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【摘 要】计算教学是“数与代数”领域内的重要组成部分，并且贯穿于整个小学阶段的数学学习。因此在计算教学中通过有效的活动体验，加深学生对于计算模型的意义理解，促进知识概念的整体建构和运算能力的发展，显得尤为重要和迫切。以“有余数的除法”一课教学为例，教师可以尝试以数学活动操作为抓手，强化“有余数除法”计算模型整体建构，以求有所突破。
【关键词】操作 对比 理解建构 有余数的除法
人教版数学教材二年级下册的“有余数的除法”是表内除法知识的延伸和拓展。鉴于有余数的除法与表内除法的这种密切联系，以及考虑到通过操作和对比更有利于学生对这部分内容的理解，修订后的教材将本单元从三年级上册调整到了二年级下册。教材安排了表内除法与有余数的除法的含义、余数和除法的关系、有余数的除法竖式和表内除法的竖式、试商和解决问题五课时。“有余数的除法”作为除法笔算的起始课，理解除法算式中各数的意义是这一内容学习的前提。
一、注重操作，促进学生对知识的理解
动手操作是帮助学生学习数学、理解数学的一种简便易行的方法，这是这个单元教学的重要支撑。教材中的例1对余数概念的理解、对有余数的除法含义的理解，都是借助操作来进行的，由直观操作到符号表征，使学生从多方面、多角度理解所要学习的知识。
根据二年级学生的认知能力、自学能力等特点，进行操作实验时，离不开教师的指导，课堂教学中要遵循有序性的原则。此外，学生在实际生活中对“有余数除法”会有一些感性的认识和经验，但缺乏清晰的概念认识。因此，教学时要有意识地联系学生已有的知识和经验，来沟通有余数除法和表内除法的关系，在具体情境中感知“有余数的除法”的意义。
（一）微课视频中的操作，激活前认知
【教学片段1】
师：我们之前经常会用小棒（PPT出示）帮助我们开展学习活动，今天我们又会用小棒来做点什么呢？请仔细看大屏幕！
视频1：（有8根小棒，每4根搭1个“□”）学生操作。
视频2：（有9根小棒，每4根搭1个“□”）学生操作。
播放结束，画面定格，变成一张PPT。
学生在学习表内除法时，教材通过直观图和文字，已呈现了平均分的过程，课堂教学中教师让学生借助学具平均分一分、摆一摆，或者在图中连一连、圈一圈，从动作表征和表象表征开始，使学生积累了丰富的平均分的活动经验；进而组织学生用语言表述自己的操作过程，再写出相应的算式，最后让学生说说算式表示的意思。学生经历了“学习除法”的全过程，在此基础上学习“有余数的除法”，借助微视频动态地记录下学生“用8根小棒摆正方形，刚好摆完”和“9根小棒摆正方形，有剩余”的过程，不仅能激活学生的前认知，而且能让学生关注到摆的结果，避免了实物操作过程中的无关因素的干扰。
（二）问题解决中的操作，圈画后理解
【教学片段2】等分与包含，多种表征促理解
圈一圈，画一画：
（1）9支铅笔，每人分2支，可以分给（ ）人，还剩（ ）支。
9÷2=□（人）……□（支）
（2）9支铅笔，平均分给4人，分一分，把分的结果画出来。
每人分得（ ）支，还剩（ ）支。
9÷4=□（人）……□（支）
做完后请学生自己上来讲一讲：对应着图说一说算式中每个数表示的意义。
该练习是先用语言描述操作要求，再让学生圈、画、填，最后用除法算式表示。即多种表征形式相互映衬，帮助学生理解余数及有余数的除法的含义，并学会确定商和余数的名数。且此题涵盖了平均分的两种情况（包含和等分），除继续巩固相关知识外，可使学生进一步体会在有余数的除法中，商和余数的名数什么时候相同（等分），什么时候不同（包含）。
【教学片段3】包含中开放，助理解除法本质
一共有18个彩球，请你任选一种盒子来装彩球，可以装满几盒？
学生可能会有三种不同的结果：
18÷5=3（盒）……3（个） 装满3盒，剩余3个；
18÷6=3（盒） 装满3盒，没有剩余；
18÷7=2（盒）……4（个） 装满2盒，剩余4个。
