论文部分内容阅读
摘 要：鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，记载于《孙子算经》之中。通过分析鸡兔同笼问题的不同解法的具体过程，帮助学生从多方面理解鸡兔同笼问题的解题策略，在合作探究中培养数学思维能力，满足学生追求个性发展的需求。
关键词：小学数学;鸡兔同笼;解法探析;分层次教学
一、引言
“鸡兔同笼”是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题，其内容是：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。”意思是：有若干只鸡和兔在同个笼子里，从上面数，有三十五个头;从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
这就是鸡兔同笼问题，此题出现在北师大版五年级数学上册数学好玩板块中，本文将从教师通过层次化教学培养学生数学思维能力的角度出发，梳理鸡兔同笼的不同解法，引导学生结合自身学习情况选择不同的解题方法，满足不同层次学生学习的需求。
二、鸡兔同笼问题的解法探析
例题：鸡兔同笼，有9个头，26条腿。鸡、兔各有多少只？（以下所有的解法探析都是建立在此例题的基础上。）
解法一：列表枚举法。
题目中鸡和兔的只数都不确定，只给出了鸡和兔的总头数和总腿数，考虑到每只鸡和兔的腿并不相同，所以选择从鸡和兔的头数也就是只数入手会容易些。考虑到鸡和兔的总头数数值上不是很大，可以进行一一枚举。
答：鸡有5只，兔有4只。
解法二：假设法。
题目中鸡和兔的只数被限定在0～9之间（包括0和9），我们可以假设其中一种动物如鸡有9只，此时兔有0只，然后把得到脚数与题目中的脚数进行比较，计算出两则的差。此时计算得出实际有腿18条，比题目中鸡和兔的总腿数少了8条。仔细探究后发现鸡和兔总腿数少的原因是因为把兔当作了鸡来计算，因为一只鸡比一只兔少了2条腿，也就是说如果我们把一只兔当作一只鸡来计算时实际计算出的鸡和兔的总腿数就会少2条。此时用所得的脚数差除以2所得结果就是把几只兔当作了鸡来计算，也便得出兔的只数。用鸡和兔的总只数减去兔的只数进而求出鸡的只数。
[9×2=18]（条） [26-18=8]（条）
[8÷2=4]（只） [9-4=5]（只）
答：鸡有5只，兔有4只。
三、砍脚法
因为鸡和兔各自的只数不确定，所以从鸡和兔的总腿数的角度难以解题。但一只鸡有2条腿，一只兔有4条腿是确定的，可以尝试从鸡和兔的条数入手解题。如果我们砍去每只鸡和每只兔的2条腿，所以鸡的腿都被砍去了，而剩下的腿都是兔子的腿，并且此时每只兔子只有2条腿。用剩余腿数除以2便得到兔子的只数，再用鸡和兔的总只数减去兔的只数就可以算出鸡的只数。
[9×2=18]（条） [26-18=8]（条）
[8÷2=4]（只） [9-4=5] （只）
答：鸡有5只，兔有4只。
四、简易方程法
应用一元一次方程解题时需要从实际问题中寻找等量关系，抽象成一元一次方程可解决的问题。题目中告诉我们鸡和兔共有9个头，也就是鸡和兔一共有9只，此时我们可以利用鸡和兔的只数的角度来设未知数，分别计算出鸡和兔的腿数，根据鸡和腿的总腿数为26条列出等量关系。假设鸡有[x]只，那么兔的只数就是[9-x]只，根据每只鸡有2条腿，每只兔有4条腿，鸡的总腿数[2x]加上兔的总腿数[4×（9-x）]等于总腿数26。
解：设鸡有[x]只，兔有[9-x]只。
[2x+4×（9-x）=26]
[2x+36-4x=26]
[36-26=4x-2x]
[2x=10]
[x=5]
[9-4=5] （只）
答：鸡有5只，兔有4只。
