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一、子弹打木块模型
子弹和木块间一对摩擦力的冲量实现动量转移，满足动量守恒；一对摩擦力的功将系统的动能一部分转化为热能，满足能量守恒.
例1 装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击. 通过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因.
质量为[2m]、厚度为[2d]的钢板静止在水平光滑桌面上. 质量为[m]的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿. 现把钢板分成厚度均为[d]、质量均为[m]的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图1. 若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度. 设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞，不计重力影响.
解析 设子弹初速度为[v0]，射入厚度为[2d]的钢板后，最终钢板和子弹的共同速度为[V]，由子弹和木块组成的系统动量守恒，有
[(2m+m)V=mv0] ①
解得[V=13v0]
此过程中动能损失[ΔE=12mv20-12×3mV2]②
解得[ΔE=13mv20]
分成两块钢板后，设子弹穿过第一块钢板时两者的速度分别为[v1]和[V1]，由子弹和第一个木块组成的系统动量守恒，有[mv1+mV1=mv0] ③
因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，射穿第一块钢板的动能损失为[ΔE2=fd]，由能量守恒，有
[12mv21+12mV21=12mv20-ΔE2] ④
联立①②③④式，且考虑到[v1]必须大于[V1]，得
[v1=(12+36)v0] ⑤
设子弹射入第二块钢板并留在其中时,两者的共同速度为[V2]，由子弹和两木块的系统动量定恒，有
[2mV2=mv1] ⑥
损失的动能[ΔE=12mv21-12×2mV22] ⑦
联立①②⑤⑥⑦式，得
[ΔE=12(1+32)×ΔE2=fx] ⑧
二、完全非弹性碰撞模型
两物体碰撞时受到弹力的相互作用，满足动量守恒；碰后不能恢复原状，能量损失最大，这部分能量成为内能，以热的形式放出，满足能量守恒.
[图2] 例2 如图2，圆管构成的半圆形轨道竖直固定在水平地面上，轨道半径为[R，MN]为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球[A]以某一速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点[M]时，与静止于该处的质量与[A]相同的小球[B]发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距[N]为[2R]. 重力加速度为[g]，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：
（1）粘合后两球从飞出轨道到落地的时间[t]；
（2）小球[A]冲进轨道时速度[v]的大小.
解析 （1）粘合后两球飞出轨后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有[2R=12gt2]
解得[t=2Rg]
（2）设球[A]的质量为[m]，碰撞前速度大小为[v1]，设地面为零势能参考面，对[A]球从[N]点到[M]点的运动，由机械能守恒定律，有
[12mv2=12mv21+2mgR]
设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为[v2]，由两小球动量守恒定律，有[mv1=2mv2]
小球飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有[2R=v2t]
联立以上各式，解得[v=22gR]
三、弹簧模型
用弹簧连接的两物体借助弹簧的弹力发生相互作用，满足动量守恒；动能与弹性势能相互转化，满足机械能守恒.
例3 如图3，[A、B、C]三个木块的质量均为[m]. 置于光滑的水平面上，[B、C]之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触可不固连，将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把[B、C]紧连，该弹簧不能伸展，以至于[B、C]可视为一个整体，现[A]以初速[v0]沿[B、C]的连线方向朝[B]运动，与[B]相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使[C]与[A、B]分离，已知[C]离开弹簧后的速度恰为[v0]，求弹簧释放的势能.
[图3]
解析 设碰后[A、B、C]共同速度的大小为[v]，由动量守恒，有[3mv=mv0]
设[C]离开弹簧时，[A、B]的速度大小为[v1]，由动量守恒，有[3mv=2mv1+mv0]
设弹簧的弹性势能为[Ep],从细线断开到[C]与弹簧分开的过程中机械能守恒，有
[12(3m)v2+Ep=12(2m)v21+12mv20]
联立以上三式，得弹簧释放的势能[Ep=13mv20]
四、连接绳模型
用轻绳连接的两物体借助绳的张力发生相互作用，满足动量守恒；动能与重力弹性势能相互转化，满足机械能守恒.
例4 如图4，质量[M=2kg]的滑块套在光滑的水平轨道上，质量[m=1kg]的小球通过长[L=0.5m]的轻质细杆与滑块上的光滑轴[O]连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕[O]轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度[v0=4m/s]，[g]取10m/s2.
（1）若锁定滑块，求小球通过最高点[P]时对轻杆的作用力大小和方向；
（2）若解除对滑块的锁定，求小球通过最高点时的速度大小；
（3）在满足（2）的条件下，求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离.
解析 （1）设小球能通过最高点，且此时的速度为[v1]. 在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒，有[12mv21+mgL=12mv20]
解得[v1=6m/s]
设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为[F]，方向向下，有[F+mg=mv21L]
由以上两式，得[F=2N]
由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为[2N,]方向竖直向上.
（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为[v2]，此时滑块的速度为[V]. 在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒. 以水平向右的方向为正方向，有[mv2+MV=0]
在上升过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒，有[12mv22+12MV2+mgL=12mv20]
联立解得 [v2=2m/s]
（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为[s1]，滑块向左移动的距离为[s2]，任意时刻小球的水平速度大小为[v3]，滑块的速度大小为[V]. 由系统水平方向的动量守恒，得[mv3+MV=0]
将上式两边同乘以[Δt]，得[mv3Δt-MVΔt=0]
因上式对任意时刻附近的微小间隔[Δt]都成立，累积相加后，有[ms1-Ms2=0]
又[s1+s2=2L]
由以上两式，得[s1=23m]
子弹和木块间一对摩擦力的冲量实现动量转移，满足动量守恒；一对摩擦力的功将系统的动能一部分转化为热能，满足能量守恒.