此题以学生生活中熟悉的“分彩球”为素材，利用平均分中的“包含”的情况，帮助学生进一步理解余数及有余数的除法的含义。在装18个彩球时，有三种不同的包装盒（5个/盒、6个/盒、7个/盒），在编排上体现了开放性，学生可以任选一种装法圈一圈并列出算式。同时，这道题也将有余数的除法的不同表征形式放在一起，利于学生理解，进一步感受商和余数的名数的不同。
本课练习设计中充分关注到了有余数除法多种表征方式的转换。每题都是根据文字的意思先进行操作，然后把操作的结果填在括号中，最后完成有余数除法的横式书写，让学生边圈（边分）边说边写，使学生充分感受到操作、文字、横式所表达意义的统一，理解除法的本质。
二、通过对比，助推有余除模型的建构
数学概念教学的根本任务就是正确揭示概念的内涵和外延。对于“有余数除法”的概念，不仅要准确地解释它的内涵，而且要挖掘它的外延，使学生对概念的理解逐步完善。“有余数的除法”不仅是表内除法知识的延伸和拓展，也是今后继续学习一位数除多位数等除法的重要基础。这部分知识的学习具有承上启下的作用，因此教学时需要不断将有余数的除法与刚学习的表内除法的两种情况对比呈现，使学生体会有余数的除法与表内除法的关系，为建构起合理的除法知识结构网络提供支撑点。
（一）表征形式中的对比，由表及里
【教学片段4】
师：刚才的视频，你看懂了吗？两次分小棒，哪里不一样呢？
活动要求：请你在学习单上，通过画一画、列一列、写一写的方式，把刚才分的过程和结果通过文字或者符号表示出来。 反馈学生作品：
（1）8根小棒摆正方形。
实物投影学生的作品：□□ 8÷4=2（个）
（2）9根小棒摆正方形。
实物投影学生的作品：□□丨 2×4 1=9（根） 9÷4=2 …… 1
师：刚才同学们有的用了画图的方法，有的用了2×4 1=9（根）这样的算式，还有的同学用了除法算式，其实都想要表达9里面有几个4。
几何直观是《课标（2011年版）》提出的十大核心概念之一，和除法有关的例题教学都是建立在直观的基础上的。教学时教师要充分运用直观和算式的对比，帮助学生理解余数及有余数的除法的含义。在实际教学过程中，学生学习除法经历如下图的表征过程，这种表征是单向的，有去无回的，学生只经历了由具体到抽象的过程。通过对比，沟通操作过程、语言表达、算式之间的转换，使学生明白它们的意思是一样的，只是表达形式不同，促使学生进一步理解除数、商和余数的名数的确定。
本课除了在探究新知这个环节通过对比唤起学生已有的知识经验，加深学生对有余数的除法的理解外，还在探索余数与除数的关系时，也采用了对比的方法，帮助学生感受在平均分物的过程中的两种情况，以及剩余部分的可能性。
（二）平均分物中的对比，拾级而上
【教学片段5】
师：刚才我们通过画图、列式的方法把摆小棒的过程清楚地表示出来，如果有10根小棒，能摆几个正方形又余几根呢？
板书：10÷4=2（个）……2（根）
师：大家发现了吗？原来余数也会随着根数变化而有所变化，再加1根呢？
板书：11÷4=2（个）……3（根）
师：继续加1根，会怎么样？你们先想一想，再写写看。
生：12÷4=2（个）……4（根）
12÷4=3（个）
师：这两个算式到底哪一个是正确的呢？
生：余数不能为4，因为4根又可以变成1个“□”了，就“没有”余数了。所以应该是12÷4=3（个）。
教师把算式写到8÷4=2（个）的下面。
师：如果有13根小棒， 再往下想，14根呢？（余2根）15根呢？（余3根）那16根呢？（没有余数，正好摆4个“□”）。
师：仔细观察这些算式及算式中的余数，你发现了什么？
生：余数要小于除数。
教师用板书记录下除法的两种不同的分类，让学生感受到“分到不能再分一份”或“不够每份再分一个”所剩下的是“余数”。教学中，始终将“有余数的除法”放在“平均分”这个大背景下，将平均分中“恰好分完”“分后有剩余”这两种不同的结果进行对比，不仅帮助学生建构起合理的知识结构网络，而且还培养了学生分析、比较、归纳的能力。
