的反面只有一种情况,那么,反设单一,只须驳倒这种情形,便可达到反设的目的,这叫归谬反证法。
【例】已知m为整数,且m2是偶数,求证:m为偶数。
分析:本题如果用直接法来证明的话,给人一种无从下手的感觉,题目给我们的已知条件是很简单的,我们只能从反面去考虑它,由已知条件,我们知道,m为整数,且m2是偶数,所以,我们只需证当m为奇数的时候m2不是偶数就可以了。
证明:假设m不是偶数,则m为奇数。设m=2k+1(k为整数),所以
于是,m2为奇数,这与已知条件m2是偶数矛盾。故m为偶数。
2、 若结论的反面不止一种情形,那么,要将各个反面情形一一驳倒,才能肯定原命题正确,这叫穷举反证法。
三、正确作出反设
正确作出反设,是使用反证法的一大关键。
（1)分清命题的条件与结论,结论与反设间的逻辑关系。
【例】试证合适xy+yz+zx=1的实数x、y、z必不能满足x+y+z=xyz。
分析:首先我们要弄清楚题目的意思,根据题目给我们的意思,我们很难用直接法对它进行证明,所以我们考虑用反证法,同时我们要注意正确作出反设,由题目我们知道实数x、y、z能满足方程xy+yz+zx=1但不满足方程x+y+z=xyz,所以我们作出反设的时候要设实数x、y、z既能满足xy+yz+zx=1,又能满足x+y+z=xyz。我们知道实数x、y、z就是方程xy+yz+zx=1和方程x+y+z=xyz联立起来的方程组的一个实数根,我们可以根据这个特点去寻找矛盾。对于含有多个字母的给定式,在计算时尽量设法减少字母的个数,这是一个原则。
（2） 结论的反面常常不止一种情形,则需反设后,分别就各种情况归谬,做到无一遗漏。
四、如何导出矛盾
归谬,是反证法的关键,也是困难所在。初学者往往作出反设以后,就迈不开步子了,不知往哪里走才能找到矛盾。
导出矛盾的过程,没有固定的模式,可以套用。要凭借解题者拥有的知识与具备的能力,要善于从反设与条件中,抓住蛛丝马迹,发现矛盾。
此外,有两点应该引起我们注意:
1、 导出矛盾,要从反设出发,否则,推导将成为无源之水,无本之木。
2、 推理必须严谨。有人以为反证法就可以不讲依据,那是诡辩,只能导致荒谬。
一般来说,归谬的情况大致有如下几种:
（1） 推出与公理相矛盾的结论;
（2） 推出与已知定理相矛盾的结论;
（3） 推出与已知定义相矛盾的结论;
（4） 推出两个相互矛盾的结论;
（5） 推出与原命题题设条件相矛盾的结论;
（6） 推出与逆否命题假设相矛盾的结论。
五、何时宜用反证法
曾有数学家赞扬反证法是“数学家最精良的武器之一”,它在数学证题中确有奇效。应该指出的是,多数题目用直接法证明较为简捷。究竟什么类型的数学题可用这精良的武器去解决呢？对于“若A则 B”一类的数学命题,一般都可以用反证法来加以证明,当然没有绝对的标准,但是遇到以下几类问题时不妨试一试。
（一)命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断
【例】设a,b,c,d为自然数,且满足条件n2＜a＜b＜c＜d＜(n+1)2,n是大于1的自然数。试证:ad≠bc
分析:题中a,b,c,d四个数均不是具体的数,所以我们想办法减少未知量的个数,再对他们进行巧妙的变形,使之成为我们可利用的资源。
（二）有关唯一性的问题
【例】 两条直线相交,只有一个交点。
已知:a,b为相交两直线。
求证:a,b只有一个交点。
证明:假定两直线a与b不止有一个交点,则至少交于两点。设这两个交点为A、B两点。这就是说,经过A、B两点可以作两条直线a、b,这和公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾。故原命题成立。两直线相交,只有一个交点。
（三）命题结论是“至多”“至少”形式
【例】设△ABC不是正三角形,则∠A,∠B,∠C在之中至少有一个大于60°。
