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摘要思维能力中,逆向思维能力是很重要的一个感念,数学教学中强调逆向思维能力的培养对学生理解、分析、解决数学问题有着重大帮助。本文通过对高中生数学教学中逆向思维能力的重要性出发,分析了数学教学中学生对感念、定义、公式、习题解析进行逆向思维处理,从而提高其学习、解题效率。
关键词高中数学 教学 逆向思维
中图分类号:G633.6文献标识码:A
数学是一门高思维的学科,是锻炼人们智力的重要工具。数学学习中,通常会遇到某些困难,并且用传统的思维方式不能解决时,而采用的不同角度、不同方向的思维方式。即逆向思维就是指从相反的角度对问题进行思考。它是跟传统的正向思维方式(依据条件,而推出结论)相对应的,它是由果推出因,或再由因推出其他的果的过程。通过培养学生逆向思维能力,可以加强学生思维的灵活性和深刻性,并且提升其在新的条件下处理问题的能力。
1 加强高中生对概念、定义、公式的逆向思维理解、应用
传统数学教学中,教师们往往只注重概念、定义的顺序讲解和应用,从而使得学生思维方式单向定型,于是,对于那些逆向思维应用公式、概念、定义却显得很不习惯。所以,在高中数学教学时,不但要锻炼学生们理解、应用概念、定义的常规的顺序思维方法,而且要注意学生逆向思维的培养,让学生将感念、定义进行反向思考、应用,从而加强其对概念、定义的掌握程度。
1.1 通过对定义的逆向思考,深入掌握定义的内涵
所有的数学定义都是互逆的,正序是定义的判断,逆序是定义的性质,通过对定义正向和方向的双向把握,从而深入理解和掌握定义的真正含义。如:定义域关于原点并且则是奇函数,对于这个定义,对它的逆思考:如果一个函数是奇函数,一定成立并且定义域一定关于原点对称。通过对定义的逆向思考,让学生找出正序和逆序中条件和结论的互换,理解正向和逆向两个定义的逻辑关系,从而巩固学生的记忆。
1.2 掌握公式逆运算,加强做题效率
在教学中,要加强学生对公式的互逆运算的能力,对公式的逆运算很可能会让问题变得简化,使得做题方式具有灵活可变性,促使学生逆向思维习惯的养成。如:sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB这个三角函数公式,可以设计sin25cos25+cos25sin35=?之类的题,让学生通过对公式逆向思维,而加强对公式的理解和把握。
1.3 理解定理、性质、法则的互逆性,掌握数学中的规律
在高中数学教学中,不但要对感念、定义深刻掌握,而且要掌握它们的性质、定理和法则,那么对它们进行互逆思考也应很重要,如反证法、等价关系和充要条件等都是逆思维的表现。具体措施:(1)在教学中要求学生对已知命题进行逆、否命题的设计,让他们掌握已知命题与逆、否命题以及逆否命题的联系。(2)在教学中使用反证法进行教学。反正法是证明命题的逆否命题成立而证明要证命题成立的证明方法。这个证明法在后面的解题教学中有具体讲解,这里就不多说。(3)加强充要条件等知识的应用。在高中数学教学中,“充要条件”是一个很重要的概念,是数学中等价关系判断的一个重要依据。
2 加强逆向思维在数学解题中的应用
数学教学中,做题是训练学生思维能力的最直接方法之一,对学生逆向思维能力的培养有着直接的作用。所以,在高中数学教学中,加强逆向思维在数学解题中的应用已显得格外重要,学生们通过逆向思考,从而增强其解题的效率、正确率。具体方法有:
2.1 以结果逐步索取原因
数学教学中,往往存在着一些题,对它们进行正向思维的论证或求解会遇到很多困难,然而若能及时引导学生们进行逆向思维,由结果索取原因,一步一步索取那些能使结果成立的充分必要条件,这样会使学生顺利的找到解题思路。
