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[摘 要] 综观近几年全国各地中考数学试卷，践行了新课程理念，以能力立意为目标，突出考查学生的数学意识和数学能力，富有时代特征和人文气息，使中考在传承传统中考经验的基础上更加具备选拔和教学导向功能. 本文力图阐述中考中新定义型创新试题的意义、解题策略以及对教学的启示.
[关键词] 新定义；创新试题；解题策略；教学启示
■ 解释意义——追本溯源探新意
中考数学试题坚持以能力立意，全面考查学生的数学知识、方法和数学思想. 以“新定义”为背景的创新试题，通过在试题中给出新定义、新概念、新规则来创设新情境，提出新问题，要求学生完成某种推理证明或求解. 这样的试题较好地体现了新课程理念，注重学生的数学思考、数学阅读理解能力、数学抽象概括能力，注重培养学生良好的数学学习习惯.
■ 解码类型——触景生情想类别
新定义型创新试题按数学知识来分，可分为代数型、几何型和代数几何综合型.
1. 代数型
代数型是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类新定义试题. 涉及的知识主要包括方程、函数、不等式等内容.
例1 对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b=■-■，若2⊕（2x-1）=1，则x的值为______.
分析？摇 利用新定义运算为两数的倒数之差，把2⊕（2x-1）=1转化为分式方程进行求解.
评析？摇 此题是以学生已学的实数运算为知识基础，给出了一个新定义运算法则，要求学生在阅读和理解新运算的基础上解决与新运算有关的问题. 此类试题考查了学生的逻辑推理能力，解答此类试题需要学生由一般到特殊读懂新运算本质，关键是准确理解新符号的数学意义.
2. 几何型
在几何图形“新定义”型试题中，看似平淡无奇的几何图形新概念，仔细研读后却发现试题韵味无穷，极具探究价值和选拔功能. 求解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题依据，同时熟练掌握几何中的基本概念和基本性质，把握图形的变化规律.
例2 （2011年宁波中考）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形.
（1）根据“奇异三角形”的定义，小华提出命题“等边三角形一定是奇异三角形”，请你判断这个命题是真命题还是假命题.
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a ∶ b ∶ c.
（3）如图1所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A，B重合），D是半圆的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE.
■
①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数.
分析？摇 第（1）问，根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可.
第（2）问，根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2 b2=c2与a2 c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得.
第（3）问①利用AB是⊙O的直径即可得到∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得. ②由①可得△ACE是奇异三角形，分别从AC ∶ AE ∶ CE=1 ∶ ■ ∶ ■与AC ∶ AE ∶ CE=■ ∶ ■ ∶ 1去分析，从而可得到∠AOC=60°或120°，
评析？摇 此题要求学生通过观察、实验、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.
3. 代数几何综合型
代数几何综合题从内容上来说，通过新定义某个概念、规律、运动等，把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时融入开放性、探究性等问题，使之更具挑战性.
例3 （2012年北京中考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P■（x■，y■）与P■（x■，y■）的“非常距离”，给出如下定义：若x■-x■≥y■-y■，则点P■（x■，y■）与点P■（x■，y■）的“非常距离”为x■-x■；若x■-x■ ■
（1）已知点A -■，0，B为y轴上一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值.
（2）已知C是直线y=■x 3上一个动点，
①如图3所示，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图4所示，E是以原点O为圆心、1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.
■
■
分析？摇 第（1）题①，由“非常距离”的定义可以求得点B的坐标.
第（1）题②，由于点A，B的特殊性，点A与点B的“非常距离”就是OA，OB长的较大值. 由于OA=■，设点B的坐标为（0，y■），当y■<-■或y■>■时，OB>■；当-■≤y■≤■时，OB≤■，所以点A与点B的“非常距离”的最小值为-■-0=■.
第（2）题①，根据材料，“若x■-x■≥y■-y■，则点P■与点P■的‘非常距离’为x■-x■”知C，D两点的“非常距离”的最小值为-x■=■x■ 2，据此可以求得点C的坐标. 第（2）题②，当点E在⊙O上运动时，求这些“非常距离”的最小值，只需使E离直线最近，故将直线y=■x 3沿垂直于该直线的方向平移到第一次与⊙O有公共点，即与⊙O在第二象限内相切，从而找到突破点.
评析？摇 此题将坐标系中两点之间距离、一次函数、直线与圆的位置关系等核心知识相结合，从求两个定点的非常距离，到求定点与动点非常距离的最小值，由浅入深、由易到难，很好地体现了数学解题之道就是把未知化为已知，化复杂为简单，从而得到正确的解题思路.
