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一、从概念的外延引入新概念
数学概念有些是经过多级抽象产生和发展起来的,概念的定义方式是用揭示概念的内涵方式给出的,其抽象层次越高,与现实的原始对象联系越薄弱,学生越难于理解,不易接受。因而对于这样定义方式给出的概念最好从概念的外延开始引入。
例如,我们先在黑板上写出几个公差都不同的等差数列,要求学生通过观察、分析找出它们之间的共同特点,然后引入等差数列的概念。又如,“导数”的概念也可从概念的外延引入。
这样把枯燥的、抽象的概念具体化,学生就易于接受,另外,通过这样的引入可使学生的归纳、概括、抽象能力得到训练、提高。
二、演示实验引入概念
对有些数学概念,通过演示它们的发生和发展过程,比较容易揭露其本质,学生也易于理解和记忆。这样的概念我们可以通过演示实验来引入概念。对于用发生式的方法给出定义的概念,我们也可以通过演示实验来引入新概念。
如,“确定平面”的概念,比较抽象,学生难于理解其中的存在性和唯一性问题。教师可做如下演示:过萝卜的中心切片,说明过一点可以作无数个平面,再观察一扇门有两个点固定在门框上,门可以自由开关,说明过两点可以作无数个平面。但若加上杆销,门就固定下来了,说明过不在一直线上的三点可作、并且只能作一个平面。再拿出一个四面体的模型,观察得到,四个顶点不能放在同一个平面内,这说明过任意四点(无三点共线)不能确定一个平面。从而概括出:过一点或两点可作平面,但不止一个;过任意四点(无三点共线)不一定能作平面;只有过不在同一直线上的三点,可作并且只可作一个平面。
三、类比法引入新概念
类比是一种推理方法,是科学研究的最普遍方法之一,对科学发现具有重要的作用。数学中不少概念是从类比推理中发现的。因此,在新概念课的教学时,可视教材内容,对于在内容和形式上有类似之处的概念,采用类比的方法引入新概念。
用类比法引入新概念,不仅可以在平面几何、立体几何有关概念中进行,就是在代数、三角、解析几何中许多概念都可用类比的方法引入。
四、通过激发兴趣引入新概念
由于数学概念在数学知识学习之先,学生认识不到学习的目的性、重要性,加之数学概念本身较为抽象、枯燥,学生又往往缺乏学习的热情。教者应结合生产生活实例,通过以史、以情、以言、以疑、以变、以美等手段,努力激发学习数学概念的积极性。心理学研究表明,如果学生对学习有浓厚的兴趣,就能自觉地集中注意力,全神贯注地去进行学习。因此在概念引入中激发学生的兴趣是引入概念值得注意的方法。
例如,用一个几何例子“一尺之棰,日取其半,万世不竭”作为引子,提出无穷数列的极限的概念及名项之和的概念就有些趣味。
五、设置疑难引入新概念
疑难容易引起学生积极的思维活动。经过学生积极思维之后得到的概念能掌握得比较牢固。在概念教学中设置疑难也就是在概念教学中创设思维的情境,是引入新概念的一种较好方法。
例如:在讲授《等比数列的前n项和公式》时,对学生说:同学们,我愿意在一个月(按30天算)内每天给你们1000元,但在这个月内,你们必须:第一天给我回扣1分钱,第二天给我回扣2分钱,第三天给我回扣4分钱……即后一天回扣的钱数是前一天的2倍,你们愿不愿意?此问题一出立即引起学生的极大兴趣,这么“诱人”的条件到底有没有陷阱?只有算出“收支”对比,才能回答愿与不愿。“支”就是一个等比数列的前n项和的问题,如何求出这个等比数列的前n项和呢?这就需要我们探索出等比数列的求和方法及求和公式了。通过这个例子不但使学生产生求知的热情及浓厚的兴趣,而且对引出等比数列的前n项和公式起到自然引入的作用。
六、以旧导新引入新概念
例如,立体几何中“异面直线”的概念可以由平面几何中两条直线位置关系的概念引入。
七、直接引入新概念
有些概念,是用揭示概念外延的方法给出的定义,这样的概念比较具体,易理解,学生易于接受。在教学中就不要转弯抹角了。例如,“两边相等的三角形是等腰三角形”等概念就可直接提出。
理想化的概念即基本概念是不加定义而被采用的概念。例如:“平面”、“集合”等概念,我们都可直接提出,并且或多或少地指出相近似的对象,叙述这些概念在科学上公认的正确的意义即可。
八、数学史导入法
数学史引入法是利用数学家的传记或数学发展史导入新课的方法。这种方法可以通过榜样的力量去感染学生,调动他们的学习积极性,唤起他们的探索热情。它的设计思路:先讲述与新课内容密切相关的数学史,利用科学家追求真理、勇于探索的精神去感动学生,同时唤起他们强烈的求知欲,最后教师点题引入新课。
例如:在学习“二项式定理”时,教师向学生介绍我国古代著名的“杨辉三角”,并介绍其发现的艰苦历程,激起学生学习的热情与积极性,进而导入新课。
