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【摘要】 本节课的教学案例设计没有使用现代教育媒体，依托传统教学模式，又有所突破，通过一个问题的提出来引出多个具有挑战性的问题，培养学生提出有意义的问题的能力，从特殊到一般综合运用所学的数学知识，给出猜想，进行推理论证，拓展延伸知识．感受解决问题的策略的多样性和多种数学思想方法的重要性．从生活中熟悉的问题入手，激发学生在生活中感受数学、发现数学的能力，真正体现了学数学用数学．
【关键词】 矩形；面积；周长
本节课是继二次方程、方程组、不等式等知识学完之后的综合运用．引导学生逐步思考一个个看似简单但又具有挑战性的问题．本节课是一个开放性、研究性的课题，主要意图不在于回答具体问题，而是提供一个思考、探索的平台．
问题 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的２倍．
师：我们先考察一些特殊的情形．
例如：已知矩形长和宽分别为２和１，结论会怎样呢？
生１：设新矩形的长为ｘ，则宽为６ － ｘ．列表得：
ｘ（６ － ｘ） ＝ ４.
解得 x = ■ = 3 ± ■.
即长为 3 + ■，宽为３ － ■.
生２：设新矩形的长为ｘ． 列表得：
ｘ ＋ ■ ＝６.
可解得长为３ ＋ ■ ，宽为３ - ■.
生３：设新矩形的长为ｘ，宽为ｙ．列表得：
ｘｙ ＝ ４，２（ｘ ＋ ｙ） ＝ １２.
可解得长为３ ＋ ■ ，宽为３ - ■.
活动说明 传统的教学模式仍然有很强的生命力，本节课没有选择现代媒体进行教学．学生都选择了用列表的方式来理解题意，这样思路条理清晰，一目了然．他们分别用一元二次方程、分式方程、二元二次方程组来建模解决实际问题，体现解题方法的多样性．构建数学问题的实际模型，从特殊问题入手，进一步提高学生的数学建模能力．
师：当矩形长和宽分别为３和１时呢？
生４：我猜想已知矩形长和宽为３和１，也可以找到一个矩形，使它的周长和面积是已知矩形的２倍．验证如下：
设新矩形的长为ｘ，则宽为８ － ｘ．列表得：
ｘ（８ － ｘ） ＝ ６.
解得长为４ ＋ ■ ，宽为4 - ■.
师：当矩形长和宽分别为４和１时呢？
生５大喊：存在，长为５ ＋ ■，宽为５ － ■．
学生们惊讶：怎么算得这么快？
生５涨红脸：我发现新矩形的长 ＝ 原矩形的长 ＋ 宽 ＋ 矩形对角线，新矩形的宽 ＝ 原矩形的长 ＋ 宽 － 矩形对角线．
活动说明：真是一语惊醒梦中人，先是极其的安静， 然后他们纷纷用各自的方法检验结论的正确性，最后是不约而同的一片掌声，同学们发出由衷地赞叹和羡慕．平时爱思考的生５得到了极度的满足和认同．课堂气氛达到了高潮．也体现了由特殊到一般的思想方法，自主探究的数学学习精神．同学们发现自己费了很多的运算寻求的答案可以这么轻易地得到，启发他们去思考．
师：当矩形长和宽分别为ｎ和１时呢？
生６：我用刚才的方法得到长为ｎ ＋ １ + ■，宽为ｎ ＋ １ - ■． 通过验证是正确的．
师：生５的结论只是猜想，由特殊的例子得到的，如何去说明他的结论的正确性？
生７：设矩形长和宽分别为ｎ，ｍ时
ｘ［２（ｎ ＋ ｍ） － ｘ］ ＝ ２ｍｎ.
ｘ２ － ２（ｎ ＋ ｍ）ｘ ＋ ２ｍｎ ＝ ０.
ｘ ＝ ｎ ＋ ｍ±■.
长为ｎ ＋ ｍ + ■，宽为ｎ ＋ ｍ - ■.
所以，任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的２倍．
活动说明 层层推进的问题中，逐步展开．学生学会由特殊到一般，由易到难的解决问题，启发学生发现更具一般性的结论，寻求解决问题的方法．激发学生求知欲、探究的欲望，拓展学生思维空间．这几个问题的提出到验证的过程的确具有挑战性，学生创造性思维得到进一步锻炼和发展．
师：同学们通过本节课的学习，有何收获？
生１：任意给定一个矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的２倍．
生２：这里求出的矩形长与宽是带根号的数，应该是无理数．
生３：不一定，如原矩形的长与宽为３，４，则新矩形长是１２，宽是２
生４：我发现这里满足关系的新矩形与原矩形中，新矩形的长比原矩形的长大，但宽却比原矩形的宽短．
易得ｎ ＋ ｍ ＋ ■ ＞ ｎ.
