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【摘要】常微分方程是数学专业开设的一门基础课程，有着广泛的应用，是数学理论联系实际的一个重要桥梁。现行教学模式沿用了传统的听讲教学方法，忽略了教学过程中师生的交流，限制了学生应用能力的培养，已不能适应社会发展对应用型人才的需要。研究常微分课程中应用能力的培养问题迫在眉睫。本文通过对常微分方程课程教育现状和应用能力进行分析，提出了结合实际应用；利用计算机辅助学习；整合课本内容，让学生对知识有整体掌握；利用现代教学手段，提高教学效果；授课过程中注意引导学生进行思考；改革考核方法，加强对学生学习效果检测等解决途径。
【关键词】常微分方程 应用能力 改革方法
【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10 -0182-02
1 常微分方程课程教学现状
常微分方程是大学本科数学专业的一门专业基础课，是基础数学的一个重要内容，有着广泛的应用，是数学理论联系实际的一个重要组成部分。它是众多精确社会科学、自然科学中表述基本定律和各种问题的基本工具之一；从诞生之日起，它日益成为人类认识自然、改造自然的有力工具；自动控制、电子技术、力学、生物学、海洋学、经济学等各个学科的科研人员都把它作为必需的研究工具。常微分方程为后续课程的学习起着铺垫作用，它是学习偏微分方程、微分几何等相关课程的基础；它所体现的数学分析思想、逻辑推理方法以及处理问题的技巧，在整个大学数学学习中都起着奠基作用；常微分方程模型是数学建模的重要内容之一，也是部分硕士研究生入学复试的笔试内容。因此，伴随着数学在现代社会中的作用和地位的不断提高，常微分方程课程也越来越受到重视。
现实中，常微分方程课程教学略显枯燥，部分学生不愿意学，即便掌握了充足的理论，也缺少解决问题的能力。随着教学改革的不断深入，专业课程的课时相对减少，内容却相对增加，这对常微分方程教学有不小的负面影响。由于高校扩招，使得学生整体素质下降，部分学生接受新知识的能力下降，再加上受一些不正确思想的误导，学生的学习主动性不足、积极性不高、知识融会贯通的能力较差。教师对教学内容的处理不够得当，忽视了相关课程知识间的联系，教学方式和教学手段的使用不够恰当，不能调动学生主动探究知识、获取知识、分析问题、解决问题的积极性，同时也忽略了学生能力、素质的培养。教学中缺乏数学思想方法的渗透，不利于学生创新意识及应用能力的培养和提高。
应用人才培养已成为国家人才培养战略的重点之一。数学系在课程教学中如何培养学生的应用能力是一个紧迫而必须回答好的问题。数学系，具有自己的课程特点和培养目标，学生应该具有独特的应用能力。
1. 通过数学模型解决实际问题的能力。数学是一门工具学科，除了使这一工具更加有力之外，重要的是使用这一工具去解决实际问题。数学在物理、生物、经济、环境等方面已经有了很多的应用分支。学生应该具有数学建模的能力，对相关其他专业知识了解之后，可以迅速建立数学模型，运用数学理论进行分析或数值模拟，给出解决方案。
2. 运用数学软件解决实际问题的能力。随着计算机的发展，很多问题都可以借助计算机加以解决，对较复杂的问题需要使用专业软件，并需要进行适当的程序设计。数学系的学生要掌握较专业的数学软件，熟悉程序设计，对一些实际问题可以编写适当的程序利用数学软件迅速解决。
3. 传授数学知识的能力。除了口语、板书、课件设计与制作、课堂组织等教师的基本能力之外，还要熟悉专业知识的脉络，了解学习中的思维过程，据此设计出合理的教学方案并实施。