五、鸡兔同笼问题分层次学法指导
“为了每一个学生的发展”是基础教育课程改革的核心，但是在小学数学教学过程中，学生的差异性是实实在在存在的。小学数学教师可以通过对学生的观察、测试、摸底依据学生的成绩、认知能力、心理素质、学习习惯等，把学生大体分为A、B、C三层。A层的基础相对比较扎实，学习成绩优良。B类的基础水平一般。C层的基础相对落后。
列表枚举法需要将可能存在的情况一一枚举，填写在表格中，这类方法虽然过程有些繁琐但简单易懂。当数据比较小时运用此方法就比较形象直观，易于理解，当数据较大时就会增加计算的难度，使问题变得繁琐复杂。结合C层学生基础薄弱，抽象思维和理解能力不强易于接受直观性知识的特点，教师在教学中可适当引导采用此类方法解题。
使用一元一次方程解题需要在实际问题中寻找等量关系且熟悉解方程的步骤，这种方法较列表枚举法虽然便捷但同时对学生的认知能力提出了更高的要求。砍腿法虽然算式看上去比较简便，但也需要学生有丰富的生活阅历和较强的理解能力为基础，B层学生能够掌握基本知识和一定学习方法，对方程解题也熟悉，教师在教学中可引导他们采用这两类方法解题。
假设法适合解决鸡兔同笼问题的各种题型但因为其比较抽象难以理解，所以对逻辑思维要求比较高，结合A层学生基础比较扎实，思维灵活，理解能力强且学习习惯好，爱专研的特点，教师可引导此类学生采用假设法解题。
我们不可能用一把尺子去量时间万物，同样我们不能用同样的标准去衡量不同的学生。每个学生虽说都不是完美的但都有着自己特有的闪光点，小学数学教师应用欣赏的眼光看待每位学生，在日常的教学中以生为本，从学生的学习效果来中不断改进教学方法，指导学生找到适合他们自己的学习方法，为学生的发展奠基。
参考文献
[1]吴玉花.小学数学鸡兔同笼问题的教学分析[J].新课程（小学），2016（12）.
[2]李树清.“鸡兔同笼”问题的解法探讨[J].教育实践与研究（小学），2009（03）.
[3]王素清.改進小学数学分层次教学的建议[J].中国校外教育，2015（18）.
关键词：小学数学;鸡兔同笼;解法探析;分层次教学
一、引言
“鸡兔同笼”是我国古算书《孙子算经》中著名的数学问题，其内容是：“今有雉、兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何。”意思是：有若干只鸡和兔在同个笼子里，从上面数，有三十五个头;从下面数，有九十四只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
这就是鸡兔同笼问题，此题出现在北师大版五年级数学上册数学好玩板块中，本文将从教师通过层次化教学培养学生数学思维能力的角度出发，梳理鸡兔同笼的不同解法，引导学生结合自身学习情况选择不同的解题方法，满足不同层次学生学习的需求。
二、鸡兔同笼问题的解法探析
例题：鸡兔同笼，有9个头，26条腿。鸡、兔各有多少只？（以下所有的解法探析都是建立在此例题的基础上。）
解法一：列表枚举法。
题目中鸡和兔的只数都不确定，只给出了鸡和兔的总头数和总腿数，考虑到每只鸡和兔的腿并不相同，所以选择从鸡和兔的头数也就是只数入手会容易些。考虑到鸡和兔的总头数数值上不是很大，可以进行一一枚举。
答：鸡有5只，兔有4只。
解法二：假设法。
题目中鸡和兔的只数被限定在0～9之间（包括0和9），我们可以假设其中一种动物如鸡有9只，此时兔有0只，然后把得到脚数与题目中的脚数进行比较，计算出两则的差。此时计算得出实际有腿18条，比题目中鸡和兔的总腿数少了8条。仔细探究后发现鸡和兔总腿数少的原因是因为把兔当作了鸡来计算，因为一只鸡比一只兔少了2条腿，也就是说如果我们把一只兔当作一只鸡来计算时实际计算出的鸡和兔的总腿数就会少2条。此时用所得的脚数差除以2所得结果就是把几只兔当作了鸡来计算，也便得出兔的只数。用鸡和兔的总只数减去兔的只数进而求出鸡的只数。