而ｎ ＜ ■，
∴ ｎ － ■ ＜ ０，
∴ ｍ ＋ （ｎ － ■） ＜ ｍ，
即ｍ ＋ ｎ － ■ ＜ ｍ.
生５：我发现满足关系的原矩形的长与宽为ｎ，ｍ，而新矩形的长ｎ ＋ ｍ ＋ ■， 宽ｎ ＋ ｍ － ■． 可以画出下面的两个图形：
新矩形只是面积和周长大，并不是它的长与宽都增大了，实际上长增大，宽减小了．
生６：我知道研究问题时，可以先从一些特殊的、简单的问题入手，寻找解题的方法和思路，再得到一般的规律．
活动说明 学生可以反思自己的思维过程，自主建构知识，进一步提高认识．通过实际画图来加深对知识的理解，化抽象为具体，帮助学生形象的理解、记忆．学生的回答有很多的闪光点．给我很多的启发，体现出不同的学生有不同程度的发展．学生在数学探究活动中体验学数学用数学的快乐．
教学反思
本节课没有使用多媒体进行教学，备课时对本节课的教学内容很担忧，因为问题大，内容多，牵涉到的知识范围广，应用性强，怕上不好，所以做了很多的准备．当本节课上完一颗悬着的心才放下来，学生参与热情之高出乎我的预料．
１. “问题串”来激发学生的探究意识
用“问题串”激发出潜在的创造力，加深对数学的理解，逐步形成创新意识．问题都具有一定的挑战性．通过建立数学模型，用所学知识解决现实问题，从而使自己获得更大的成功，形成良性循环的学习．以一些开放题激活学生的创造力，有意识地培养学生的猜想和思考验证能力，形成学生缜密的思维．
2. 教学过程中教师充分放手让学生自主探究
学生是课堂真正的主人，教师是课堂教学的组织者，合作者，努力启发学生的思维和表达．体现师生的平等关系，建立融洽和谐的学习环境，充分体现学生的自主性、主体性地位，让学生真正参与到课堂教学中去，在运用知识解决问题时，促进了学生的认知结构进一步完善．学生对每一个问题充满了强烈的好奇心，课堂气氛活跃，既有大胆猜想和论证，又能体现出从特殊到一般的数学思想，数形结合的思想，让他们初步有终身研究问题的方法与经验． 真正为他们今后研究问题提供一个思考、探索的方法．
【关键词】 矩形；面积；周长
本节课是继二次方程、方程组、不等式等知识学完之后的综合运用．引导学生逐步思考一个个看似简单但又具有挑战性的问题．本节课是一个开放性、研究性的课题，主要意图不在于回答具体问题，而是提供一个思考、探索的平台．
问题 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的２倍．
师：我们先考察一些特殊的情形．
例如：已知矩形长和宽分别为２和１，结论会怎样呢？
生１：设新矩形的长为ｘ，则宽为６ － ｘ．列表得：
ｘ（６ － ｘ） ＝ ４.
解得 x = ■ = 3 ± ■.
即长为 3 + ■，宽为３ － ■.
生２：设新矩形的长为ｘ． 列表得：
ｘ ＋ ■ ＝６.
可解得长为３ ＋ ■ ，宽为３ - ■.
生３：设新矩形的长为ｘ，宽为ｙ．列表得：
ｘｙ ＝ ４，２（ｘ ＋ ｙ） ＝ １２.
可解得长为３ ＋ ■ ，宽为３ - ■.
活动说明 传统的教学模式仍然有很强的生命力，本节课没有选择现代媒体进行教学．学生都选择了用列表的方式来理解题意，这样思路条理清晰，一目了然．他们分别用一元二次方程、分式方程、二元二次方程组来建模解决实际问题，体现解题方法的多样性．构建数学问题的实际模型，从特殊问题入手，进一步提高学生的数学建模能力．
师：当矩形长和宽分别为３和１时呢？
生４：我猜想已知矩形长和宽为３和１，也可以找到一个矩形，使它的周长和面积是已知矩形的２倍．验证如下：
设新矩形的长为ｘ，则宽为８ － ｘ．列表得：
ｘ（８ － ｘ） ＝ ６.
解得长为４ ＋ ■ ，宽为4 - ■.