常微分方程作为数学系的基础课程，具有很强的应用性，所以责无旁贷的要在教学中培养学生的应用能力。高校课程改革正风起云涌，人们正改变传统的授课方式，积极探索科学、高效、目的明确的授课方式。四川大学的张伟年把教学内容和重点同当今微分方程发展主流及非线性科学飞速发展实际相结合，同时实行双语教学，多媒体教学等，努力培养学生的创新意识和能力[1]。张红雷从教学内容、教学方法和加强学生创新能力的培养等方面，探索常微分方程课程的教学改革[2]。储亚伟等从教学观念、内容、方法、手段等方面探讨了常微分方程课程的改革[3]。钟秀蓉在分析常微分方程课程对自动化专业学生的重要性的基础上，结合目前常微分方程的教学改革现状，提出“两重”和“四原则”的思想[4]。蓝师义提出了教学内容与教学方法改革的一些设想和建议，以促进大学生独立思考能力和创新能力的培养，提高课堂教学质量[5]。方辉平以建模的思想作为切入点，在常微分方程的教学内容、方法和手段上进行了探索和改革[6]。程国华把常微分方程分成若干模块，将数学实验、建模思想和方法融入常微分方程教学[7]。
如何学习常微分方程这门课程，如何提高课堂教学质量，如何激发学生的学习兴趣，如何提高学生的应用能力，如何促进学生基本数学素养的形成和提高是每位任课教师都应思考的问题。
2 常微分课程中应用能力的培养
2.1 结合实际应用
在讲授常微分方程的过程中，教师应引入一些实际问题，多介绍一些微分方程的来源与应用背景，让学生认识到微分方程的重要性及其广泛的应用性，感受到常微分方程的魅力，培养学生学习常微分方程的兴趣和信心。这样，既巩固了课堂的理论知识，降低了理论讲解的枯燥性，提高了学生的学习兴趣，又增强了学生的应用能力。
在常微分方程课程中可以引入传染病模型，分析其变化规律。设时刻t的健康人数为y（t），染病人数为x（t）。假设传染病传播期间总人数不变，设为n，则有x（t）+y（t）=n。在单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，设比例常数为k，称为传染系数。于是
=ky（t）xt
或
=kx（n-x）
这个模型称为SI模型，是伯努利方程，可以解出这个方程并通过它的解分析疾病的流行规律。这样不仅开阔了学生的视野，还让学生经历了用所学知识解决实际问题的过程，激发学生的学习兴趣。 类似的，针对我国2011年进行的人口普查，可以引入Malthus模型、Logistic模型等人口模型预测人口的发展趋势；针对2008年SARS的传播可以引入适当的模型，并结合实际数据，分析疾病的流行动态。
2.2 利用计算机辅助学习
随着计算机的发展，产生了很多数学软件，如Mathematica、MATLAB、Maple等，可以利用这些软件辅助常微分方程的学习。一方面通过数值计算和绘图迅速了解或探讨某些常微分方程的性态；另一方面应用软件中符号计算功能可直接求解某些常微分方程。
Mathematica语言中，符号运算、数值计算及图形绘制均有特色，特别是输入显示界面可以直接输入及显示人们习惯的数学符号，非常直观。
如可按下面的过程求方程组 基解矩阵：
A={{2，1} {0，2}} 建立矩阵A；
Eigensystem[A] 求矩阵的特征值、特征向量；
Exp[A*t] 得到基解矩阵。
再如，常微分方程 可如下求解：
DSolve 。
此外，Mathematica语言在向量场、等高线、微分方程数值解及作图、拉普拉斯变换等问题上都可以很方便应用。
2.3 整合课本内容，让学生对知识有整体掌握
不要拘泥于教材的内容，可以从课外找出相应问题作为例题，这样会扩大学生的知识范围，吸引学生的注意力，培养学习兴趣和应用能力。
对教材中的一些内容进行归纳总结，例如，由于高阶微分方程与线性微分方程组在可解的意义下是等价的，可以把高阶线性微分方程解的存在唯一性定理及其基本理论与一阶线性微分方程组的相应内容放到一起，它们解的结构及其性质也基本相同。经过对比讲解可以指出它们的异同，站在更高处审视所学的知识，这样这部分内容能较容易地被学生掌握，同时还能解决学时少，课堂效率低的问题。
可以以解决实际问题为主线，引导学生建立学习团队，通过自身或团队开展发掘、调查、访问、资料收集、操作等多样的学习活动，分析、解决问题，以培养和提高学生的应用和创新能力。
2.4 利用现代教学手段，提高教学效果
随着科技的发展，各种现代教育技术异彩纷呈。作为现代教育技术典型代表的多媒体辅助教学，有利于提高课堂的教学效率和教学质量。但多媒体教学也有操作速度快、学生反映跟不上等弊端。对于常微分方程教学，在传授知识的同时，不可缺少的是严谨的推理过程，推理的每一步都是对学生思维的训练过程，如果把内容一股脑地全显示出来，这很难给人留下深刻印象，简化了学生对知识的思维过程，抑制了学生的思维能力，效果较差。因此，为了提高教学效果，教师可将板书和多媒体结合使用，在需要推导的时候使用板书，对只需要展示的内容可事先做好课件。
