导数是研究函数的重要的方法，理解导数的概念、掌握导数研究函数的方法至关重要. 在学习中，我们利用导数研究函数问题时常会犯一些错误，从根本上认识这些错误的原因，追根溯源，才能更好地掌握导数.
　　复合函数的导数的理解问题
　　例1 已知[y=（1+cos2x）2]，则[y=] .
　　错解 [y=-2sin2x（1+cos2x）]
　　分析 对复合函数求导数的计算不熟练，[2x]与[x]系数不一样，也是一个复合的过程，有的同学忽视了它而导致错解.
　　正解 设[u=1+cos2x]，[y=u2]，
　　则[yx=yuux=2u（1+cos2x）=2u?（-sin2x）?（2x）]
　　[=2u?（-sin2x）?2=-4sin2x（1+cos2x）.]
　　[∴][y=-4sin2x（1+cos2x）].
　　导数的几何意义的理解问题
　　例2 已知曲线[S：y=-23x3+x2+4x]及点[P（0，0）]，求过点[P]的曲线[S]的切线方程.
　　错解 由题意得，[y=-2x2+2x+4].
　　[∴]过点[P]的切线斜率[k=y|x=0=4].
　　[∴]过点[P]的曲线[S]的切线方程为[y=4x].
　　分析 曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义. 在本题中，点[P]凑巧在曲线[S]上，求过点[P]的切线方程，却并非说切点就是点[P]，上述解法混淆了求过点[P]的切线方程和求曲线在点[P]处的切线方程，认识不到位.
　　正解 设过点[P]的切线与曲线[S]切于点[Q（x0，y0）]，则过点[P]的曲线[S]的切线斜率为
　　[k=y|x=0=-2x20+2x0+4].
　　又[kPQ=y0x0]，
　　[∴-2x20+2x0+4=y0x0].①
　　[∵]点[Q]在曲线[S]上，
　　[∴y0=-23x30+x20+4x0]. ②
　　将②代入①得，[-2x20+2x0+4=-23x30+x20+4x0x0.]
　　化简得，[43x30-x20=0].
　　[∴x0=0]，或[x0=34].
　　若[x0=0]，则[k=4]，
　　过点[P]的切线方程为[y=4x].
　　若[x0=34]，则[k=358]，
　　过点[P]的切线方程为[y=358x].
　　[∴]过点[P]的曲线[S]的切线方程为[y=4x]，或[y=358x.]
　　导数判断单调性的理解问题
　　例3 已知函数[f（x）=mx2+lnx-2x]在定义域内是增函数，求实数[m]的取值范围.
　　错解 由题意得，[f（x）>0]，即[2mx+1x-2>0]恒成立，解之得，[m>12].
　　分析 “函数[y=f（x）]为增函数”与“[f（x）>0]”并不是互为充要条件的.
　　（1）[f（x）>0?][y=f（x）]为增函数；
　　（2）[f（x）<0?][y=f（x）]为减函数；
　　（3）[y=f（x）]为增函数[?f（x）≥0]；
　　（4）[y=f（x）]为减函数[?f（x）≤0].
　　正解 由題意得，[f（x）≥0]，即[2mx+1x-2≥0]恒成立，解得，[m≥12-12（1x-1）2≥12].
　　极值点和变量的理解问题
　　例4 已知函数[fx=4x3-3x2cosθ+316cosθ]，其中[x∈R，θ]为参数，且[0≤θ≤2π].
　　（1）当[cosθ=0]时，判断函数[fx]是否有极值；
　　（2）要使函数[f（x）]的极小值大于零，求参数[θ]的取值范围.
　　错解 （1）当[cosθ=0]时，[f（x）=12x2].
　　令[f（x）=0]，则[x=0].
　　（2）随[x]的变化，[f（x）]的符号及[f（x）]的变化情况如下表.
　　因此，函数[f（x）]在[x=cosθ2]处取得极小值[f（cosθ2）]，且[f（cosθ2）=-14cos3θ+316cosθ].
　　要使[f（cosθ2）>0]，必有[-14cosθ（cos2θ-34）>0]，解得，[0　　由于[0≤θ≤2π]，故[π6<θ<π2，或3π2<θ<11π6].
　　分析 （1）对极值点定义理解不清. ①不可导函数，在某点处的导数不存在，但可以是极值点. 如函数[y=|x|]在点[x=0]处有极小值[f（0）=0]，可是这里的[f（0）]根本不存在. ②可导函数的极值点的求法分为两步：第一步求[f（x）=0]的[x]值，第二步必须判断导数为0的点左右两边导数的符号不同. 如函数[f（x）=x3]的导数[f（x）=3x2]，在点[x=0]处有[f（0）=]0，而[f（x）]在[（-∞，+∞）]上为增函数可知，点[x=0]不是[f（x）]的极值点.
　　（2）没有考虑到[cosθ]的符号，直接作答. 对于参数问题一定要考虑到范围问题.
　　正解 （1）当[cosθ=0]时，[f（x）=4x3]，则[f（x）]在[（-∞，+∞）]上是增函数，故无极值.
　　（2）[f（x）=12x2-6xcosθ]，
　　令[f（x）=0]得，[x1=0，x2=cosθ2].
　　下面分两种情况讨论.
　　①当[cosθ>0]时，随[x]的变化，[f（x）]的符号及[f（x）]的变化情况如下表.
　　因此，函数[f（x）]在[x=cosθ2]处取得极小值[f（cosθ2）]，且[f（cosθ2）=-14cos3θ+316cosθ].
　　要使[f（cosθ2）>0]，必有[-14cosθ（cos2θ-34）>0]，解得，[0　　又[0≤θ≤2π]，故[π6<θ<π2，或3π2<θ<11π6].
　　②当[cosθ<0]时，随[x]的变化，[f（x）]的符号及[f（x）]的变化情况如下表.
　　若[f（0）>0]，则[cosθ>0]. 与[cosθ<0]矛盾.
　　所以当[cosθ<0]时，[f（x）]的极小值不会大于零.
　　综合①②知，要使函数[f（x）]在[（-∞，+∞）]上的极小值大于零，参数[θ]的取值范围为[（π6，π2）?（3π2，11π6）].