例题:正数:k,j满足k + j = 1;x,y∈R;要我们求证(kx + jy)2 ≤ kx2 + jy2
证明:因为:k > 0,j > 0且k + j = l;
所以:k = 1 - j > 0,j = 1- k > 0
∴ kx2 + jy2 - (kx + jy)2
= kx2 + jy2 - k2x2 - 2kjxy - j2y2
= kx2(1 - k) + jy2(1 - j) - 2kjxy
= ab(x - y2)2 ≥0
所以:(kx+jy)2 ≤ kx2 + jy2
2.2 “正难则反”策略
由于在一些数学问题中,正向解题,困难很大,或者题目已知的条件非常复杂,于是,教师应该提醒学生采取逆向思维方式,从结论的相反面考虑,认真分析,而使问题变得容易。这种方法是先根据问题,从问题的相反面出发寻找其补集从而得出结果。
比如有这么一个例题:问一元二次方程(a + 2)x2 - 8x + a = 0在a满足什么情况下至少存在一正实数根。对于这种题,考虑到次方程的解存在两正、两负、一正一负、误解的情况,从正面来解非常复杂,因此可以先从问题中“至少存在一根为正”的要求出发,找出它的反面,即“方程的两解都是负数”,从而求得补集,相对而言,简单了许多。
2.3 分析法教学方法
在高中数学教学中,应该强调分析法教学方法,这对学生逆向思维能力的培养作用很大。分析法教学 (下转第101页)(上接第99页)方法是在假设命题成立的基础上根据结论探讨其成立的充分必要条件的一种方法。在高中数学教学中,对于一些证明题,一般是按照逻辑推理的顺序依据题目设定的条件来证明。可是,在一些情况下,问题并不是那么简单,题设中告诉我们的条件非常有限或者比较隐蔽,这时,我们就必须考虑从它的结论出发,逆向推导其成立的充分必要条件,一步一步地进行推导,从而到达题设中已知的条件。最后反过来再安逻辑顺序从题设出发进行证明。这就是高中数学中应用的比较多的分析法教学方式。一般在高中数学知识中的几何、不等式等证明中比较常见。比如有这么一个例题:实数a,m,n,b满足ab-mn=1;a2+m2+n2 +b2 -am+nb = 1.要我们求amnb的值。分析:要求的amnb的值不外乎就得各自的值,或者将am、nb或者ab、mn的值求出再乘积。第一种方法相对比较复杂,因而必须从第二种入手。同时从题目给出的第二个条件,我们可以联想到完全平方式,将它变成a2+m2+n2 +b2-am+nb = ab-mn从而转变成2a2+2m2+2n2 +2b2-2am+2nb-2ab+2mn = 0,即(a-m)2+(n+b)2+(a-b)2+(m+n)2 = 0,于是可以得知a = m,n = -b,a = b,m = -n;又由于ab-mn =1;所以可求得a2 = 1/2,得出abmn = 1/4。
2.4 相互转换
在高中数学教学中,往往还会遇见这样的一些题,当我们千方百计为其寻找答案时,却苦苦而得不出答案,让我们进入了死胡同。对于这些问题,可以采用相互转换的方法,即当得不到结果时,可以适当的考虑问题中已知的其他相关条件或者元素,间接地求解。比如这么一个例题:证明:方程(2-2k)x +(5k+3)y+6k-3 = 0所表示的曲线在k为任意值必经过一定点。对这类题,我们就可以利用变形来求解。将其变为:(5y-2x+6)k+2x+3y-3 = 0,依据题意,k的值任意,式子终成立,所以5y-2x+6 = 0且2x+3y-3 = 0从而求得x = 33/16;y = -3/8。所以此曲线必经过点:(33/16,-3/8)。
3 结语
综上所述,在高中数学教学中充分利用各种可以培养学生逆向思维能力的材料,如上面所说的概念、定义、公式、习题等等,训练学生的逆向思维能力。逆向思维能力对学生理解、分析、解决问题有着重要的帮助,能为学生提供一种快捷、简便的方法。因此,高中数学教师在教学中应该加强学生逆向思维的培养,积极地有意识地激发和引导学生的逆向思维意识,形成良好的逆向思维习惯,促进学生解题能力,同时也促进他们的学习兴趣的培养。