分析:同学们在做这类题的时候反设容易出错,由题目我们知道,至少有一个内角不小于60°的意思是:∠A,∠B,∠C中,有一个不小于60°,或者有2个不小于60°,或者有3个不小于60°。那么,它的反面当然是有0个不小于60°,即∠A,∠B,∠C都小于60°。
证明:假设∠A,∠B,∠C都是不大于60°的角,则∠A≤60°,
从而∠A+∠B+∠C≤180°
要使上式的等号成立,只能是∠A=∠B=∠C=60°
于是,依题设△ABC不是正三角形,从而推出∠A+∠B+∠C＜180°
这是与三角形的三个内角的和为180°相矛盾。
因此命题成立。
（四）命题结论涉及无限集或数目不确定的对象
【例】证明素数有无限多个。
证明:假设素数是有限个,则必有最大的素数。记此最大的素数为p,作n=(2· 3· 5· 7…p)+1
n被任一个素数除时它的余数必等于1。即n除掉1与n外已无其他的约数。因此,n是个素数且是比p大的数。但这是与p为最大的素数相矛盾的。命题成立。
（五）某些起始命题
【例】在同一平面设有四条直线a,b,c,d。若a与b相交,c⊥a,d⊥b,则c与d也相交。
证明:假设c∥d。因为a⊥c,所以a⊥d;又因为b⊥d,所以a∥b。这与已知条件a与b相交矛盾。故c与d也相交。
（六）难证的逆命题
注意:许多问题的证明,需要用反证法,但又不仅仅局限于反证法,常常要将反证法与其他数学方法联合使用,正面与反面同时考虑才能解决。
（七）命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时
【例】在△ABC中,若tgA、tgB、tgC成等比数列,求证:△ABC为锐角三角形。
分析:从题目给我们的已知条件,我们没法计算出∠A,∠B,∠C都是小于90度的角,所以我们只能从别的方面入手,因为tgA、tgB、tgC成等比数列,所以我们不妨从这方面进行考虑。
六、综合思路分析
反证法的用处很大,它不仅应用在初等数学中,还大量应用在高等数学中,应用反证法要注意以下几点:
①推理过程必须完全正确。
②决不能忽视原命题的题设条件,否则要么推不出错误,要么不能断定所推导出来的结论是否是谬论。
③在应用反证法时,有时要做些准备工作,为应用反证法创造条件。
④在否定结论时,要分析可能有的各种情况,若有两种或两种以上的情况,要应用穷举法,不能有遗漏。
七、总结
反证法是一种简明实用的数学证题方法,也是一种重要的数学思想。反证法的独特的思维方式和证题方法对提高学生创造性地分析问题和解决问题的思想素质有重要的意义。
参考文献:
[1] 刘绪占,李绍法等．初中数学解题方法与技巧[M]．湖北教育出版社 ,P78-88．
[2] 赵振威．解题思路:如何求证[Ｍ]．科学出版社,P49-62．
[3] 罗耀彬．中学数学解题思维方法技巧[Ｍ]．广西教育出版社,P123-127．
[4] 方华．数学解题规律与思路分析[Ｍ]．山东教育出版社,P220-229．
[5] 胡炯涛．数学教学论[Ｍ]．广西教育出版社, P275-280．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
关键词:反证法 反设 归谬 结论 矛盾
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1672-8882(2011)06-111-02
一、什么是反证法
1589年,25岁的意大利科学家伽俐略,登上比萨斜塔,同时丢了两个不同的铁球,用实验推翻了古希腊科学家亚里士多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的错误论断,这是众所周知的。但你可能不知道,伽俐略还进行了如下的推理论证:假设亚里士多德的断言是正确的。设物体A比物体B重得多,则A应比B先落地,现在把A和B捆在一起成为物体A+B。一方面由于A+B比A重,它应比A先落地;另一方面,由于A比B落得快,A、B一起时,B应“拉了A的后腿”,使A下落的速度减慢,所以,A+B应比A先落地,有应比A后落地,这个矛盾来源于亚里士多德的断言。因此,亚里士多德的断言是错误的。