■ 解析特点——拨云见日显独特
通过上述几个类型的归类我们可以体会到新定义创新试题主要有以下三个特点：
（1）内容新颖. 题目中出现以前没有学习过的新定义、新名称、新符号、新运算等. 概念的给出常伴随有“设”“记”“称”“规定”“定义”等字眼.
（2）抽象简洁. 题目用抽象、简洁的语言给出新的定义，没有解释说明，要求学生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义.
（3）即时运用. 学习新定义的时间很短，没有例题，无法模仿，在阅读理解的基础上，要求立即独立运用它解决有关问题，对学生的心理素质和思维敏捷性要求较高.
■ 解明策略——浮想联翩出对策
1. 熟悉和记住新定义的名称和符号
如例1中的符号a⊕b表示■-■.
2. 阅读和理解新定义
（1）字面理解. 通过阅读，理解定义中的每一个句子和词的含义. 如例2和例3中对“奇异三角形”和“非常距离”的定义.
（2）深层理解.
①深入理解新定义的本质：如例3中，要深层理解“非常距离”与点的坐标差的绝对值的对应是一个确定的单值对应，即对任意给定的两点，总能确定出一个且唯一的一个“非常距离”，而同一个“非常距离”的值所对应的点对则不唯一.
②弄清与相近旧概念之间的联系与区别：通过上述几个例子我们可以发现，这类题既源于教材又高于教材，既与旧知识有联系又在本质上有所发展与创新. 但由于“先入为主”的影响，在学习新定义时学生往往会与相近的旧概念相混淆，因此要特别注意新、旧概念的区别.
（3）在具体情境中初步运用新定义. 这类题型要求在熟悉和理解新定义的基础上能够在具体的情境中运用新定义，解决新问题，这里通常有下面两种情况.
①求出新定义的具体对象：这类问题相对比较简单，只是初步运用新定义，其目的是考查新定义初步的、比较浅显的理解. 如例1就是要求直接利用公式进行计算.
②对新定义的对象进行拓展和延伸：这类问题相对于上述（1）而言要求就高了，要求对新定义必须理解准确、透彻，才能完美解决. 如例3中给出“非常距离”的定义后，对抽象的符号表示通过举例进行了具体解读，还要结合线段P■Q与P■Q长度的大小比较来进一步加深对“非常距离”的解读.
■ 解开启示——穷追不舍得方向
综上所述，新定义型试题都是在学生已学知识的基础上给出一个新定义，然后运用这个概念设计有层次性的问题，要求学生去解决. 这样的题目要求学生具有以下能力：第一，迅速而较强的信息处理能力和数学理解力，即一种较高的抽象概括能力；第二，对“新定义”的运用能力，即将新规律或规则具体化、实施化的能力. “新定义”中考题有力地挑战了目前课堂上大题量训练模式的“好”教法，指明了新课程下中考命题改革的趋势. 面对这种变化，我觉得有以下两点需要我们去关注，需要我们以新课程标准理念为指导，不断改进教学行为，不断优化教学过程.
1. 数学阅读是提升数学能力的准备
数学阅读是阅读主体根据已有旧知，在一定阅读动机的驱使下，依托阅读习惯，通过阅读数学材料，将文字语言转译成数学符号语言，并建构数学意义和方法. 在数学教学中，应有计划地让学生阅读教材、阅读例题解法、加强学生阅读能力的培养. 要从课本叙述中通晓知识的来龙去脉，从例题中提炼思想方法，从课外练习中学会解题技巧等. 在阅读中提高学生的数学表达能力、数学分析能力、推理能力，提高数学学习效率，真正让不同的学生在数学上获得不同的发展.
2. 倾向培养是提升学习能力的关键
数学命题浩如烟海，千变万化，层出不穷. 如果单是为了加强“双基”而大搞“题海战术”，为企图提高“能力”而以多“取胜”，此举往往是缘木求鱼，只会适得其反. 在教学中，我们应重视基本概念的教学，不仅要让学生知其然，还应知其所以然，应强化公式的变形与活用，强化对定理条件的把握，强化求异思维与创新思维. 在平时教学中，我们还要积极渗透数学思想，诱导学生感悟并学会用数学思想去理解知识，并努力揭示它的内在规律. 只有不懈地运用数学方法去武装学生，才会让他们在解决问题时生发远见性和洞察力，爆发出数学灵性，收到左右逢源的解题效果.
