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《中学数学教学参考》在2015年第5期（上旬）登载了《再谈一类面积比的简洁计算公式》一文（下面简称文献[3]），该文利用平面向量坐标表示的方法避开繁杂的图形，通过建立平面直角坐标系就可以简单明了的得出文献[1]、[2]给出的面积比公式，笔者仔细研读文献[3]之后收获颇大，既然利用平面向量坐标表示法可以证明文献[1]、[2]给出的面积比公式，那么平面内的面积比公式可不可以推广到空间四面体中得到相应的体积比公式呢？经过仔细的运算笔者发现是可以推广的。下面笔者对此问题谈一些自己的想法，如有不到之处还请各位同仁批评指正。
1 问题呈现
题目：已知点O是三棱锥P-ABC内一点，且[OA+3OB+2OC+6OP=0]，设P-ABC的体积为1，求三棱锥O-ABC的体积。
解析：
[A][Z][Y][P][B][O][C][X]
如上图以A为坐标原点建立空间直角坐标系[A-xyz]，
[设AB=c，A0，0，0，B0，c，0，Cx3，y3，0，Px1，y1，z1，Ox2，y2，z2则]
[OA=﹣x2，﹣y2，﹣z2，OB=﹣x2，c﹣y2，﹣z2，]
[OC=x3﹣x2，y3﹣y2，﹣z2，OP=（x1﹣x2，y1﹣y2，z1﹣z2）]
因为[OA+3OB+2OC+6OP=0]，所以，
[﹣x2，c﹣y2，﹣z2+﹣3x2，3c﹣3y2，﹣3z2+2x3﹣2x2，2y3﹣2y2，﹣2z2+6x1﹣6x2，6y1﹣6y2，6z1﹣6z2=（0，0，0）]
所以
[﹣z2﹣3z2﹣2z2+6z1=0，即z1=2z2]
因为P-ABC与O-ABC有公共的底面ABC，所以三棱锥P-ABC与O-ABC的体积比就等于相应的高之比，即，
[VO-ABCVP-ABC=z2z1=12]
其實我们知道上述问题可以利用空间向量加法的平行四边形法、三角形法则以及空间向量的共面定理等知识解决，但是这样做对学生的知识层次和思维能力要求较高，学生学习的时候难以理解。因此高中生在学习空间向量的时候适当的建立空间直角坐标系会给解题带来很大的方便。当然上述问题是一个特殊问题，下面我们来看更一般化的结论及推导。
2 结论及推导
结论：已知点O是四面体P-ABC内一点（点O不在平面ABC上），若[OP=λOA+μOB+γOC]，则四面体O-ABC与P-ABC的体积之比为[1λ+μ+γ﹣1]。
证明：如图 [A][Z][Y][P][B][O][C][X]
以A为坐标原点建立空间直角坐标系
[A-xyz]，设：
[AB=c，A0，0，0，B0，c，0，Cx3，y3，0，Px1，y1，z1，Ox2，y2，z2]
则：
[OA=﹣x2，﹣y2，﹣z2，OB=﹣x2，c﹣y2，﹣z2]
[OC=x3﹣x2，y3﹣y2，﹣z2，OP=（x1﹣x2，y1﹣y2，z1﹣z2）]
因为
[OP=λOA+μOB+γOC]
所以，
[x1﹣x2，y1﹣y2，z1﹣z2λ﹣x2，﹣y2，﹣z2+μ﹣x2，c﹣y2，﹣z2+γx3﹣x2，y3﹣y2，﹣z2]
即[z1﹣z2=﹣λz2-μz2-γz2]
所以[z1=1﹣λ﹣μ﹣γz2]
[即z2z1=1λ+μ+γ﹣1]。
由于四面体O-ABC与P-ABC有公共底面ABC，所以四面体O-ABC与P-ABC的体积之比为：
[VO-ABCVP-ABC=z2z1=1λ+μ+γ﹣1]
同理，此解法还可以求出O-PBC、O-PAC、O-PAB与P-ABC的体积之比，结论如下：
[VO-PBCVP-ABC=λλ+μ+γ﹣1，VO-PACVP-ABC=μλ+μ+γ﹣1，VO-PABVP-ABC=γλ+μ+γ﹣1]
[VO-ABC∶VO-PBC∶VO-PAC∶VO-PAB=1∶λ∶μ∶γ]
以上推导过程具有如下优点：①λ、μ和γ之间没有任何约束条件；②点O也可以在P-ABC外；③利用空间直角坐标系将此问题简单化，推导过程简单易懂。
3 结束语
向量是近代教学中重要的数学概念之一，它也是代数与几何的连接纽带，著名数学家陈省身先生说过：“平面上一个点，什么都没有，赤裸裸的一个点，就像原始的一个人，后来弄一个坐标，一点就变成了[（x，y）]了，它就可以算了，但是这个点本身不能算，到了向量之后，点本身就可以算了。因此向量在我们日常解题中有着很重要的作用，而利用向量的坐标表示可以更好的解决一些复杂的问题，平面向量如此，空间向量更是如此。
参考文献：
[1]曹军.也谈一类面积比的简洁计算公式[J].中学数学教学参考：上旬，2014（6）：51-52.