通过建设课程网站，建立个人主页、建立课程邮箱、设立网上讨论区等方式，打破传统的师生之间教与学的关系，增加学生主动学习的机会，建立平等讨论、互相促进的关系，开拓出新的教学空间。
2.5 授课过程中注意引导学生进行思考
教师应该授之以渔而非授之以鱼。在常微分方程的教学过程中，教学工作是教会“如何把未知问题归结为已知问题求解”的思想和方法，引导学生如何由已知探求未知知识，培养他们认识问题、理解问题、解决问题的能力，同时他们也会领会知识的整体体系，达到融会贯通的目的。
2.6 改革考核方法，加强对学生学习效果检测
考试是教学过程中的重要环节，是检验学生学习情况，评价教学质量的手段。现行的闭卷考察方式更多考察的是记忆能力、知识本身、理论基础而忽略了理解能力、智力因素、实践能力，存在着弊端。选择什么样的考核方式对教学具有重要影响。常微分方程课程的考核可采取N+1的考核方式，可将常微分方程的考核分为平时到课率、期中考试成绩、上机考试（如实验设计能力的考核、计算机数学软件使用等的考核），再加上期末理论考试成绩。分别设置不同的权重，取综合成绩。这种考核方式，除了让学生掌握课本的理论知识外，还注重学生平时各方面的表现以及各种能力的训练，有利于应用型人才的培养。
参考文献：
[1] 张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践.高等理科教育.2003（1）
[2] 张红雷.信息与计算科学专业常微分方程教学改革初探.徐州教育学院学报.2008（1）
[3] 储亚伟，朱茱.高师本科常微分方程教学改革的探究.阜阳师范学院学报（自然科学版）.2008（3）
[4] 钟秀蓉.本科自动化专业常微分方程教学之改革与实践.内江科技.2009（4）
[5] 蓝师义.常微分方程教学改革的探索.广西民族大学学报（自然科学版）.2009（3）
[6] 方辉平.常微分方程教学改革与实践.滁州学院学报.2010（2）
[7] 程国华.数学建模融入常微分方程教学的研究.科教文汇.2010 （12下旬）
基金项目：运城学院教学综合改革项目，项目名称："常微分方程教学中学生应用能力的培养"（课题编号：JG201203），主持人：刘汉武。
【关键词】常微分方程 应用能力 改革方法
【中图分类号】G642.0 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）10 -0182-02
1 常微分方程课程教学现状
常微分方程是大学本科数学专业的一门专业基础课，是基础数学的一个重要内容，有着广泛的应用，是数学理论联系实际的一个重要组成部分。它是众多精确社会科学、自然科学中表述基本定律和各种问题的基本工具之一；从诞生之日起，它日益成为人类认识自然、改造自然的有力工具；自动控制、电子技术、力学、生物学、海洋学、经济学等各个学科的科研人员都把它作为必需的研究工具。常微分方程为后续课程的学习起着铺垫作用，它是学习偏微分方程、微分几何等相关课程的基础；它所体现的数学分析思想、逻辑推理方法以及处理问题的技巧，在整个大学数学学习中都起着奠基作用；常微分方程模型是数学建模的重要内容之一，也是部分硕士研究生入学复试的笔试内容。因此，伴随着数学在现代社会中的作用和地位的不断提高，常微分方程课程也越来越受到重视。
现实中，常微分方程课程教学略显枯燥，部分学生不愿意学，即便掌握了充足的理论，也缺少解决问题的能力。随着教学改革的不断深入，专业课程的课时相对减少，内容却相对增加，这对常微分方程教学有不小的负面影响。由于高校扩招，使得学生整体素质下降，部分学生接受新知识的能力下降，再加上受一些不正确思想的误导，学生的学习主动性不足、积极性不高、知识融会贯通的能力较差。教师对教学内容的处理不够得当，忽视了相关课程知识间的联系，教学方式和教学手段的使用不够恰当，不能调动学生主动探究知识、获取知识、分析问题、解决问题的积极性，同时也忽略了学生能力、素质的培养。教学中缺乏数学思想方法的渗透，不利于学生创新意识及应用能力的培养和提高。