[关键词] 新定义；创新试题；解题策略；教学启示
■ 解释意义——追本溯源探新意
中考数学试题坚持以能力立意，全面考查学生的数学知识、方法和数学思想. 以“新定义”为背景的创新试题，通过在试题中给出新定义、新概念、新规则来创设新情境，提出新问题，要求学生完成某种推理证明或求解. 这样的试题较好地体现了新课程理念，注重学生的数学思考、数学阅读理解能力、数学抽象概括能力，注重培养学生良好的数学学习习惯.
■ 解码类型——触景生情想类别
新定义型创新试题按数学知识来分，可分为代数型、几何型和代数几何综合型.
1. 代数型
代数型是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类新定义试题. 涉及的知识主要包括方程、函数、不等式等内容.
例1 对于非零的两个实数a，b，规定a⊕b=■-■，若2⊕（2x-1）=1，则x的值为______.
分析？摇 利用新定义运算为两数的倒数之差，把2⊕（2x-1）=1转化为分式方程进行求解.
评析？摇 此题是以学生已学的实数运算为知识基础，给出了一个新定义运算法则，要求学生在阅读和理解新运算的基础上解决与新运算有关的问题. 此类试题考查了学生的逻辑推理能力，解答此类试题需要学生由一般到特殊读懂新运算本质，关键是准确理解新符号的数学意义.
2. 几何型
在几何图形“新定义”型试题中，看似平淡无奇的几何图形新概念，仔细研读后却发现试题韵味无穷，极具探究价值和选拔功能. 求解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题依据，同时熟练掌握几何中的基本概念和基本性质，把握图形的变化规律.
例2 （2011年宁波中考）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形.
（1）根据“奇异三角形”的定义，小华提出命题“等边三角形一定是奇异三角形”，请你判断这个命题是真命题还是假命题.
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a ∶ b ∶ c.
（3）如图1所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与A，B重合），D是半圆的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE.
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①求证：△ACE是奇异三角形；
②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数.
分析？摇 第（1）问，根据“奇异三角形”的定义与等边三角形的性质，求证即可.
第（2）问，根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得a2 b2=c2与a2 c2=2b2，用a表示出b与c，即可求得.
第（3）问①利用AB是⊙O的直径即可得到∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理与圆的性质即可证得. ②由①可得△ACE是奇异三角形，分别从AC ∶ AE ∶ CE=1 ∶ ■ ∶ ■与AC ∶ AE ∶ CE=■ ∶ ■ ∶ 1去分析，从而可得到∠AOC=60°或120°，
评析？摇 此题要求学生通过观察、实验、归纳、类比、推断获得数学猜想，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的必要性、证明过程的严谨性以及结论的确定性.
3. 代数几何综合型
代数几何综合题从内容上来说，通过新定义某个概念、规律、运动等，把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时融入开放性、探究性等问题，使之更具挑战性.
例3 （2012年北京中考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P■（x■，y■）与P■（x■，y■）的“非常距离”，给出如下定义：若x■-x■≥y■-y■，则点P■（x■，y■）与点P■（x■，y■）的“非常距离”为x■-x■；若x■-x■
（1）已知点A -■，0，B为y轴上一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值.
（2）已知C是直线y=■x 3上一个动点，
①如图3所示，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图4所示，E是以原点O为圆心、1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标.
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分析？摇 第（1）题①，由“非常距离”的定义可以求得点B的坐标.
第（1）题②，由于点A，B的特殊性，点A与点B的“非常距离”就是OA，OB长的较大值. 由于OA=■，设点B的坐标为（0，y■），当y■<-■或y■>■时，OB>■；当-■≤y■≤■时，OB≤■，所以点A与点B的“非常距离”的最小值为-■-0=■.
第（2）题①，根据材料，“若x■-x■≥y■-y■，则点P■与点P■的‘非常距离’为x■-x■”知C，D两点的“非常距离”的最小值为-x■=■x■ 2，据此可以求得点C的坐标. 第（2）题②，当点E在⊙O上运动时，求这些“非常距离”的最小值，只需使E离直线最近，故将直线y=■x 3沿垂直于该直线的方向平移到第一次与⊙O有公共点，即与⊙O在第二象限内相切，从而找到突破点.
评析？摇 此题将坐标系中两点之间距离、一次函数、直线与圆的位置关系等核心知识相结合，从求两个定点的非常距离，到求定点与动点非常距离的最小值，由浅入深、由易到难，很好地体现了数学解题之道就是把未知化为已知，化复杂为简单，从而得到正确的解题思路.
