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【教学内容】
帕斯卡与“三角形内角和”的故事
1.故事导入
帕斯卡（1623—1662）对概率研究做出了很大贡献。他是法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家。
帕斯卡的父亲是一位受人尊敬的数学家，有一天帕斯卡问父亲，什么是几何？父亲很简单地回答说：“几何就是教人在画图时能作出正确又美观的图。”于是帕斯卡就拿了粉笔在地上画起各种图形来。画着画着，12岁的帕斯卡发现任何一个三角形内角和都是180°。
问题一：你知道帕斯卡是怎样通过长方形的内角和推想出其中一个直角三角形的内角和的吗？
长方形的四个角都是直角，长方形的四个角的和一定是360°。把长方形沿对角线一分为二，就变成两个直角三角形，每个直角三角形的内角和就是360°除以2等于180°。因为任意一个直角三角形都可以看作是长方形剪开的，所以任意直角三角形的内角和一定是180°（如图1）。
问题二：你知道帕斯卡是怎样通过直角三角形的内角和推想出其他三角形的内角和的吗？
任何一个钝角三角形都可以沿高分为两个直角三角形，两个直角三角形的内角和180° 180°=360°，而其中有两个直角拼在一起成了一条直线，所以真正作为钝角三角形的三个内角的和就是360°-90°-90°=180°。同样的道理可以说明锐角三角形的内角和也是180°（如图2）。
2.故事启迪
思路点睛：求多边形的内角和，就是看这个多边形最少可以分成几个三角形，分成了几个三角形，多边形的内角和就是180°乘几。
3.故事延伸
古埃及人从铺地板中发现，三角形三内角和为一平角（即180°）。在图3中，绕一顶点的六个角，合起来一共是一周角（即360°），因此正三角形三内角和为一平角。这虽只是特例，但却是进一步发现真理的契机。
利用旋转铅笔的实验，也可得出三角形三内角和为一平角的结论（如图4）。
【课堂实录】
一、用故事丰富学生思想
师：回忆一下，我们是怎样研究三角形的内角和的？
生：我们是用量、拼、折等方法，来验证三角形的内角和是180°的。
师：300多年前，有一个名叫帕斯卡的法国男孩独自发现了任何一个三角形的内角和都是两直角。
课件播放帕斯卡发现“三角形内角和”的故事。
教师出示问题1和问题2，请学生先独立思考，再在小组内交流，最后进行全班汇报。
生：因为任何两个完全一样的直角三角形都可以拼成一个长方形，长方形的内角和是360°（4个直角），每个直角三角形的内角和就是180°（2个直角）。
生：两个直角三角形中所有锐角的和是180°（2个直角），那么一个直角三角形中两个锐角的和就是90°（一个直角），再加上一个直角，所以直角三角形的内角和是两个直角，即180°。
生：钝角三角形可分成两个直角三角形，两个直角三角形的内角和是360°（180°×2），其中两个直角正好拼成一个平角，所以钝角三角形的内角和是360°-180°=180°。
生：不管是钝角三角形还是锐角三角形，都可以分成两个直角三角形。因为每个直角三角形的两个锐角的和都是一个直角，而钝角三角形或锐角三角形的内角和包括两个直角三角形的所有锐角，所以无论是哪种三角形的内角和都是两个直角，也就是180°。
师：为什么要把两个直角三角形拼成长方形，要把钝角（或锐角）三角形分成两个直角三角形呢？
生：这是把未知的知识转化成已经知道的知识。
师：把未知转化成已知，是一种很重要的数学思想。
师：把任意三角形分成两个直角三角形，两个直角三角形是6个角，而任意三角形是3个角。这6个角和3个角一样吗？
生：从图中就可以看得很清楚，这6个角中有2个角拼成了大三角形的1个角，还有2个直角拼成了1个平角。
生：也就是说，6个角中有2个直角与大三角形的内角没有关系，剩下的4个角就等于大三角形的3个内角。
师：这下我们不仅看清楚，也真正听清楚、理清楚了。
二、分图形实现多元表征
师：拿出一张五边形的纸片，自己想想办法，求出它的内角和，再在小组内交流。（学生独立探索后小组交流）
生：我把五边形分成了3个三角形，3个三角形的内角和相加就是五边形的内角和，是180°×3=540°。
生：我把五边形分成了4个三角形，其中有4个角拼成了一个平角，五边形的内角和是180°×4-180°=540°。
生：我从中间选一点，把五边形分成了5个三角形，有5个角拼成了一个周角，五边形的内角和是180°×5-360°=540°。
师：听了刚才几位同学的介绍，大家还有什么问题吗？
生：为什么把五边形分成的三角形的个数不同，最后算出的内角和还是不变的？
师：好深刻的一个問题啊！同桌两人讨论讨论。
生：把五边形分成3个三角形大家都明白。分成4个三角形，因为有4个角拼成的一个180°的角在一条边上，不包含在五边形的内角和中，所以五边形的内角和等于4个三角形的内角和减去一个180°的角，也就是3个三角形的内角和。
生：我来解释一下，把五边形分成5个三角形，因为中间5个角拼成的一个360°的角也不包含在五边形的内角和中，所以五边形的内角和等于5个三角形的内角和减去一个360°的角，还是等于3个三角形的内角和。
师：谁还有不一样的想法？
生：我们可以用乘法分配律来说明。分成4个三角形，五边形的内角和=180°×4-180°=180°×（4-1）=180°×3……