应用人才培养已成为国家人才培养战略的重点之一。数学系在课程教学中如何培养学生的应用能力是一个紧迫而必须回答好的问题。数学系，具有自己的课程特点和培养目标，学生应该具有独特的应用能力。
1. 通过数学模型解决实际问题的能力。数学是一门工具学科，除了使这一工具更加有力之外，重要的是使用这一工具去解决实际问题。数学在物理、生物、经济、环境等方面已经有了很多的应用分支。学生应该具有数学建模的能力，对相关其他专业知识了解之后，可以迅速建立数学模型，运用数学理论进行分析或数值模拟，给出解决方案。
2. 运用数学软件解决实际问题的能力。随着计算机的发展，很多问题都可以借助计算机加以解决，对较复杂的问题需要使用专业软件，并需要进行适当的程序设计。数学系的学生要掌握较专业的数学软件，熟悉程序设计，对一些实际问题可以编写适当的程序利用数学软件迅速解决。
3. 传授数学知识的能力。除了口语、板书、课件设计与制作、课堂组织等教师的基本能力之外，还要熟悉专业知识的脉络，了解学习中的思维过程，据此设计出合理的教学方案并实施。
常微分方程作为数学系的基础课程，具有很强的应用性，所以责无旁贷的要在教学中培养学生的应用能力。高校课程改革正风起云涌，人们正改变传统的授课方式，积极探索科学、高效、目的明确的授课方式。四川大学的张伟年把教学内容和重点同当今微分方程发展主流及非线性科学飞速发展实际相结合，同时实行双语教学，多媒体教学等，努力培养学生的创新意识和能力[1]。张红雷从教学内容、教学方法和加强学生创新能力的培养等方面，探索常微分方程课程的教学改革[2]。储亚伟等从教学观念、内容、方法、手段等方面探讨了常微分方程课程的改革[3]。钟秀蓉在分析常微分方程课程对自动化专业学生的重要性的基础上，结合目前常微分方程的教学改革现状，提出“两重”和“四原则”的思想[4]。蓝师义提出了教学内容与教学方法改革的一些设想和建议，以促进大学生独立思考能力和创新能力的培养，提高课堂教学质量[5]。方辉平以建模的思想作为切入点，在常微分方程的教学内容、方法和手段上进行了探索和改革[6]。程国华把常微分方程分成若干模块，将数学实验、建模思想和方法融入常微分方程教学[7]。
如何学习常微分方程这门课程，如何提高课堂教学质量，如何激发学生的学习兴趣，如何提高学生的应用能力，如何促进学生基本数学素养的形成和提高是每位任课教师都应思考的问题。
2 常微分课程中应用能力的培养
2.1 结合实际应用
在讲授常微分方程的过程中，教师应引入一些实际问题，多介绍一些微分方程的来源与应用背景，让学生认识到微分方程的重要性及其广泛的应用性，感受到常微分方程的魅力，培养学生学习常微分方程的兴趣和信心。这样，既巩固了课堂的理论知识，降低了理论讲解的枯燥性，提高了学生的学习兴趣，又增强了学生的应用能力。
在常微分方程课程中可以引入传染病模型，分析其变化规律。设时刻t的健康人数为y（t），染病人数为x（t）。假设传染病传播期间总人数不变，设为n，则有x（t）+y（t）=n。在单位时间内一个病人能传染的人数与当时的健康人数成正比，设比例常数为k，称为传染系数。于是
=ky（t）xt
或
=kx（n-x）
这个模型称为SI模型，是伯努利方程，可以解出这个方程并通过它的解分析疾病的流行规律。这样不仅开阔了学生的视野，还让学生经历了用所学知识解决实际问题的过程，激发学生的学习兴趣。 类似的，针对我国2011年进行的人口普查，可以引入Malthus模型、Logistic模型等人口模型预测人口的发展趋势；针对2008年SARS的传播可以引入适当的模型，并结合实际数据，分析疾病的流行动态。
2.2 利用计算机辅助学习
随着计算机的发展，产生了很多数学软件，如Mathematica、MATLAB、Maple等，可以利用这些软件辅助常微分方程的学习。一方面通过数值计算和绘图迅速了解或探讨某些常微分方程的性态；另一方面应用软件中符号计算功能可直接求解某些常微分方程。
Mathematica语言中，符号运算、数值计算及图形绘制均有特色，特别是输入显示界面可以直接输入及显示人们习惯的数学符号，非常直观。