伽俐略的论证是有力的,逻辑性极强的,而伽俐略所用的方法,就是我们现在要介绍的反证法。
反证法是一种间接法,它是先提出一个与命题的结论相反的假设。然后,从这个假设出发经过正确的推理,导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正确的一种方法。
用反证法证明一个命题的步骤大体上可以分为三个步骤:
（1）反设——假设待证结论不成立,亦即肯定待证结论的反面,并将其作为增加条件,添加到给定的题设中去。
（2）归谬——从题设和反设出发,通过推理和论证,最终推出矛盾。
（3）结论——说明待证命题结论的反面不能成立,再根据排中律（否定反面,肯定正面）,从而肯定欲证命题的结论。
二、反证法的分类
按照反设所涉及到的情况的多少,反证法可以分为归谬反证法与穷举反证法。
1、若结论的反面只有一种情况,那么,反设单一,只须驳倒这种情形,便可达到反设的目的,这叫归谬反证法。
【例】已知m为整数,且m2是偶数,求证:m为偶数。
分析:本题如果用直接法来证明的话,给人一种无从下手的感觉,题目给我们的已知条件是很简单的,我们只能从反面去考虑它,由已知条件,我们知道,m为整数,且m2是偶数,所以,我们只需证当m为奇数的时候m2不是偶数就可以了。
证明:假设m不是偶数,则m为奇数。设m=2k+1(k为整数),所以
于是,m2为奇数,这与已知条件m2是偶数矛盾。故m为偶数。
2、 若结论的反面不止一种情形,那么,要将各个反面情形一一驳倒,才能肯定原命题正确,这叫穷举反证法。
三、正确作出反设
正确作出反设,是使用反证法的一大关键。
（1)分清命题的条件与结论,结论与反设间的逻辑关系。
【例】试证合适xy+yz+zx=1的实数x、y、z必不能满足x+y+z=xyz。
分析:首先我们要弄清楚题目的意思,根据题目给我们的意思,我们很难用直接法对它进行证明,所以我们考虑用反证法,同时我们要注意正确作出反设,由题目我们知道实数x、y、z能满足方程xy+yz+zx=1但不满足方程x+y+z=xyz,所以我们作出反设的时候要设实数x、y、z既能满足xy+yz+zx=1,又能满足x+y+z=xyz。我们知道实数x、y、z就是方程xy+yz+zx=1和方程x+y+z=xyz联立起来的方程组的一个实数根,我们可以根据这个特点去寻找矛盾。对于含有多个字母的给定式,在计算时尽量设法减少字母的个数,这是一个原则。
（2） 结论的反面常常不止一种情形,则需反设后,分别就各种情况归谬,做到无一遗漏。
四、如何导出矛盾
归谬,是反证法的关键,也是困难所在。初学者往往作出反设以后,就迈不开步子了,不知往哪里走才能找到矛盾。
导出矛盾的过程,没有固定的模式,可以套用。要凭借解题者拥有的知识与具备的能力,要善于从反设与条件中,抓住蛛丝马迹,发现矛盾。
此外,有两点应该引起我们注意:
1、 导出矛盾,要从反设出发,否则,推导将成为无源之水,无本之木。
2、 推理必须严谨。有人以为反证法就可以不讲依据,那是诡辩,只能导致荒谬。
一般来说,归谬的情况大致有如下几种:
（1） 推出与公理相矛盾的结论;
（2） 推出与已知定理相矛盾的结论;
（3） 推出与已知定义相矛盾的结论;
（4） 推出两个相互矛盾的结论;
（5） 推出与原命题题设条件相矛盾的结论;
（6） 推出与逆否命题假设相矛盾的结论。
五、何时宜用反证法
曾有数学家赞扬反证法是“数学家最精良的武器之一”,它在数学证题中确有奇效。应该指出的是,多数题目用直接法证明较为简捷。究竟什么类型的数学题可用这精良的武器去解决呢？对于“若A则 B”一类的数学命题,一般都可以用反证法来加以证明,当然没有绝对的标准,但是遇到以下几类问题时不妨试一试。
（一)命题结构采取否定形式,结论反面却是肯定判断