帕斯卡与“三角形内角和”的故事
1.故事导入
帕斯卡（1623—1662）对概率研究做出了很大贡献。他是法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家。
帕斯卡的父亲是一位受人尊敬的数学家，有一天帕斯卡问父亲，什么是几何？父亲很简单地回答说：“几何就是教人在画图时能作出正确又美观的图。”于是帕斯卡就拿了粉笔在地上画起各种图形来。画着画着，12岁的帕斯卡发现任何一个三角形内角和都是180°。
问题一：你知道帕斯卡是怎样通过长方形的内角和推想出其中一个直角三角形的内角和的吗？
长方形的四个角都是直角，长方形的四个角的和一定是360°。把长方形沿对角线一分为二，就变成两个直角三角形，每个直角三角形的内角和就是360°除以2等于180°。因为任意一个直角三角形都可以看作是长方形剪开的，所以任意直角三角形的内角和一定是180°（如图1）。
问题二：你知道帕斯卡是怎样通过直角三角形的内角和推想出其他三角形的内角和的吗？
任何一个钝角三角形都可以沿高分为两个直角三角形，两个直角三角形的内角和180° 180°=360°，而其中有两个直角拼在一起成了一条直线，所以真正作为钝角三角形的三个内角的和就是360°-90°-90°=180°。同样的道理可以说明锐角三角形的内角和也是180°（如图2）。
2.故事启迪
思路点睛：求多边形的内角和，就是看这个多边形最少可以分成几个三角形，分成了几个三角形，多边形的内角和就是180°乘几。
3.故事延伸
古埃及人从铺地板中发现，三角形三内角和为一平角（即180°）。在图3中，绕一顶点的六个角，合起来一共是一周角（即360°），因此正三角形三内角和为一平角。这虽只是特例，但却是进一步发现真理的契机。
利用旋转铅笔的实验，也可得出三角形三内角和为一平角的结论（如图4）。
【课堂实录】
一、用故事丰富学生思想
师：回忆一下，我们是怎样研究三角形的内角和的？
生：我们是用量、拼、折等方法，来验证三角形的内角和是180°的。
师：300多年前，有一个名叫帕斯卡的法国男孩独自发现了任何一个三角形的内角和都是两直角。
课件播放帕斯卡发现“三角形内角和”的故事。
教师出示问题1和问题2，请学生先独立思考，再在小组内交流，最后进行全班汇报。
生：因为任何两个完全一样的直角三角形都可以拼成一个长方形，长方形的内角和是360°（4个直角），每个直角三角形的内角和就是180°（2个直角）。
生：两个直角三角形中所有锐角的和是180°（2个直角），那么一个直角三角形中两个锐角的和就是90°（一个直角），再加上一个直角，所以直角三角形的内角和是两个直角，即180°。
生：钝角三角形可分成两个直角三角形，两个直角三角形的内角和是360°（180°×2），其中两个直角正好拼成一个平角，所以钝角三角形的内角和是360°-180°=180°。
生：不管是钝角三角形还是锐角三角形，都可以分成两个直角三角形。因为每个直角三角形的两个锐角的和都是一个直角，而钝角三角形或锐角三角形的内角和包括两个直角三角形的所有锐角，所以无论是哪种三角形的内角和都是两个直角，也就是180°。
师：为什么要把两个直角三角形拼成长方形，要把钝角（或锐角）三角形分成两个直角三角形呢？
生：这是把未知的知识转化成已经知道的知识。
师：把未知转化成已知，是一种很重要的数学思想。
师：把任意三角形分成两个直角三角形，两个直角三角形是6个角，而任意三角形是3个角。这6个角和3个角一样吗？
生：从图中就可以看得很清楚，这6个角中有2个角拼成了大三角形的1个角，还有2个直角拼成了1个平角。
生：也就是说，6个角中有2个直角与大三角形的内角没有关系，剩下的4个角就等于大三角形的3个内角。
师：这下我们不仅看清楚，也真正听清楚、理清楚了。
二、分图形实现多元表征
师：拿出一张五边形的纸片，自己想想办法，求出它的内角和，再在小组内交流。（学生独立探索后小组交流）
生：我把五边形分成了3个三角形，3个三角形的内角和相加就是五边形的内角和，是180°×3=540°。
生：我把五边形分成了4个三角形，其中有4个角拼成了一个平角，五边形的内角和是180°×4-180°=540°。
生：我从中间选一点，把五边形分成了5个三角形，有5个角拼成了一个周角，五边形的内角和是180°×5-360°=540°。
师：听了刚才几位同学的介绍，大家还有什么问题吗？
生：为什么把五边形分成的三角形的个数不同，最后算出的内角和还是不变的？
师：好深刻的一个問题啊！同桌两人讨论讨论。
生：把五边形分成3个三角形大家都明白。分成4个三角形，因为有4个角拼成的一个180°的角在一条边上，不包含在五边形的内角和中，所以五边形的内角和等于4个三角形的内角和减去一个180°的角，也就是3个三角形的内角和。
生：我来解释一下，把五边形分成5个三角形，因为中间5个角拼成的一个360°的角也不包含在五边形的内角和中，所以五边形的内角和等于5个三角形的内角和减去一个360°的角，还是等于3个三角形的内角和。
师：谁还有不一样的想法？
生：我们可以用乘法分配律来说明。分成4个三角形，五边形的内角和=180°×4-180°=180°×（4-1）=180°×3……