总的来说，要落实《课标（2011年版）》提出的运算能力培养目标，教师在运算概念教学时就要充分利用学生原有的知识经验和活动经验，通过操作、比较等数学活动，让学生理解四则运算的基本概念，以实现学习主体能力的全面提升。
【关键词】操作 对比 理解建构 有余数的除法
人教版数学教材二年级下册的“有余数的除法”是表内除法知识的延伸和拓展。鉴于有余数的除法与表内除法的这种密切联系，以及考虑到通过操作和对比更有利于学生对这部分内容的理解，修订后的教材将本单元从三年级上册调整到了二年级下册。教材安排了表内除法与有余数的除法的含义、余数和除法的关系、有余数的除法竖式和表内除法的竖式、试商和解决问题五课时。“有余数的除法”作为除法笔算的起始课，理解除法算式中各数的意义是这一内容学习的前提。
一、注重操作，促进学生对知识的理解
动手操作是帮助学生学习数学、理解数学的一种简便易行的方法，这是这个单元教学的重要支撑。教材中的例1对余数概念的理解、对有余数的除法含义的理解，都是借助操作来进行的，由直观操作到符号表征，使学生从多方面、多角度理解所要学习的知识。
根据二年级学生的认知能力、自学能力等特点，进行操作实验时，离不开教师的指导，课堂教学中要遵循有序性的原则。此外，学生在实际生活中对“有余数除法”会有一些感性的认识和经验，但缺乏清晰的概念认识。因此，教学时要有意识地联系学生已有的知识和经验，来沟通有余数除法和表内除法的关系，在具体情境中感知“有余数的除法”的意义。
（一）微课视频中的操作，激活前认知
【教学片段1】
师：我们之前经常会用小棒（PPT出示）帮助我们开展学习活动，今天我们又会用小棒来做点什么呢？请仔细看大屏幕！
视频1：（有8根小棒，每4根搭1个“□”）学生操作。
视频2：（有9根小棒，每4根搭1个“□”）学生操作。
播放结束，画面定格，变成一张PPT。
学生在学习表内除法时，教材通过直观图和文字，已呈现了平均分的过程，课堂教学中教师让学生借助学具平均分一分、摆一摆，或者在图中连一连、圈一圈，从动作表征和表象表征开始，使学生积累了丰富的平均分的活动经验；进而组织学生用语言表述自己的操作过程，再写出相应的算式，最后让学生说说算式表示的意思。学生经历了“学习除法”的全过程，在此基础上学习“有余数的除法”，借助微视频动态地记录下学生“用8根小棒摆正方形，刚好摆完”和“9根小棒摆正方形，有剩余”的过程，不仅能激活学生的前认知，而且能让学生关注到摆的结果，避免了实物操作过程中的无关因素的干扰。
（二）问题解决中的操作，圈画后理解
【教学片段2】等分与包含，多种表征促理解
圈一圈，画一画：
（1）9支铅笔，每人分2支，可以分给（ ）人，还剩（ ）支。
9÷2=□（人）……□（支）
（2）9支铅笔，平均分给4人，分一分，把分的结果画出来。
每人分得（ ）支，还剩（ ）支。
9÷4=□（人）……□（支）
做完后请学生自己上来讲一讲：对应着图说一说算式中每个数表示的意义。
该练习是先用语言描述操作要求，再让学生圈、画、填，最后用除法算式表示。即多种表征形式相互映衬，帮助学生理解余数及有余数的除法的含义，并学会确定商和余数的名数。且此题涵盖了平均分的两种情况（包含和等分），除继续巩固相关知识外，可使学生进一步体会在有余数的除法中，商和余数的名数什么时候相同（等分），什么时候不同（包含）。
【教学片段3】包含中开放，助理解除法本质
一共有18个彩球，请你任选一种盒子来装彩球，可以装满几盒？
学生可能会有三种不同的结果：
18÷5=3（盒）……3（个） 装满3盒，剩余3个；
18÷6=3（盒） 装满3盒，没有剩余；
18÷7=2（盒）……4（个） 装满2盒，剩余4个。
此题以学生生活中熟悉的“分彩球”为素材，利用平均分中的“包含”的情况，帮助学生进一步理解余数及有余数的除法的含义。在装18个彩球时，有三种不同的包装盒（5个/盒、6个/盒、7个/盒），在编排上体现了开放性，学生可以任选一种装法圈一圈并列出算式。同时，这道题也将有余数的除法的不同表征形式放在一起，利于学生理解，进一步感受商和余数的名数的不同。
