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摘 要：联想是儿童解决数学问题的理性武器。但联想并不是胡思乱想，而是有规律的。在数学问题解决过程中，联想能够帮助儿童打开受阻的解题思路，能够让儿童的思维张开美丽的翅膀。
关键词：联想；创造；解题
所谓联想，是指人们在头脑中从一种事物想到另一种事物的思维过程。在儿童数学教学过程中，教师也要引领儿童展开数学联想，从一个知识点想到另一个知识点，从问题的一种表征形式想到另一种表征形式，从一种解题方法想到另一种解题方法，等等。通过数学联想完成对数学条件、数学问题以及表征形式的整合与生发。联想是数学知识转化的桥梁，是儿童数学思维提升的阶梯，是儿童解决数学问题的向导，是沟通儿童头脑中数学记忆和数学想象的纽带，是儿童进行数学创造的摇篮。在数学教学中，教师可以根据题目中的条件和问题特点，引导儿童联想。数学联想从形式类型上看，有数与数之间的联想、数与形之间联想、形与形之间的联想等；从方法上看，有类比联想、相似联想、逆向联想、直觉联想、归纳联想等。
一、 数学形式的联想
小学数学内容丰富，但归纳起来有两大类，即数与形。因此从某种意义上讲，培养儿童的数学联想能力，就是要沟通数与数、形与形以及数与形之间的关联。因为不同的数学知识涉及不同的知识背景、产生条件等，所以如果在不同的数学知识间展开合理地联想，就能沟通数学知识之间联系，产生解决数学问题有价值的线索，并且对于培养儿童思维的灵活性与敏捷性也有着极为重要的作用。
1. 从数与形的关系上联想
著名数学教育家华罗庚说，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”美国数学家斯蒂恩说，“如果一个特定的问题可以被转化成一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索解决问题的方法。”在小学数学中，数和形是两个重要的范畴，它们之间在一定条件下可以相互转化，既可以“以形助数”，也可以“以数助形”。
在本题中，由于项数不多，所以可以采用通分法。但是当项数再增加时，通分法就显得捉襟见肘了。为此，当然可以采用“以小见大”找规律的方法，即先算出第一项和第二项的和；再算出第一项、第二项和第三项的和；然后发现规律。这是解决这道习题的有效方法。但如果从数形结合的角度展开联想，就会发现后一项都是前一项的。因此，首先画出一个正方形表示单位“1”，然后依次平均分成2份，产生…。如图1：
2. 从形与形的转化上联想
在求图形周长或者图形面积时，有时要展开形与形之间的联想。通常建构形与形之间关系联想的策略是借助平移、旋转、作辅助线等方法。形和形之间的转化联想有时能让问题的解决产生“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之感。
例2：在一个等边三角形内画一个尽可能大的圆，又在圆内画一个尽可能大的等边三角形，那么小等边三角形的面积是大等边三角形面积的几分之几？
在这道题目中，没有任何数据，所以试图通过计算解决问题的方法是徒劳的。怎么办呢？直觉告诉我们必须对图形展开变形。那么能不能“平移或旋转”呢？借助图形中的平移似乎离问题更远。那么能不能旋转呢？如果对图中的圆进行旋转，似乎不能产生任何效果。能不能旋转三角形呢？旋转一下外边的大三角形或者旋转里边的小三角形，或许能够发现美妙的解题思路。如图2，经过旋转，能让我们一下子看出小三角形的面积是大三角形面积的。
3. 从数与数的联系上联想
爱因斯坦说，“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，并且是创造的源泉。”在数学教学中，教师要引导学生进行数学观察，启发学生展开数学联想的翅膀，大胆猜想，小心验证。