数学概念有些是经过多级抽象产生和发展起来的,概念的定义方式是用揭示概念的内涵方式给出的,其抽象层次越高,与现实的原始对象联系越薄弱,学生越难于理解,不易接受。因而对于这样定义方式给出的概念最好从概念的外延开始引入。
例如,我们先在黑板上写出几个公差都不同的等差数列,要求学生通过观察、分析找出它们之间的共同特点,然后引入等差数列的概念。又如,“导数”的概念也可从概念的外延引入。
这样把枯燥的、抽象的概念具体化,学生就易于接受,另外,通过这样的引入可使学生的归纳、概括、抽象能力得到训练、提高。
二、演示实验引入概念
对有些数学概念,通过演示它们的发生和发展过程,比较容易揭露其本质,学生也易于理解和记忆。这样的概念我们可以通过演示实验来引入概念。对于用发生式的方法给出定义的概念,我们也可以通过演示实验来引入新概念。
如,“确定平面”的概念,比较抽象,学生难于理解其中的存在性和唯一性问题。教师可做如下演示:过萝卜的中心切片,说明过一点可以作无数个平面,再观察一扇门有两个点固定在门框上,门可以自由开关,说明过两点可以作无数个平面。但若加上杆销,门就固定下来了,说明过不在一直线上的三点可作、并且只能作一个平面。再拿出一个四面体的模型,观察得到,四个顶点不能放在同一个平面内,这说明过任意四点(无三点共线)不能确定一个平面。从而概括出:过一点或两点可作平面,但不止一个;过任意四点(无三点共线)不一定能作平面;只有过不在同一直线上的三点,可作并且只可作一个平面。
三、类比法引入新概念
类比是一种推理方法,是科学研究的最普遍方法之一,对科学发现具有重要的作用。数学中不少概念是从类比推理中发现的。因此,在新概念课的教学时,可视教材内容,对于在内容和形式上有类似之处的概念,采用类比的方法引入新概念。
用类比法引入新概念,不仅可以在平面几何、立体几何有关概念中进行,就是在代数、三角、解析几何中许多概念都可用类比的方法引入。
四、通过激发兴趣引入新概念
由于数学概念在数学知识学习之先,学生认识不到学习的目的性、重要性,加之数学概念本身较为抽象、枯燥,学生又往往缺乏学习的热情。教者应结合生产生活实例,通过以史、以情、以言、以疑、以变、以美等手段,努力激发学习数学概念的积极性。心理学研究表明,如果学生对学习有浓厚的兴趣,就能自觉地集中注意力,全神贯注地去进行学习。因此在概念引入中激发学生的兴趣是引入概念值得注意的方法。
例如,用一个几何例子“一尺之棰,日取其半,万世不竭”作为引子,提出无穷数列的极限的概念及名项之和的概念就有些趣味。
五、设置疑难引入新概念
疑难容易引起学生积极的思维活动。经过学生积极思维之后得到的概念能掌握得比较牢固。在概念教学中设置疑难也就是在概念教学中创设思维的情境,是引入新概念的一种较好方法。
例如:在讲授《等比数列的前n项和公式》时,对学生说:同学们,我愿意在一个月(按30天算)内每天给你们1000元,但在这个月内,你们必须:第一天给我回扣1分钱,第二天给我回扣2分钱,第三天给我回扣4分钱……即后一天回扣的钱数是前一天的2倍,你们愿不愿意?此问题一出立即引起学生的极大兴趣,这么“诱人”的条件到底有没有陷阱?只有算出“收支”对比,才能回答愿与不愿。“支”就是一个等比数列的前n项和的问题,如何求出这个等比数列的前n项和呢?这就需要我们探索出等比数列的求和方法及求和公式了。通过这个例子不但使学生产生求知的热情及浓厚的兴趣,而且对引出等比数列的前n项和公式起到自然引入的作用。
六、以旧导新引入新概念
例如,立体几何中“异面直线”的概念可以由平面几何中两条直线位置关系的概念引入。
七、直接引入新概念
有些概念,是用揭示概念外延的方法给出的定义,这样的概念比较具体,易理解,学生易于接受。在教学中就不要转弯抹角了。例如,“两边相等的三角形是等腰三角形”等概念就可直接提出。
理想化的概念即基本概念是不加定义而被采用的概念。例如:“平面”、“集合”等概念,我们都可直接提出,并且或多或少地指出相近似的对象,叙述这些概念在科学上公认的正确的意义即可。
八、数学史导入法
数学史引入法是利用数学家的传记或数学发展史导入新课的方法。这种方法可以通过榜样的力量去感染学生,调动他们的学习积极性,唤起他们的探索热情。它的设计思路:先讲述与新课内容密切相关的数学史,利用科学家追求真理、勇于探索的精神去感动学生,同时唤起他们强烈的求知欲,最后教师点题引入新课。
例如:在学习“二项式定理”时,教师向学生介绍我国古代著名的“杨辉三角”,并介绍其发现的艰苦历程,激起学生学习的热情与积极性,进而导入新课。