[9×2=18]（条） [26-18=8]（条）
[8÷2=4]（只） [9-4=5]（只）
答：鸡有5只，兔有4只。
三、砍脚法
因为鸡和兔各自的只数不确定，所以从鸡和兔的总腿数的角度难以解题。但一只鸡有2条腿，一只兔有4条腿是确定的，可以尝试从鸡和兔的条数入手解题。如果我们砍去每只鸡和每只兔的2条腿，所以鸡的腿都被砍去了，而剩下的腿都是兔子的腿，并且此时每只兔子只有2条腿。用剩余腿数除以2便得到兔子的只数，再用鸡和兔的总只数减去兔的只数就可以算出鸡的只数。
[9×2=18]（条） [26-18=8]（条）
[8÷2=4]（只） [9-4=5] （只）
答：鸡有5只，兔有4只。
四、简易方程法
应用一元一次方程解题时需要从实际问题中寻找等量关系，抽象成一元一次方程可解决的问题。题目中告诉我们鸡和兔共有9个头，也就是鸡和兔一共有9只，此时我们可以利用鸡和兔的只数的角度来设未知数，分别计算出鸡和兔的腿数，根据鸡和腿的总腿数为26条列出等量关系。假设鸡有[x]只，那么兔的只数就是[9-x]只，根据每只鸡有2条腿，每只兔有4条腿，鸡的总腿数[2x]加上兔的总腿数[4×（9-x）]等于总腿数26。
解：设鸡有[x]只，兔有[9-x]只。
[2x+4×（9-x）=26]
[2x+36-4x=26]
[36-26=4x-2x]
[2x=10]
[x=5]
[9-4=5] （只）
答：鸡有5只，兔有4只。
五、鸡兔同笼问题分层次学法指导
“为了每一个学生的发展”是基础教育课程改革的核心，但是在小学数学教学过程中，学生的差异性是实实在在存在的。小学数学教师可以通过对学生的观察、测试、摸底依据学生的成绩、认知能力、心理素质、学习习惯等，把学生大体分为A、B、C三层。A层的基础相对比较扎实，学习成绩优良。B类的基础水平一般。C层的基础相对落后。
列表枚举法需要将可能存在的情况一一枚举，填写在表格中，这类方法虽然过程有些繁琐但简单易懂。当数据比较小时运用此方法就比较形象直观，易于理解，当数据较大时就会增加计算的难度，使问题变得繁琐复杂。结合C层学生基础薄弱，抽象思维和理解能力不强易于接受直观性知识的特点，教师在教学中可适当引导采用此类方法解题。
使用一元一次方程解题需要在实际问题中寻找等量关系且熟悉解方程的步骤，这种方法较列表枚举法虽然便捷但同时对学生的认知能力提出了更高的要求。砍腿法虽然算式看上去比较简便，但也需要学生有丰富的生活阅历和较强的理解能力为基础，B层学生能够掌握基本知识和一定学习方法，对方程解题也熟悉，教师在教学中可引导他们采用这两类方法解题。
假设法适合解决鸡兔同笼问题的各种题型但因为其比较抽象难以理解，所以对逻辑思维要求比较高，结合A层学生基础比较扎实，思维灵活，理解能力强且学习习惯好，爱专研的特点，教师可引导此类学生采用假设法解题。
我们不可能用一把尺子去量时间万物，同样我们不能用同样的标准去衡量不同的学生。每个学生虽说都不是完美的但都有着自己特有的闪光点，小学数学教师应用欣赏的眼光看待每位学生，在日常的教学中以生为本，从学生的学习效果来中不断改进教学方法，指导学生找到适合他们自己的学习方法，为学生的发展奠基。
参考文献
[1]吴玉花.小学数学鸡兔同笼问题的教学分析[J].新课程（小学），2016（12）.
[2]李树清.“鸡兔同笼”问题的解法探讨[J].教育实践与研究（小学），2009（03）.
[3]王素清.改進小学数学分层次教学的建议[J].中国校外教育，2015（18）.