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摘要：设而不求是数学解题中的一种很有用的手段，采用设而不求的策略，往往能避免盲目推演而造成的无益的循环运算，从而达到准确、快速、简捷的解题效果。本文将对设而不求的常见类型加以归纳，以供借鉴与参考。
关键词：数学解题；设而不求；举例
中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）20-051-1
一、整体代入，设而不求
在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决。
例1已知等比数列{an}中，Sm=16，S2m=64，求S3m。
解：设公比为q，由于S2m≠2Sm，故q≠1，
于是a1（1-qm）1-q=16①a1（1-q2m）1-q=64②，
②÷①得1 qm=4，则qm=3，
所以S3m=a1（1-q3m）1-q
=a1（1-qm）1-q（1 qm q2m）
=16×（1 3 32）
=208。
二、转化图形，设而不求
有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。
例2设a、b均为正数，且a b=1，求证2a 1 2b 1≤22。
证明：设u=2a 1，v=2b 1（u>1，v>1），u v=m，
则u、v同时满足u v=mu2 v2=4，
其中u v=m表示直线，
m为此直线在v轴上的截距，
u2 v2=4是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图），显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大。
由图易得mmax=22，
即2a 1 2b 1≤22。
三、适当引参，设而不求
恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。
例3已知对任何满足（x-1）2 y2=1的实数x、y，如果x y k≥0恒成立，求实数k的取值范围。
解：设x=1 cosθy=sinθ（θ∈R），则
g（θ）=x y k
=sinθ cosθ 1 k
=2sin（θ π4） 1 k
≥-2 1 k，
令-2 1 k≥0，得k≥2-1。
四、巧设坐标，设而不求
在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果。
例4设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，求证：直线AC经过原点O。
证明：设点A（2pt21，2pt1）、B（2pt22，2pt2），则点C（-p2，2pt2），
因为AB过焦点F，
所以2pt1·2pt2=-p2，
得t1t2=-14。
又直线OC的斜率kOC=2pt2-p2=-4t2=1t1，
直线OA的斜率kOA=2pt1-02pt21-0=1t1，则kOC=kOA，
故A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。
五、活用性质，设而不求
解题过程中，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造，活用性质，可直达目标。
例5求证1n 1 1n 2 … 12n>1324（n≥2，n∈N*）
证明：设xn=1n 1 1n 2 … 12n-1324，
则xn 1=1n 2 1n 3 … 12n 12n 1 12n 2-1324，
由xn 1-xn=12n 1 12n 2-1n 1=12n 1-12n 2>0可知：数列{xn}为单调递增数列。
又x2=13 14-1324>0，
则xn>0（n≥2，n∈N*），
即1n 1 1n 2 … 12n>1324（n≥2，n∈N*）。
六、恒等变形，设而不求
某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果。
例6求cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17的值。
解：设M=cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17，
N=sinπ17sin2π17sin3π17…sin8π17，
则MN=sinπ17cosπ17·sin2π17cos2π17·…·sin8π17cos8π17
=128sin2π17sin4π17…sin16π17
=128sinπ17sin2π17…sin8π17
=128·N，
而N≠0，故M=128=1256。
以上例題中，方法多样，其中例1可以用构造法，例2设参法，例3几何法，例5逼近法，例6补项法，速度和准确度比“设而不求”更方便。但是，“设而不求”的处理，可以打开学生的一道心扉，从而转变他们的思维和计算方式，为后面的数学学习增添无穷的动力和乐趣。
关键词：数学解题；设而不求；举例
中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）20-051-1
一、整体代入，设而不求
在解决某些涉及若干个量的求值问题时，要有目标意识，通过虚设的策略，整体转化的思想，绕开复杂的运算过程，可使问题迅速得到解决。
例1已知等比数列{an}中，Sm=16，S2m=64，求S3m。
解：设公比为q，由于S2m≠2Sm，故q≠1，
于是a1（1-qm）1-q=16①a1（1-q2m）1-q=64②，
②÷①得1 qm=4，则qm=3，
所以S3m=a1（1-q3m）1-q
=a1（1-qm）1-q（1 qm q2m）
=16×（1 3 32）
=208。
二、转化图形，设而不求
有些代数问题，通过挖掘题目中隐含的几何背景，设而不求，可转化成几何问题求解。
例2设a、b均为正数，且a b=1，求证2a 1 2b 1≤22。
证明：设u=2a 1，v=2b 1（u>1，v>1），u v=m，
则u、v同时满足u v=mu2 v2=4，
其中u v=m表示直线，
m为此直线在v轴上的截距，
u2 v2=4是以原点为圆心，2为半径的圆在第一象限内的一部分圆弧（如图），显然直线与圆弧相切时，所对应的截距m的值最大。
由图易得mmax=22，
即2a 1 2b 1≤22。
三、适当引参，设而不求
恰当合理地引入参数，可使解题目标更加明确，已知和欲求之间的联系得以明朗化，使问题能够得到解决。
例3已知对任何满足（x-1）2 y2=1的实数x、y，如果x y k≥0恒成立，求实数k的取值范围。
解：设x=1 cosθy=sinθ（θ∈R），则
g（θ）=x y k
=sinθ cosθ 1 k
=2sin（θ π4） 1 k
≥-2 1 k，
令-2 1 k≥0，得k≥2-1。
四、巧设坐标，设而不求
在解析几何问题中，对于有关点的坐标采用设而不求的策略，能促使问题定向，简便化归，起到以简驭繁的解题效果。
例4设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，求证：直线AC经过原点O。
证明：设点A（2pt21，2pt1）、B（2pt22，2pt2），则点C（-p2，2pt2），
因为AB过焦点F，
所以2pt1·2pt2=-p2，
得t1t2=-14。
又直线OC的斜率kOC=2pt2-p2=-4t2=1t1，
直线OA的斜率kOA=2pt1-02pt21-0=1t1，则kOC=kOA，
故A、O、C三点共线，即直线AC经过原点O。
五、活用性质，设而不求
解题过程中，不断变换观察角度，类比方法、联想内容，明确最终目标，经过巧妙构造，活用性质，可直达目标。
例5求证1n 1 1n 2 … 12n>1324（n≥2，n∈N*）
证明：设xn=1n 1 1n 2 … 12n-1324，
则xn 1=1n 2 1n 3 … 12n 12n 1 12n 2-1324，
由xn 1-xn=12n 1 12n 2-1n 1=12n 1-12n 2>0可知：数列{xn}为单调递增数列。
又x2=13 14-1324>0，
则xn>0（n≥2，n∈N*），
即1n 1 1n 2 … 12n>1324（n≥2，n∈N*）。
六、恒等变形，设而不求
某些看似十分复杂的运算，经过巧妙转换，恒等变形，使运算对象发生转移，起到意想不到的效果。
例6求cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17的值。
解：设M=cosπ17cos2π17cos3π17…cos8π17，
N=sinπ17sin2π17sin3π17…sin8π17，
则MN=sinπ17cosπ17·sin2π17cos2π17·…·sin8π17cos8π17
=128sin2π17sin4π17…sin16π17
=128sinπ17sin2π17…sin8π17
=128·N，
而N≠0，故M=128=1256。
以上例題中，方法多样，其中例1可以用构造法，例2设参法，例3几何法，例5逼近法，例6补项法，速度和准确度比“设而不求”更方便。但是，“设而不求”的处理，可以打开学生的一道心扉，从而转变他们的思维和计算方式，为后面的数学学习增添无穷的动力和乐趣。