关键词高中数学 教学 逆向思维
中图分类号:G633.6文献标识码:A
数学是一门高思维的学科,是锻炼人们智力的重要工具。数学学习中,通常会遇到某些困难,并且用传统的思维方式不能解决时,而采用的不同角度、不同方向的思维方式。即逆向思维就是指从相反的角度对问题进行思考。它是跟传统的正向思维方式(依据条件,而推出结论)相对应的,它是由果推出因,或再由因推出其他的果的过程。通过培养学生逆向思维能力,可以加强学生思维的灵活性和深刻性,并且提升其在新的条件下处理问题的能力。
1 加强高中生对概念、定义、公式的逆向思维理解、应用
传统数学教学中,教师们往往只注重概念、定义的顺序讲解和应用,从而使得学生思维方式单向定型,于是,对于那些逆向思维应用公式、概念、定义却显得很不习惯。所以,在高中数学教学时,不但要锻炼学生们理解、应用概念、定义的常规的顺序思维方法,而且要注意学生逆向思维的培养,让学生将感念、定义进行反向思考、应用,从而加强其对概念、定义的掌握程度。
1.1 通过对定义的逆向思考,深入掌握定义的内涵
所有的数学定义都是互逆的,正序是定义的判断,逆序是定义的性质,通过对定义正向和方向的双向把握,从而深入理解和掌握定义的真正含义。如:定义域关于原点并且则是奇函数,对于这个定义,对它的逆思考:如果一个函数是奇函数,一定成立并且定义域一定关于原点对称。通过对定义的逆向思考,让学生找出正序和逆序中条件和结论的互换,理解正向和逆向两个定义的逻辑关系,从而巩固学生的记忆。
1.2 掌握公式逆运算,加强做题效率
在教学中,要加强学生对公式的互逆运算的能力,对公式的逆运算很可能会让问题变得简化,使得做题方式具有灵活可变性,促使学生逆向思维习惯的养成。如:sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB这个三角函数公式,可以设计sin25cos25+cos25sin35=?之类的题,让学生通过对公式逆向思维,而加强对公式的理解和把握。
1.3 理解定理、性质、法则的互逆性,掌握数学中的规律
在高中数学教学中,不但要对感念、定义深刻掌握,而且要掌握它们的性质、定理和法则,那么对它们进行互逆思考也应很重要,如反证法、等价关系和充要条件等都是逆思维的表现。具体措施:(1)在教学中要求学生对已知命题进行逆、否命题的设计,让他们掌握已知命题与逆、否命题以及逆否命题的联系。(2)在教学中使用反证法进行教学。反正法是证明命题的逆否命题成立而证明要证命题成立的证明方法。这个证明法在后面的解题教学中有具体讲解,这里就不多说。(3)加强充要条件等知识的应用。在高中数学教学中,“充要条件”是一个很重要的概念,是数学中等价关系判断的一个重要依据。
2 加强逆向思维在数学解题中的应用
数学教学中,做题是训练学生思维能力的最直接方法之一,对学生逆向思维能力的培养有着直接的作用。所以,在高中数学教学中,加强逆向思维在数学解题中的应用已显得格外重要,学生们通过逆向思考,从而增强其解题的效率、正确率。具体方法有:
2.1 以结果逐步索取原因
数学教学中,往往存在着一些题,对它们进行正向思维的论证或求解会遇到很多困难,然而若能及时引导学生们进行逆向思维,由结果索取原因,一步一步索取那些能使结果成立的充分必要条件,这样会使学生顺利的找到解题思路。
例题:正数:k,j满足k + j = 1;x,y∈R;要我们求证(kx + jy)2 ≤ kx2 + jy2
证明:因为:k > 0,j > 0且k + j = l;
所以:k = 1 - j > 0,j = 1- k > 0
