电源是闭合电路中总能量的转化装置. 闭合电路中的功率问题反映了闭合电路中能量的分配与转化规律. 当电路结构及元件工作参数出现动态变化时，必影响电路中的能量分配. 研究闭合电路中的功率问题，有助于我们从能量守恒角度对电路实施有效的控制
　　一、闭合电路相关功率的含义及表达式
　　如图1所示的闭合电路中，设电源电动势为E，内阻为r，电路总电流为I，路端电压为U. 则
　　[外电路] [图1]
　　1.电源总功率（闭合电路总功率）[PE=IE]
　　2.电源热功率（内电路消耗功率）[Pr=I2r]
　　3.电源输出功率（外电路消耗功率）[P=IU]
　　注：（1）由于电路中总能量守恒，应有关系式：[PE=Pr+P]；（2）若外电路是某个用电器（如电动机），则[P=IU]也为该用电器的输入功率.
　　例1 如图2所示，直线OAC为某一直流电源的总功率PE随电流I的变化图线，抛物线的一部分OBC为同一电源内部的发热功率Pr随电流I的变化图线. 若线段AB对应的横坐标为[2A]，那么[AB]的长度所表示的功率及[I=2A]时所对应的外电阻分别为（ ）
　　[图2]
　　A.2W，0.5Ω B.4W，2Ω
　　C.2W，1Ω D.6W，2Ω
　　解析 设电源电动势为[E]，内阻为[r]，外电阻为[R]. 由于[PE=IE]，[Pr=I2r]，则从图象中可知，在[I=3A]时，有[9=3E，9=32r]. 可得[E=3V，r=1Ω]
　　在[I′=2A]时，[AB]段对应的电源输出功率即为外电阻消耗的功率
　　[P=PE′-Pr′=2E-22r=2W]
　　由[P=I′2R]，得[R=0.5Ω]. 本题选项A正确.
　　点评 理解闭合电路相关功率的含义及表达式，理解相关图象的物理意义，善于从图象中找出一些隐含条件，是求解本题的关键.
　　例2 如图3所示，电源电动势[E=10V，]内阻[r=0.5Ω]. “8V，16W”的小灯泡[L]恰好正常发光，电动机[M]内电阻[RM=1Ω]. 求：（1）电源的总功率；（2）电动机的输出功率.
　　[M][L] [图3]
　　解析 （1）当小灯泡正常发光时，电源路端电压[U=8V]. 设干路中电流为[I]，
　　由[E=U+Ir]得[I=4A]，电源的总功率
　　[PE=IE=40W]
　　（2）当小灯泡正常发光时通过小灯泡的电流[IL=PLU=2A]，则流过电动机电流为[IM=I-IL=2A]，故电动机的输出功率为[PM=IM][U-IM2RM=12W]
　　点评 电动机是非线性用电器，当它运转时其两端的电压与通过的电流不遵循欧姆定律，因此不能用表达式[IM=URM]来求流过电动机的电流，但可以通过电路的串、并联规律来求出电动机的电流.
　　二、电源最大输出功率及相关结论
　　推导 在图1所示的电路中，设电源的输出功率为[P]，由于[PE-Pr=P]，我们可得到关于[I]的一元二次方程：[I2r-IE+P=0]. 由于[I]为实数，其根的判别式[Δ≥0]，即[Δ=（-E）2-4rP≥0]，[P≤E24r]，故闭合电路中电源的最大输出功率为[P=E24r].
　　讨论
　　1.从以上推导过程不难看出，闭合电路中电源的最大输出功率[P=E24r]，这一结论与外电路结构及用电器性质无关，具有普遍的意义.
　　2.若外电路为纯电阻性的（设总外电阻为[R]），外电压为[U]，则电源的输出功率还可以表示为：
　　[P=IU=I2R=（ER+r）2R=E2（R+rR）2]
　　在[R=rR]即[R=r]时，电源的最大输出功率为[P=E24r].
　　3.通过以上讨论的第2点中给出的[P]与[R]函数关系式，我们可以定性作出电源输出功率随外电阻变化的[P-R]图象（如图4所示）.
　　[图4]
　　注：定量作出[P-R]图象可能会有一定困难. 可以通过计算机用软件Excel的作图功能作这个图象.
　　关于电源输出功率随外电阻变化图象的几点说明：
　　（1）当外电阻变化到等于电源内阻即[R=r]时，电源有最大输出功率[P=E24r]. 此时电源的效率[η=PPE=E2/4rE2/2r=12=50%]；
　　（2）当[R>r]时，随[R]增大电源输出功率减小；当[R　　（3）当电源有某一非最大输出功率时对应外电阻有两个可能的值[R1]和[R2]，有关系式：[R1R2=r2]. 此式的证明方法很多，这里给出一种证明方法：由[P=（ER+r）2R]，得[R2P+（2rP-E2）R+r2P=0]，此方程的两根即为[R1]和[R2]，由韦达定理可得[R1R2=r2PP=r2].