二、 数学方法的联想
儿童在数学学习中经常会出现思维受阻的现象，具体表现为解题思路的误入歧途、中断或者对问题一筹莫展等。因此，教师要教给儿童联想的方法，连接儿童的思维通路，让儿童做出大胆的猜测，引领儿童小心地验证。联想是一种发散性的思维，常用的联想方法有类比联想、相似联想、逆向联想、对比联想、直觉联想、归纳联想等。下面通过几个例子简单谈谈类比联想、相似联想和逆向联想。
1. 类比联想
类比联想是由此及彼的联想。所谓类比联想，是指根据问题模型的相似结构和条件，将陌生的数学问题转化成熟悉的数学问题，利用学生的经验，对知识展开类比，进而解决数学问题，拓展儿童的解题思路。开普勒说，“我珍视类比胜过任何别的东西。”在类比过程中，儿童调动头脑中贮存的相似问题解决策略，进而产生“顿悟”。
例4：一个钟面，在6点钟的时候时针和分针正好成一条直线，那么至少要经过多长时间时针和分针会完全重合？
在钟面上，时针走得慢而分针走得快，因此，时针和分针完全重合就相当于分针追上了时针，因此本题可以联想成一道追及问题。这道行程问题的题目是：甲、乙两人同向而行，甲在乙的前方6千米（6大格），甲每小时走1千米（1大格），乙每小时行12千米（12大格），至少经过多长时间，乙才能够追上甲？在这里，陌生的时钟问题被联想成熟悉的追及问题。因此可以用“追及问题”的思路来解决问题。原题的解法为：6÷（12-1）=（小时）。
2. 相似联想
相似联想是根据问题外部条件和结构形态的相同或相似而展开的联想。通过相似联想，常常能够捕捉到解决问题的灵感，突破思维的障碍或惯习。相似联想常常能让僵化的思维变得敏锐，让人获得一种豁然开朗、茅塞顿开、醍醐灌顶的感觉。
例5：一个真分数，如果分子和分母同时加上k（k>0），所得分数（ ）（填>、<、=）原分数。
本题可以采用假设法，即假设一个具体的分数，然后加上一个数，将产生的新分数和原分数进行比较。认真研读本题会发现，本题中有一个关键的字眼，即“同时”加上“相同”的数，这可以生发出相似联想，即一杯糖水，它的糖占糖水的，如果加入k克糖，那么新的糖水的浓度（也就是含糖率）（ ）（填>、<、=）原来糖水的浓度（也就是含糖率）？
这样就建立了一种相似的数学模型，加入k克糖，糖（分子）多了k克，糖水（分母）也相应地多了k克，根据生活经验，糖水应该是更甜了，也就是含糖率（新的分数）比原来糖水的含糖率（原分数）高了，这是生发的相似联想，可见相似联想在解决数学问题中的作用。当然，对于这一具体的题目而言，严格意义上的数学证明要到初中才会学习。不过在这里，抽象的“不等式问题”被相似联想成一个“糖水浓度”问题，既直观、形象又严密、深刻！从中我们可以感受到相似联想的力量、美妙与神奇。
3. 逆向联想
所谓逆向联想，是指从问题相反或相对的角度展开联想，这是数学学习常用的解题思路和解题方法。“正难即反”是重要的解决数学问题的策略。逆向联想有时会产生出奇制胜的效果，可以培养儿童辩证性、深刻性的思维品质。
例6：一个池塘里生长有一种浮萍，每天长的量是前一天的1倍。如果20天能够长满池塘，那么多少天能够生长到全池塘的？
这道题目如果正向思考，很难解决问题。因此可以尝试反向思维，展开联想分析，从问题出发，通过倒推、还原，尝试解决数学问题。既然20天长满全池塘，那么根据每天长的量是前一天的1倍，可以推出第19天的时候应该长满了全池塘的一半，而第18天的时候应该长满了全池塘一半的一半，也就是全池塘的。在通过逆向联想解决问题后，还可以进行正向验证。
牛顿说，“没有大胆的联想和猜测，就做不出伟大的发现。”“数学联想”应当贯穿于儿童数学教与学的始终，成为儿童解决数学问题的理性武器。在儿童的数学学习中，“联想”能让儿童产生“联通思维”，激活儿童尘封的数学知识，生发出超越常规的问题解决思路。儿童在由此及彼、由表及里的联想中，思维得到深度拓展。