∴ kx2 + jy2 - (kx + jy)2
= kx2 + jy2 - k2x2 - 2kjxy - j2y2
= kx2(1 - k) + jy2(1 - j) - 2kjxy
= ab(x - y2)2 ≥0
所以:(kx+jy)2 ≤ kx2 + jy2
2.2 “正难则反”策略
由于在一些数学问题中,正向解题,困难很大,或者题目已知的条件非常复杂,于是,教师应该提醒学生采取逆向思维方式,从结论的相反面考虑,认真分析,而使问题变得容易。这种方法是先根据问题,从问题的相反面出发寻找其补集从而得出结果。
比如有这么一个例题:问一元二次方程(a + 2)x2 - 8x + a = 0在a满足什么情况下至少存在一正实数根。对于这种题,考虑到次方程的解存在两正、两负、一正一负、误解的情况,从正面来解非常复杂,因此可以先从问题中“至少存在一根为正”的要求出发,找出它的反面,即“方程的两解都是负数”,从而求得补集,相对而言,简单了许多。
2.3 分析法教学方法
在高中数学教学中,应该强调分析法教学方法,这对学生逆向思维能力的培养作用很大。分析法教学 (下转第101页)(上接第99页)方法是在假设命题成立的基础上根据结论探讨其成立的充分必要条件的一种方法。在高中数学教学中,对于一些证明题,一般是按照逻辑推理的顺序依据题目设定的条件来证明。可是,在一些情况下,问题并不是那么简单,题设中告诉我们的条件非常有限或者比较隐蔽,这时,我们就必须考虑从它的结论出发,逆向推导其成立的充分必要条件,一步一步地进行推导,从而到达题设中已知的条件。最后反过来再安逻辑顺序从题设出发进行证明。这就是高中数学中应用的比较多的分析法教学方式。一般在高中数学知识中的几何、不等式等证明中比较常见。比如有这么一个例题:实数a,m,n,b满足ab-mn=1;a2+m2+n2 +b2 -am+nb = 1.要我们求amnb的值。分析:要求的amnb的值不外乎就得各自的值,或者将am、nb或者ab、mn的值求出再乘积。第一种方法相对比较复杂,因而必须从第二种入手。同时从题目给出的第二个条件,我们可以联想到完全平方式,将它变成a2+m2+n2 +b2-am+nb = ab-mn从而转变成2a2+2m2+2n2 +2b2-2am+2nb-2ab+2mn = 0,即(a-m)2+(n+b)2+(a-b)2+(m+n)2 = 0,于是可以得知a = m,n = -b,a = b,m = -n;又由于ab-mn =1;所以可求得a2 = 1/2,得出abmn = 1/4。
2.4 相互转换
在高中数学教学中,往往还会遇见这样的一些题,当我们千方百计为其寻找答案时,却苦苦而得不出答案,让我们进入了死胡同。对于这些问题,可以采用相互转换的方法,即当得不到结果时,可以适当的考虑问题中已知的其他相关条件或者元素,间接地求解。比如这么一个例题:证明:方程(2-2k)x +(5k+3)y+6k-3 = 0所表示的曲线在k为任意值必经过一定点。对这类题,我们就可以利用变形来求解。将其变为:(5y-2x+6)k+2x+3y-3 = 0,依据题意,k的值任意,式子终成立,所以5y-2x+6 = 0且2x+3y-3 = 0从而求得x = 33/16;y = -3/8。所以此曲线必经过点:(33/16,-3/8)。
3 结语
综上所述,在高中数学教学中充分利用各种可以培养学生逆向思维能力的材料,如上面所说的概念、定义、公式、习题等等,训练学生的逆向思维能力。逆向思维能力对学生理解、分析、解决问题有着重要的帮助,能为学生提供一种快捷、简便的方法。因此,高中数学教师在教学中应该加强学生逆向思维的培养,积极地有意识地激发和引导学生的逆向思维意识,形成良好的逆向思维习惯,促进学生解题能力,同时也促进他们的学习兴趣的培养。