如可按下面的过程求方程组 基解矩阵：
A={{2，1} {0，2}} 建立矩阵A；
Eigensystem[A] 求矩阵的特征值、特征向量；
Exp[A*t] 得到基解矩阵。
再如，常微分方程 可如下求解：
DSolve 。
此外，Mathematica语言在向量场、等高线、微分方程数值解及作图、拉普拉斯变换等问题上都可以很方便应用。
2.3 整合课本内容，让学生对知识有整体掌握
不要拘泥于教材的内容，可以从课外找出相应问题作为例题，这样会扩大学生的知识范围，吸引学生的注意力，培养学习兴趣和应用能力。
对教材中的一些内容进行归纳总结，例如，由于高阶微分方程与线性微分方程组在可解的意义下是等价的，可以把高阶线性微分方程解的存在唯一性定理及其基本理论与一阶线性微分方程组的相应内容放到一起，它们解的结构及其性质也基本相同。经过对比讲解可以指出它们的异同，站在更高处审视所学的知识，这样这部分内容能较容易地被学生掌握，同时还能解决学时少，课堂效率低的问题。
可以以解决实际问题为主线，引导学生建立学习团队，通过自身或团队开展发掘、调查、访问、资料收集、操作等多样的学习活动，分析、解决问题，以培养和提高学生的应用和创新能力。
2.4 利用现代教学手段，提高教学效果
随着科技的发展，各种现代教育技术异彩纷呈。作为现代教育技术典型代表的多媒体辅助教学，有利于提高课堂的教学效率和教学质量。但多媒体教学也有操作速度快、学生反映跟不上等弊端。对于常微分方程教学，在传授知识的同时，不可缺少的是严谨的推理过程，推理的每一步都是对学生思维的训练过程，如果把内容一股脑地全显示出来，这很难给人留下深刻印象，简化了学生对知识的思维过程，抑制了学生的思维能力，效果较差。因此，为了提高教学效果，教师可将板书和多媒体结合使用，在需要推导的时候使用板书，对只需要展示的内容可事先做好课件。
通过建设课程网站，建立个人主页、建立课程邮箱、设立网上讨论区等方式，打破传统的师生之间教与学的关系，增加学生主动学习的机会，建立平等讨论、互相促进的关系，开拓出新的教学空间。
2.5 授课过程中注意引导学生进行思考
教师应该授之以渔而非授之以鱼。在常微分方程的教学过程中，教学工作是教会“如何把未知问题归结为已知问题求解”的思想和方法，引导学生如何由已知探求未知知识，培养他们认识问题、理解问题、解决问题的能力，同时他们也会领会知识的整体体系，达到融会贯通的目的。
2.6 改革考核方法，加强对学生学习效果检测
考试是教学过程中的重要环节，是检验学生学习情况，评价教学质量的手段。现行的闭卷考察方式更多考察的是记忆能力、知识本身、理论基础而忽略了理解能力、智力因素、实践能力，存在着弊端。选择什么样的考核方式对教学具有重要影响。常微分方程课程的考核可采取N+1的考核方式，可将常微分方程的考核分为平时到课率、期中考试成绩、上机考试（如实验设计能力的考核、计算机数学软件使用等的考核），再加上期末理论考试成绩。分别设置不同的权重，取综合成绩。这种考核方式，除了让学生掌握课本的理论知识外，还注重学生平时各方面的表现以及各种能力的训练，有利于应用型人才的培养。
参考文献：
[1] 张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践.高等理科教育.2003（1）
[2] 张红雷.信息与计算科学专业常微分方程教学改革初探.徐州教育学院学报.2008（1）
[3] 储亚伟，朱茱.高师本科常微分方程教学改革的探究.阜阳师范学院学报（自然科学版）.2008（3）
[4] 钟秀蓉.本科自动化专业常微分方程教学之改革与实践.内江科技.2009（4）
[5] 蓝师义.常微分方程教学改革的探索.广西民族大学学报（自然科学版）.2009（3）
[6] 方辉平.常微分方程教学改革与实践.滁州学院学报.2010（2）
[7] 程国华.数学建模融入常微分方程教学的研究.科教文汇.2010 （12下旬）
基金项目：运城学院教学综合改革项目，项目名称："常微分方程教学中学生应用能力的培养"（课题编号：JG201203），主持人：刘汉武。