本课练习设计中充分关注到了有余数除法多种表征方式的转换。每题都是根据文字的意思先进行操作，然后把操作的结果填在括号中，最后完成有余数除法的横式书写，让学生边圈（边分）边说边写，使学生充分感受到操作、文字、横式所表达意义的统一，理解除法的本质。
二、通过对比，助推有余除模型的建构
数学概念教学的根本任务就是正确揭示概念的内涵和外延。对于“有余数除法”的概念，不仅要准确地解释它的内涵，而且要挖掘它的外延，使学生对概念的理解逐步完善。“有余数的除法”不仅是表内除法知识的延伸和拓展，也是今后继续学习一位数除多位数等除法的重要基础。这部分知识的学习具有承上启下的作用，因此教学时需要不断将有余数的除法与刚学习的表内除法的两种情况对比呈现，使学生体会有余数的除法与表内除法的关系，为建构起合理的除法知识结构网络提供支撑点。
（一）表征形式中的对比，由表及里
【教学片段4】
师：刚才的视频，你看懂了吗？两次分小棒，哪里不一样呢？
活动要求：请你在学习单上，通过画一画、列一列、写一写的方式，把刚才分的过程和结果通过文字或者符号表示出来。 反馈学生作品：
（1）8根小棒摆正方形。
实物投影学生的作品：□□ 8÷4=2（个）
（2）9根小棒摆正方形。
实物投影学生的作品：□□丨 2×4 1=9（根） 9÷4=2 …… 1
师：刚才同学们有的用了画图的方法，有的用了2×4 1=9（根）这样的算式，还有的同学用了除法算式，其实都想要表达9里面有几个4。
几何直观是《课标（2011年版）》提出的十大核心概念之一，和除法有关的例题教学都是建立在直观的基础上的。教学时教师要充分运用直观和算式的对比，帮助学生理解余数及有余数的除法的含义。在实际教学过程中，学生学习除法经历如下图的表征过程，这种表征是单向的，有去无回的，学生只经历了由具体到抽象的过程。通过对比，沟通操作过程、语言表达、算式之间的转换，使学生明白它们的意思是一样的，只是表达形式不同，促使学生进一步理解除数、商和余数的名数的确定。
本课除了在探究新知这个环节通过对比唤起学生已有的知识经验，加深学生对有余数的除法的理解外，还在探索余数与除数的关系时，也采用了对比的方法，帮助学生感受在平均分物的过程中的两种情况，以及剩余部分的可能性。
（二）平均分物中的对比，拾级而上
【教学片段5】
师：刚才我们通过画图、列式的方法把摆小棒的过程清楚地表示出来，如果有10根小棒，能摆几个正方形又余几根呢？
板书：10÷4=2（个）……2（根）
师：大家发现了吗？原来余数也会随着根数变化而有所变化，再加1根呢？
板书：11÷4=2（个）……3（根）
师：继续加1根，会怎么样？你们先想一想，再写写看。
生：12÷4=2（个）……4（根）
12÷4=3（个）
师：这两个算式到底哪一个是正确的呢？
生：余数不能为4，因为4根又可以变成1个“□”了，就“没有”余数了。所以应该是12÷4=3（个）。
教师把算式写到8÷4=2（个）的下面。
师：如果有13根小棒， 再往下想，14根呢？（余2根）15根呢？（余3根）那16根呢？（没有余数，正好摆4个“□”）。
师：仔细观察这些算式及算式中的余数，你发现了什么？
生：余数要小于除数。
教师用板书记录下除法的两种不同的分类，让学生感受到“分到不能再分一份”或“不够每份再分一个”所剩下的是“余数”。教学中，始终将“有余数的除法”放在“平均分”这个大背景下，将平均分中“恰好分完”“分后有剩余”这两种不同的结果进行对比，不仅帮助学生建构起合理的知识结构网络，而且还培养了学生分析、比较、归纳的能力。
总的来说，要落实《课标（2011年版）》提出的运算能力培养目标，教师在运算概念教学时就要充分利用学生原有的知识经验和活动经验，通过操作、比较等数学活动，让学生理解四则运算的基本概念，以实现学习主体能力的全面提升。