例1 装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击. 通过对以下简化模型的计算可以粗略说明其原因.
质量为[2m]、厚度为[2d]的钢板静止在水平光滑桌面上. 质量为[m]的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿. 现把钢板分成厚度均为[d]、质量均为[m]的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图1. 若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度. 设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞，不计重力影响.
解析 设子弹初速度为[v0]，射入厚度为[2d]的钢板后，最终钢板和子弹的共同速度为[V]，由子弹和木块组成的系统动量守恒，有
[(2m+m)V=mv0] ①
解得[V=13v0]
此过程中动能损失[ΔE=12mv20-12×3mV2]②
解得[ΔE=13mv20]
分成两块钢板后，设子弹穿过第一块钢板时两者的速度分别为[v1]和[V1]，由子弹和第一个木块组成的系统动量守恒，有[mv1+mV1=mv0] ③
因为子弹在钢板中受到的阻力为恒力，射穿第一块钢板的动能损失为[ΔE2=fd]，由能量守恒，有
[12mv21+12mV21=12mv20-ΔE2] ④
联立①②③④式，且考虑到[v1]必须大于[V1]，得
[v1=(12+36)v0] ⑤
设子弹射入第二块钢板并留在其中时,两者的共同速度为[V2]，由子弹和两木块的系统动量定恒，有
[2mV2=mv1] ⑥
损失的动能[ΔE=12mv21-12×2mV22] ⑦
联立①②⑤⑥⑦式，得
[ΔE=12(1+32)×ΔE2=fx] ⑧
二、完全非弹性碰撞模型
两物体碰撞时受到弹力的相互作用，满足动量守恒；碰后不能恢复原状，能量损失最大，这部分能量成为内能，以热的形式放出，满足能量守恒.
[图2] 例2 如图2，圆管构成的半圆形轨道竖直固定在水平地面上，轨道半径为[R，MN]为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球[A]以某一速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点[M]时，与静止于该处的质量与[A]相同的小球[B]发生碰撞，碰后两球粘在一起飞出轨道，落地点距[N]为[2R]. 重力加速度为[g]，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：
（1）粘合后两球从飞出轨道到落地的时间[t]；
（2）小球[A]冲进轨道时速度[v]的大小.
解析 （1）粘合后两球飞出轨后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有[2R=12gt2]
解得[t=2Rg]
（2）设球[A]的质量为[m]，碰撞前速度大小为[v1]，设地面为零势能参考面，对[A]球从[N]点到[M]点的运动，由机械能守恒定律，有
[12mv2=12mv21+2mgR]
设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为[v2]，由两小球动量守恒定律，有[mv1=2mv2]
小球飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有[2R=v2t]
联立以上各式，解得[v=22gR]
三、弹簧模型
用弹簧连接的两物体借助弹簧的弹力发生相互作用，满足动量守恒；动能与弹性势能相互转化，满足机械能守恒.
例3 如图3，[A、B、C]三个木块的质量均为[m]. 置于光滑的水平面上，[B、C]之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触可不固连，将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把[B、C]紧连，该弹簧不能伸展，以至于[B、C]可视为一个整体，现[A]以初速[v0]沿[B、C]的连线方向朝[B]运动，与[B]相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使[C]与[A、B]分离，已知[C]离开弹簧后的速度恰为[v0]，求弹簧释放的势能.
[图3]
解析 设碰后[A、B、C]共同速度的大小为[v]，由动量守恒，有[3mv=mv0]
设[C]离开弹簧时，[A、B]的速度大小为[v1]，由动量守恒，有[3mv=2mv1+mv0]
设弹簧的弹性势能为[Ep],从细线断开到[C]与弹簧分开的过程中机械能守恒，有
[12(3m)v2+Ep=12(2m)v21+12mv20]
联立以上三式，得弹簧释放的势能[Ep=13mv20]
四、连接绳模型
用轻绳连接的两物体借助绳的张力发生相互作用，满足动量守恒；动能与重力弹性势能相互转化，满足机械能守恒.
例4 如图4，质量[M=2kg]的滑块套在光滑的水平轨道上，质量[m=1kg]的小球通过长[L=0.5m]的轻质细杆与滑块上的光滑轴[O]连接，小球和轻杆可在竖直平面内绕[O]轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度[v0=4m/s]，[g]取10m/s2.
（1）若锁定滑块，求小球通过最高点[P]时对轻杆的作用力大小和方向；
（2）若解除对滑块的锁定，求小球通过最高点时的速度大小；
（3）在满足（2）的条件下，求小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离.
解析 （1）设小球能通过最高点，且此时的速度为[v1]. 在上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒，有[12mv21+mgL=12mv20]
解得[v1=6m/s]
设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为[F]，方向向下，有[F+mg=mv21L]
由以上两式，得[F=2N]
由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为[2N,]方向竖直向上.
（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为[v2]，此时滑块的速度为[V]. 在上升过程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒. 以水平向右的方向为正方向，有[mv2+MV=0]
在上升过程中，只有重力做功，系统的机械能守恒，有[12mv22+12MV2+mgL=12mv20]
联立解得 [v2=2m/s]
（3）设小球击中滑块右侧轨道的位置点与小球起始点的距离为[s1]，滑块向左移动的距离为[s2]，任意时刻小球的水平速度大小为[v3]，滑块的速度大小为[V]. 由系统水平方向的动量守恒，得[mv3+MV=0]
将上式两边同乘以[Δt]，得[mv3Δt-MVΔt=0]
因上式对任意时刻附近的微小间隔[Δt]都成立，累积相加后，有[ms1-Ms2=0]
又[s1+s2=2L]
由以上两式，得[s1=23m]