[2]马晓东.一类面积比的简洁计算公式[J].中学数学教学参考：上旬，2014（3）：31-32.
[3]尹家新.再谈一类面积比的简洁计算公式[J].中学数学教学参考：上旬，2015（5）：41-42.
1 问题呈现
题目：已知点O是三棱锥P-ABC内一点，且[OA+3OB+2OC+6OP=0]，设P-ABC的体积为1，求三棱锥O-ABC的体积。
解析：
[A][Z][Y][P][B][O][C][X]
如上图以A为坐标原点建立空间直角坐标系[A-xyz]，
[设AB=c，A0，0，0，B0，c，0，Cx3，y3，0，Px1，y1，z1，Ox2，y2，z2则]
[OA=﹣x2，﹣y2，﹣z2，OB=﹣x2，c﹣y2，﹣z2，]
[OC=x3﹣x2，y3﹣y2，﹣z2，OP=（x1﹣x2，y1﹣y2，z1﹣z2）]
因为[OA+3OB+2OC+6OP=0]，所以，
[﹣x2，c﹣y2，﹣z2+﹣3x2，3c﹣3y2，﹣3z2+2x3﹣2x2，2y3﹣2y2，﹣2z2+6x1﹣6x2，6y1﹣6y2，6z1﹣6z2=（0，0，0）]
所以
[﹣z2﹣3z2﹣2z2+6z1=0，即z1=2z2]
因为P-ABC与O-ABC有公共的底面ABC，所以三棱锥P-ABC与O-ABC的体积比就等于相应的高之比，即，
[VO-ABCVP-ABC=z2z1=12]
其實我们知道上述问题可以利用空间向量加法的平行四边形法、三角形法则以及空间向量的共面定理等知识解决，但是这样做对学生的知识层次和思维能力要求较高，学生学习的时候难以理解。因此高中生在学习空间向量的时候适当的建立空间直角坐标系会给解题带来很大的方便。当然上述问题是一个特殊问题，下面我们来看更一般化的结论及推导。
2 结论及推导
结论：已知点O是四面体P-ABC内一点（点O不在平面ABC上），若[OP=λOA+μOB+γOC]，则四面体O-ABC与P-ABC的体积之比为[1λ+μ+γ﹣1]。
证明：如图 [A][Z][Y][P][B][O][C][X]
以A为坐标原点建立空间直角坐标系
[A-xyz]，设：
[AB=c，A0，0，0，B0，c，0，Cx3，y3，0，Px1，y1，z1，Ox2，y2，z2]
则：
[OA=﹣x2，﹣y2，﹣z2，OB=﹣x2，c﹣y2，﹣z2]
[OC=x3﹣x2，y3﹣y2，﹣z2，OP=（x1﹣x2，y1﹣y2，z1﹣z2）]
因为
[OP=λOA+μOB+γOC]
所以，
[x1﹣x2，y1﹣y2，z1﹣z2λ﹣x2，﹣y2，﹣z2+μ﹣x2，c﹣y2，﹣z2+γx3﹣x2，y3﹣y2，﹣z2]
即[z1﹣z2=﹣λz2-μz2-γz2]
所以[z1=1﹣λ﹣μ﹣γz2]
[即z2z1=1λ+μ+γ﹣1]。
由于四面体O-ABC与P-ABC有公共底面ABC，所以四面体O-ABC与P-ABC的体积之比为：
[VO-ABCVP-ABC=z2z1=1λ+μ+γ﹣1]
同理，此解法还可以求出O-PBC、O-PAC、O-PAB与P-ABC的体积之比，结论如下：
[VO-PBCVP-ABC=λλ+μ+γ﹣1，VO-PACVP-ABC=μλ+μ+γ﹣1，VO-PABVP-ABC=γλ+μ+γ﹣1]
[VO-ABC∶VO-PBC∶VO-PAC∶VO-PAB=1∶λ∶μ∶γ]
以上推导过程具有如下优点：①λ、μ和γ之间没有任何约束条件；②点O也可以在P-ABC外；③利用空间直角坐标系将此问题简单化，推导过程简单易懂。
3 结束语
向量是近代教学中重要的数学概念之一，它也是代数与几何的连接纽带，著名数学家陈省身先生说过：“平面上一个点，什么都没有，赤裸裸的一个点，就像原始的一个人，后来弄一个坐标，一点就变成了[（x，y）]了，它就可以算了，但是这个点本身不能算，到了向量之后，点本身就可以算了。因此向量在我们日常解题中有着很重要的作用，而利用向量的坐标表示可以更好的解决一些复杂的问题，平面向量如此，空间向量更是如此。
参考文献：
[1]曹军.也谈一类面积比的简洁计算公式[J].中学数学教学参考：上旬，2014（6）：51-52.
[2]马晓东.一类面积比的简洁计算公式[J].中学数学教学参考：上旬，2014（3）：31-32.
[3]尹家新.再谈一类面积比的简洁计算公式[J].中学数学教学参考：上旬，2015（5）：41-42.