关键词：联想；创造；解题
所谓联想，是指人们在头脑中从一种事物想到另一种事物的思维过程。在儿童数学教学过程中，教师也要引领儿童展开数学联想，从一个知识点想到另一个知识点，从问题的一种表征形式想到另一种表征形式，从一种解题方法想到另一种解题方法，等等。通过数学联想完成对数学条件、数学问题以及表征形式的整合与生发。联想是数学知识转化的桥梁，是儿童数学思维提升的阶梯，是儿童解决数学问题的向导，是沟通儿童头脑中数学记忆和数学想象的纽带，是儿童进行数学创造的摇篮。在数学教学中，教师可以根据题目中的条件和问题特点，引导儿童联想。数学联想从形式类型上看，有数与数之间的联想、数与形之间联想、形与形之间的联想等；从方法上看，有类比联想、相似联想、逆向联想、直觉联想、归纳联想等。
一、 数学形式的联想
小学数学内容丰富，但归纳起来有两大类，即数与形。因此从某种意义上讲，培养儿童的数学联想能力，就是要沟通数与数、形与形以及数与形之间的关联。因为不同的数学知识涉及不同的知识背景、产生条件等，所以如果在不同的数学知识间展开合理地联想，就能沟通数学知识之间联系，产生解决数学问题有价值的线索，并且对于培养儿童思维的灵活性与敏捷性也有着极为重要的作用。
1. 从数与形的关系上联想
著名数学教育家华罗庚说，“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。”美国数学家斯蒂恩说，“如果一个特定的问题可以被转化成一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索解决问题的方法。”在小学数学中，数和形是两个重要的范畴，它们之间在一定条件下可以相互转化，既可以“以形助数”，也可以“以数助形”。
在本题中，由于项数不多，所以可以采用通分法。但是当项数再增加时，通分法就显得捉襟见肘了。为此，当然可以采用“以小见大”找规律的方法，即先算出第一项和第二项的和；再算出第一项、第二项和第三项的和；然后发现规律。这是解决这道习题的有效方法。但如果从数形结合的角度展开联想，就会发现后一项都是前一项的。因此，首先画出一个正方形表示单位“1”，然后依次平均分成2份，产生…。如图1：
2. 从形与形的转化上联想
在求图形周长或者图形面积时，有时要展开形与形之间的联想。通常建构形与形之间关系联想的策略是借助平移、旋转、作辅助线等方法。形和形之间的转化联想有时能让问题的解决产生“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之感。
例2：在一个等边三角形内画一个尽可能大的圆，又在圆内画一个尽可能大的等边三角形，那么小等边三角形的面积是大等边三角形面积的几分之几？
在这道题目中，没有任何数据，所以试图通过计算解决问题的方法是徒劳的。怎么办呢？直觉告诉我们必须对图形展开变形。那么能不能“平移或旋转”呢？借助图形中的平移似乎离问题更远。那么能不能旋转呢？如果对图中的圆进行旋转，似乎不能产生任何效果。能不能旋转三角形呢？旋转一下外边的大三角形或者旋转里边的小三角形，或许能够发现美妙的解题思路。如图2，经过旋转，能让我们一下子看出小三角形的面积是大三角形面积的。
3. 从数与数的联系上联想
爱因斯坦说，“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切，推动着进步，并且是创造的源泉。”在数学教学中，教师要引导学生进行数学观察，启发学生展开数学联想的翅膀，大胆猜想，小心验证。
二、 数学方法的联想