　　例3 如图5所示，[R1]为定值电阻，[R2]为可变电阻，电源电动势为[E]，内阻为[r]. 以下说法正确的是（ ）
　　[图5]
　　A. 当[R2=R1+r]时，[R2]消耗的功率最大
　　B. 当[R1=R2+r]时，[R1]消耗的功率最大
　　C. 当[R2=0]时，[R1]消耗的功率最大
　　D. 当[R2=0]时，电源的输出功率最大
　　解析 分析可变电阻[R2]的功率时，可将定值电阻[R1]与原电源一起看成一个新的等效电源，其内阻[r′=R1+r]，这时电阻[R2]消耗的功率即可看成是等效电源的输出功率. 可见当[R2=r′=R1+r]时，[R2]消耗的功率最大；由定值电阻[R1]的功率[P1=I2R1]，知当它通过的电流最大时其消耗的功率也就最大，由闭合电路欧姆定律，不难得出当[R2=0]时通过[R1]的电流最大. 故本题正确选项为AC . 　　点评 讨论定值电阻[R]消耗的功率时，一般直接根据公式[P=I2R]或[P=U2R]来进行分析；讨论可变电阻消耗的功率时，由于可变电阻的[I]或[U]随其阻值的变化而变化，可由等效电源的方法，结合[P-R]图象来进行分析.
　　例4 甲、乙两个电源的电动势分别为[E1]和[E2]，且[E1>E2]，内阻分别为[r1]和[r2]. 若用这两个电源分别给某一电阻[R]供电时，该电阻[R]消耗的功率相同；若用这两电源分别向另一电阻[R′]（[R′]略大于[R]）供电时，该电阻[R′]消耗的功率分别为[P1]和[P2]. 则有（ ）
　　A. [r1>r2] B. [r1　　C. [P1>P2] D. [P1　　解析 当两个电源分别向电阻[R]供电时其消耗的功率相同，即有[（E1R+r1）2R=（E2R+r2）2R] ，由于[E1>E2]可知[r1>r2]；当这两个电源分别向另一电阻[R′]供电时，其消耗的功率通过表达式来进行分析比较复杂，但我们可以利用[P-R]图象进行分析. 作出两电源的输出功率随外电阻变化的图象（如图6所示）. [图6]
　　由于[r1>r2]，故电源甲的[P-R]图象曲线顶点横坐标应在电源乙的[P-R]图象曲线曲线顶点横坐标的右边. 两曲线的交点[A]对应的横坐标为应[R]，由于[R′]略大于[R]，从图中容易看出[P1>P2]. 本题正确选项为AC.
　　[图7]
　　应用[U-I]图象也容易分析：设电源路端电压为[U]，由于[E1>E2]，[r1>r2]，可大致作出两电源的[U-I]图象（如图7所示）. 两直线交点A，直线OA的斜率即为电阻R的大小. 当外电阻为R′（R′略大于R）时，作斜率大于直线OA的另一直线OB（OB的斜率即为电阻R′的大小）分别与两电源的[U-I]图象直线交于B、C两点，图中两个矩形其阴影部分面积即分别为两电源的输出功率（也就是这时的外电阻R′上消耗的功率）的大小. 从图中也容易看出[P1>P2].
　　点评 理解各种图象的物理意义，应用图象分析和处理物理问题，直观明了，能收到事半功倍之效果.
　　三、非线性元件功率问题
　　电功率表达式P=IU虽然普遍适用，但非线性元件不遵循欧姆定律，其电流可通过元件的[U-I]图求出，进而可求出电路中非线性元件的电功率.
　　例5 如图8是某一半导体器件的[U-I]图，将该半导体器件与标有“9V，18W”的用电器串联后接入电动势为[E=12V]的电源两端，用电器恰能正常工作，求此时电源的输出功率是多少？若将该半导体器件与一个阻值为[R=1.33Ω]的电阻串联后接在此电源两端，则半导体器件消耗的电功率约为多少？
　　解析 半导体器件与“9V，18W”的用电器串联时，由于用电器恰能正常工作，故流过的电流[I=PU=189A=2A]，从图象中知[I=2A]时半导体元件上电压为[1V]，故此时电源的输出电压为[U=9V+1V=10V]，输出功率为[P=IU=2×10W=20W]. 电源内阻为[r=（E-U）I=1Ω]. 当该半导体器件与电阻[R]串联后接在此电源两端，可把电阻[R]的看作为电源内阻的一部分，这时等效电源的内阻变为[r′=R+r=2.33Ω]，设这时电路中电流为[I′]，则路端电压[U′=E-I′r′=12-2.33I′]，在半导体器件的[U-I]图如图9中作出电源的[U-I]图象.
　　两图线的交点的纵横坐标值的乘积便是半导体元件消耗的功率的数值. 从图中知半导体器件消耗的功率为[P′=U′I′=5×3=15W].
　　点评 关于半导体器件消耗的电功率的求解，可把串联的电阻[R]看成原电源的内阻的一部分，把它与的原来的电源一起看作为一个等效电源，作出这个等效电源的[U-I]图线，它与半导体的[U-I]图交点坐标值即为半导体元件两端的电压和流过的电流，从而就能求出半导体元件消耗的功率.