师：当矩形长和宽分别为４和１时呢？
生５大喊：存在，长为５ ＋ ■，宽为５ － ■．
学生们惊讶：怎么算得这么快？
生５涨红脸：我发现新矩形的长 ＝ 原矩形的长 ＋ 宽 ＋ 矩形对角线，新矩形的宽 ＝ 原矩形的长 ＋ 宽 － 矩形对角线．
活动说明：真是一语惊醒梦中人，先是极其的安静， 然后他们纷纷用各自的方法检验结论的正确性，最后是不约而同的一片掌声，同学们发出由衷地赞叹和羡慕．平时爱思考的生５得到了极度的满足和认同．课堂气氛达到了高潮．也体现了由特殊到一般的思想方法，自主探究的数学学习精神．同学们发现自己费了很多的运算寻求的答案可以这么轻易地得到，启发他们去思考．
师：当矩形长和宽分别为ｎ和１时呢？
生６：我用刚才的方法得到长为ｎ ＋ １ + ■，宽为ｎ ＋ １ - ■． 通过验证是正确的．
师：生５的结论只是猜想，由特殊的例子得到的，如何去说明他的结论的正确性？
生７：设矩形长和宽分别为ｎ，ｍ时
ｘ［２（ｎ ＋ ｍ） － ｘ］ ＝ ２ｍｎ.
ｘ２ － ２（ｎ ＋ ｍ）ｘ ＋ ２ｍｎ ＝ ０.
ｘ ＝ ｎ ＋ ｍ±■.
长为ｎ ＋ ｍ + ■，宽为ｎ ＋ ｍ - ■.
所以，任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的２倍．
活动说明 层层推进的问题中，逐步展开．学生学会由特殊到一般，由易到难的解决问题，启发学生发现更具一般性的结论，寻求解决问题的方法．激发学生求知欲、探究的欲望，拓展学生思维空间．这几个问题的提出到验证的过程的确具有挑战性，学生创造性思维得到进一步锻炼和发展．
师：同学们通过本节课的学习，有何收获？
生１：任意给定一个矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的２倍．
生２：这里求出的矩形长与宽是带根号的数，应该是无理数．
生３：不一定，如原矩形的长与宽为３，４，则新矩形长是１２，宽是２
生４：我发现这里满足关系的新矩形与原矩形中，新矩形的长比原矩形的长大，但宽却比原矩形的宽短．
易得ｎ ＋ ｍ ＋ ■ ＞ ｎ.
而ｎ ＜ ■，
∴ ｎ － ■ ＜ ０，
∴ ｍ ＋ （ｎ － ■） ＜ ｍ，
即ｍ ＋ ｎ － ■ ＜ ｍ.
生５：我发现满足关系的原矩形的长与宽为ｎ，ｍ，而新矩形的长ｎ ＋ ｍ ＋ ■， 宽ｎ ＋ ｍ － ■． 可以画出下面的两个图形：
新矩形只是面积和周长大，并不是它的长与宽都增大了，实际上长增大，宽减小了．
生６：我知道研究问题时，可以先从一些特殊的、简单的问题入手，寻找解题的方法和思路，再得到一般的规律．
活动说明 学生可以反思自己的思维过程，自主建构知识，进一步提高认识．通过实际画图来加深对知识的理解，化抽象为具体，帮助学生形象的理解、记忆．学生的回答有很多的闪光点．给我很多的启发，体现出不同的学生有不同程度的发展．学生在数学探究活动中体验学数学用数学的快乐．
教学反思
本节课没有使用多媒体进行教学，备课时对本节课的教学内容很担忧，因为问题大，内容多，牵涉到的知识范围广，应用性强，怕上不好，所以做了很多的准备．当本节课上完一颗悬着的心才放下来，学生参与热情之高出乎我的预料．
１. “问题串”来激发学生的探究意识
用“问题串”激发出潜在的创造力，加深对数学的理解，逐步形成创新意识．问题都具有一定的挑战性．通过建立数学模型，用所学知识解决现实问题，从而使自己获得更大的成功，形成良性循环的学习．以一些开放题激活学生的创造力，有意识地培养学生的猜想和思考验证能力，形成学生缜密的思维．
2. 教学过程中教师充分放手让学生自主探究
学生是课堂真正的主人，教师是课堂教学的组织者，合作者，努力启发学生的思维和表达．体现师生的平等关系，建立融洽和谐的学习环境，充分体现学生的自主性、主体性地位，让学生真正参与到课堂教学中去，在运用知识解决问题时，促进了学生的认知结构进一步完善．学生对每一个问题充满了强烈的好奇心，课堂气氛活跃，既有大胆猜想和论证，又能体现出从特殊到一般的数学思想，数形结合的思想，让他们初步有终身研究问题的方法与经验． 真正为他们今后研究问题提供一个思考、探索的方法．