儿童在数学学习中经常会出现思维受阻的现象，具体表现为解题思路的误入歧途、中断或者对问题一筹莫展等。因此，教师要教给儿童联想的方法，连接儿童的思维通路，让儿童做出大胆的猜测，引领儿童小心地验证。联想是一种发散性的思维，常用的联想方法有类比联想、相似联想、逆向联想、对比联想、直觉联想、归纳联想等。下面通过几个例子简单谈谈类比联想、相似联想和逆向联想。
1. 类比联想
类比联想是由此及彼的联想。所谓类比联想，是指根据问题模型的相似结构和条件，将陌生的数学问题转化成熟悉的数学问题，利用学生的经验，对知识展开类比，进而解决数学问题，拓展儿童的解题思路。开普勒说，“我珍视类比胜过任何别的东西。”在类比过程中，儿童调动头脑中贮存的相似问题解决策略，进而产生“顿悟”。
例4：一个钟面，在6点钟的时候时针和分针正好成一条直线，那么至少要经过多长时间时针和分针会完全重合？
在钟面上，时针走得慢而分针走得快，因此，时针和分针完全重合就相当于分针追上了时针，因此本题可以联想成一道追及问题。这道行程问题的题目是：甲、乙两人同向而行，甲在乙的前方6千米（6大格），甲每小时走1千米（1大格），乙每小时行12千米（12大格），至少经过多长时间，乙才能够追上甲？在这里，陌生的时钟问题被联想成熟悉的追及问题。因此可以用“追及问题”的思路来解决问题。原题的解法为：6÷（12-1）=（小时）。
2. 相似联想
相似联想是根据问题外部条件和结构形态的相同或相似而展开的联想。通过相似联想，常常能够捕捉到解决问题的灵感，突破思维的障碍或惯习。相似联想常常能让僵化的思维变得敏锐，让人获得一种豁然开朗、茅塞顿开、醍醐灌顶的感觉。
例5：一个真分数，如果分子和分母同时加上k（k>0），所得分数（ ）（填>、<、=）原分数。
本题可以采用假设法，即假设一个具体的分数，然后加上一个数，将产生的新分数和原分数进行比较。认真研读本题会发现，本题中有一个关键的字眼，即“同时”加上“相同”的数，这可以生发出相似联想，即一杯糖水，它的糖占糖水的，如果加入k克糖，那么新的糖水的浓度（也就是含糖率）（ ）（填>、<、=）原来糖水的浓度（也就是含糖率）？
这样就建立了一种相似的数学模型，加入k克糖，糖（分子）多了k克，糖水（分母）也相应地多了k克，根据生活经验，糖水应该是更甜了，也就是含糖率（新的分数）比原来糖水的含糖率（原分数）高了，这是生发的相似联想，可见相似联想在解决数学问题中的作用。当然，对于这一具体的题目而言，严格意义上的数学证明要到初中才会学习。不过在这里，抽象的“不等式问题”被相似联想成一个“糖水浓度”问题，既直观、形象又严密、深刻！从中我们可以感受到相似联想的力量、美妙与神奇。
3. 逆向联想
所谓逆向联想，是指从问题相反或相对的角度展开联想，这是数学学习常用的解题思路和解题方法。“正难即反”是重要的解决数学问题的策略。逆向联想有时会产生出奇制胜的效果，可以培养儿童辩证性、深刻性的思维品质。
例6：一个池塘里生长有一种浮萍，每天长的量是前一天的1倍。如果20天能够长满池塘，那么多少天能够生长到全池塘的？
这道题目如果正向思考，很难解决问题。因此可以尝试反向思维，展开联想分析，从问题出发，通过倒推、还原，尝试解决数学问题。既然20天长满全池塘，那么根据每天长的量是前一天的1倍，可以推出第19天的时候应该长满了全池塘的一半，而第18天的时候应该长满了全池塘一半的一半，也就是全池塘的。在通过逆向联想解决问题后，还可以进行正向验证。
牛顿说，“没有大胆的联想和猜测，就做不出伟大的发现。”“数学联想”应当贯穿于儿童数学教与学的始终，成为儿童解决数学问题的理性武器。在儿童的数学学习中，“联想”能让儿童产生“联通思维”，激活儿童尘封的数学知识，生发出超越常规的问题解决思路。儿童在由此及彼、由表及里的联想中，思维得到深度拓展。