【例】设a,b,c,d为自然数,且满足条件n2＜a＜b＜c＜d＜(n+1)2,n是大于1的自然数。试证:ad≠bc
分析:题中a,b,c,d四个数均不是具体的数,所以我们想办法减少未知量的个数,再对他们进行巧妙的变形,使之成为我们可利用的资源。
（二）有关唯一性的问题
【例】 两条直线相交,只有一个交点。
已知:a,b为相交两直线。
求证:a,b只有一个交点。
证明:假定两直线a与b不止有一个交点,则至少交于两点。设这两个交点为A、B两点。这就是说,经过A、B两点可以作两条直线a、b,这和公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾。故原命题成立。两直线相交,只有一个交点。
（三）命题结论是“至多”“至少”形式
【例】设△ABC不是正三角形,则∠A,∠B,∠C在之中至少有一个大于60°。
分析:同学们在做这类题的时候反设容易出错,由题目我们知道,至少有一个内角不小于60°的意思是:∠A,∠B,∠C中,有一个不小于60°,或者有2个不小于60°,或者有3个不小于60°。那么,它的反面当然是有0个不小于60°,即∠A,∠B,∠C都小于60°。
证明:假设∠A,∠B,∠C都是不大于60°的角,则∠A≤60°,
从而∠A+∠B+∠C≤180°
要使上式的等号成立,只能是∠A=∠B=∠C=60°
于是,依题设△ABC不是正三角形,从而推出∠A+∠B+∠C＜180°
这是与三角形的三个内角的和为180°相矛盾。
因此命题成立。
（四）命题结论涉及无限集或数目不确定的对象
【例】证明素数有无限多个。
证明:假设素数是有限个,则必有最大的素数。记此最大的素数为p,作n=(2· 3· 5· 7…p)+1
n被任一个素数除时它的余数必等于1。即n除掉1与n外已无其他的约数。因此,n是个素数且是比p大的数。但这是与p为最大的素数相矛盾的。命题成立。
（五）某些起始命题
【例】在同一平面设有四条直线a,b,c,d。若a与b相交,c⊥a,d⊥b,则c与d也相交。
证明:假设c∥d。因为a⊥c,所以a⊥d;又因为b⊥d,所以a∥b。这与已知条件a与b相交矛盾。故c与d也相交。
（六）难证的逆命题
注意:许多问题的证明,需要用反证法,但又不仅仅局限于反证法,常常要将反证法与其他数学方法联合使用,正面与反面同时考虑才能解决。
（七）命题结论的反面较结论本身具体、简单、直接证明难以下手时
【例】在△ABC中,若tgA、tgB、tgC成等比数列,求证:△ABC为锐角三角形。
分析:从题目给我们的已知条件,我们没法计算出∠A,∠B,∠C都是小于90度的角,所以我们只能从别的方面入手,因为tgA、tgB、tgC成等比数列,所以我们不妨从这方面进行考虑。
六、综合思路分析
反证法的用处很大,它不仅应用在初等数学中,还大量应用在高等数学中,应用反证法要注意以下几点:
①推理过程必须完全正确。
②决不能忽视原命题的题设条件,否则要么推不出错误,要么不能断定所推导出来的结论是否是谬论。
③在应用反证法时,有时要做些准备工作,为应用反证法创造条件。
④在否定结论时,要分析可能有的各种情况,若有两种或两种以上的情况,要应用穷举法,不能有遗漏。
七、总结
反证法是一种简明实用的数学证题方法,也是一种重要的数学思想。反证法的独特的思维方式和证题方法对提高学生创造性地分析问题和解决问题的思想素质有重要的意义。
参考文献:
[1] 刘绪占,李绍法等．初中数学解题方法与技巧[M]．湖北教育出版社 ,P78-88．
[2] 赵振威．解题思路:如何求证[Ｍ]．科学出版社,P49-62．
[3] 罗耀彬．中学数学解题思维方法技巧[Ｍ]．广西教育出版社,P123-127．
[4] 方华．数学解题规律与思路分析[Ｍ]．山东教育出版社,P220-229．
[5] 胡炯涛．数学教学论[Ｍ]．广西教育出版社, P275-280．
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文