■ 解析特点——拨云见日显独特
通过上述几个类型的归类我们可以体会到新定义创新试题主要有以下三个特点：
（1）内容新颖. 题目中出现以前没有学习过的新定义、新名称、新符号、新运算等. 概念的给出常伴随有“设”“记”“称”“规定”“定义”等字眼.
（2）抽象简洁. 题目用抽象、简洁的语言给出新的定义，没有解释说明，要求学生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义.
（3）即时运用. 学习新定义的时间很短，没有例题，无法模仿，在阅读理解的基础上，要求立即独立运用它解决有关问题，对学生的心理素质和思维敏捷性要求较高.
■ 解明策略——浮想联翩出对策
1. 熟悉和记住新定义的名称和符号
如例1中的符号a⊕b表示■-■.
2. 阅读和理解新定义
（1）字面理解. 通过阅读，理解定义中的每一个句子和词的含义. 如例2和例3中对“奇异三角形”和“非常距离”的定义.
（2）深层理解.
①深入理解新定义的本质：如例3中，要深层理解“非常距离”与点的坐标差的绝对值的对应是一个确定的单值对应，即对任意给定的两点，总能确定出一个且唯一的一个“非常距离”，而同一个“非常距离”的值所对应的点对则不唯一.
②弄清与相近旧概念之间的联系与区别：通过上述几个例子我们可以发现，这类题既源于教材又高于教材，既与旧知识有联系又在本质上有所发展与创新. 但由于“先入为主”的影响，在学习新定义时学生往往会与相近的旧概念相混淆，因此要特别注意新、旧概念的区别.
（3）在具体情境中初步运用新定义. 这类题型要求在熟悉和理解新定义的基础上能够在具体的情境中运用新定义，解决新问题，这里通常有下面两种情况.
①求出新定义的具体对象：这类问题相对比较简单，只是初步运用新定义，其目的是考查新定义初步的、比较浅显的理解. 如例1就是要求直接利用公式进行计算.
②对新定义的对象进行拓展和延伸：这类问题相对于上述（1）而言要求就高了，要求对新定义必须理解准确、透彻，才能完美解决. 如例3中给出“非常距离”的定义后，对抽象的符号表示通过举例进行了具体解读，还要结合线段P■Q与P■Q长度的大小比较来进一步加深对“非常距离”的解读.
■ 解开启示——穷追不舍得方向
综上所述，新定义型试题都是在学生已学知识的基础上给出一个新定义，然后运用这个概念设计有层次性的问题，要求学生去解决. 这样的题目要求学生具有以下能力：第一，迅速而较强的信息处理能力和数学理解力，即一种较高的抽象概括能力；第二，对“新定义”的运用能力，即将新规律或规则具体化、实施化的能力. “新定义”中考题有力地挑战了目前课堂上大题量训练模式的“好”教法，指明了新课程下中考命题改革的趋势. 面对这种变化，我觉得有以下两点需要我们去关注，需要我们以新课程标准理念为指导，不断改进教学行为，不断优化教学过程.
1. 数学阅读是提升数学能力的准备
数学阅读是阅读主体根据已有旧知，在一定阅读动机的驱使下，依托阅读习惯，通过阅读数学材料，将文字语言转译成数学符号语言，并建构数学意义和方法. 在数学教学中，应有计划地让学生阅读教材、阅读例题解法、加强学生阅读能力的培养. 要从课本叙述中通晓知识的来龙去脉，从例题中提炼思想方法，从课外练习中学会解题技巧等. 在阅读中提高学生的数学表达能力、数学分析能力、推理能力，提高数学学习效率，真正让不同的学生在数学上获得不同的发展.
2. 倾向培养是提升学习能力的关键
数学命题浩如烟海，千变万化，层出不穷. 如果单是为了加强“双基”而大搞“题海战术”，为企图提高“能力”而以多“取胜”，此举往往是缘木求鱼，只会适得其反. 在教学中，我们应重视基本概念的教学，不仅要让学生知其然，还应知其所以然，应强化公式的变形与活用，强化对定理条件的把握，强化求异思维与创新思维. 在平时教学中，我们还要积极渗透数学思想，诱导学生感悟并学会用数学思想去理解知识，并努力揭示它的内在规律. 只有不懈地运用数学方法去武装学生，才会让他们在解决问题时生发远见性和洞察力，爆发出数学灵性，收到左右逢源的解题效果.