基本不等式在求解最值、值域等方面有着重要的应用. 利用基本不等式时，关键在对已知条件的灵活变形，使问题出现积（或和）为定值，以便解决问题，现就常用技巧予以归纳.
　　
　　1. 加减常数
　　例1 求函数[y=x+1x-1(x≠1)]的值域.
　　解析 （1）当[x>1]时，有[x-1>0,1x-1>0]，
　　[y=x+1x-1]
　　[=(x-1)+1x-1+1≥2(x-1)⋅1x-1+1]
　　[=3].
　　当且仅当[x-1=1x-1]，即[x＝2]时，等号成立，此时[y]的最小值为3.
　　（2）当[x<1]时，[x-1<0,1x-1<0]，
　　所以[1-x>0,11-x>0]，
　　[y=x+1x-1=(x-1)+1x-1+1]
　　[=-[(1-x)+11-x]+1][≤-2(1-x)11-x+1]
　　[=-1].
　　当且仅当[1-x=11-x]，即[x＝0]时，等号成立，此时[y]的最大值为-1.
　　综上所述，函数的值域为[-∞,-1⋃3,+∞].
　　点拨 当各项符号不确定时，必须分类讨论，要保证代数式中的各项均为正.
　　
　　2. 巧变常数
　　例2 已知[0　　解析 方法一：[∵00].
　　[∴y=x(1-2x)=12⋅2x⋅(1-2x)]
　　[≤12[2x+(1-2x)2]2=18.]
　　当且仅当[x=14]时，等号成立.
　　方法二：[∵00]，
　　[∴y=x(1-2x)=2⋅x(12-x)]
　　[≤2[x+(12-x)2]2=18].
　　当且仅当[x=14]时，等号成立.
　　所以当[x=14]时，[y]的最大值为[18.]
　　点拨 形如[f(x)=x(1-ax)]或[f(x)=x2(1-ax2)]的函数可有两种变形方法：一是巧乘常数；二是巧提常数.
　　
　　3. 分离常数
　　例3 已知[x≥52]，则[f(x)=x2-3x+32x-4]有（ ）
　　A. 最大值[54] B. 最小值[54]
　　C. 最大值[32] D. 最小值[32]
　　分析 本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件.
　　解 [f(x)=x2-3x+32x-4]
　　[=(x-1)(x-2)+12(x-2)=12[(x-2)+1x-2+1]≥32]，
　　当且仅当[x-2=1x-2]，即[x＝3]时，函数有最小值[32]，故选D.
　　点拨 通过加减常数，分离出一个常数是分式函数求值域常用的方法，这里一定要加减好“常数”，以利于问题的解决.
　　
　　4. 活用常数
　　例4 若[x,y∈R+]且满足[4x+16y=1]，求[x＋y]的最小值.
　　解 由[x,y∈R+]且[4x+16y=1]得，
　　[x+y=(x+y)(4x+16y)][=4yx+16xy+20]
　　[≥24yx⋅16xy+20=36]，
　　当且仅当[4yx=16xy]时，即[x=12]且[y=24]时，等号成立.
　　所以[x＋y]的最小值是36.
　　点拨 通过配凑“1”并进行“1”的代换，整理后得到基本不等式的形式，减少了使用基本不等式的次数，有效地避免了等号不能同时取得的麻烦.
　　
　　5. 统一形式
　　例5 已知[a、b、c∈R+]，求[(a+b+c)(1a+b+1c)]的最小值.
　　解 [(a+b+c)(1a+b+1c)][=[(a+b)+c](1a+b+1c)][=2+ca+b+a+bc][≥2+2ca+b⋅a+bc=4]，
　　当且仅当[a＋b＝c]时，[(a+b+c)(1a+b+1c)]的最小值为4.
　　点评 根据分母的特点，将结构调整为统一的形式，这样便能快速求解. 含有根号的问题也要注意形式的统一（如求函数[y=x1-x2(0　　
　　练习
　　1. 求[y=x2+7x+10x+1(x>-1)]的值域.
　　2. 求函数[y=2x+1+5-2x(12　　3. 已知[0　　4. 设正数[x、 y]满足[x+4y=40]，求[lgx+lgy]的最大值.
　　
　　答案
　　1. [9,+∞]
　　2. [ymax=22]
　　3. [ymax=33]
　　4. 2