论文部分内容阅读
摘 要:使学生切实体验到身边有数学,用数学可以解决生活中的实际问题。从而对数学产生亲切感,增强学生对数学的知识重点的掌握、难点的突破的应用意识,培养学生分析、综合、联想、创意等能力。
关键词:联生活 教“行程” 抓等量 把实质
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C【文章编号】1671-8437(2010)01-0067-01
数学是学生感兴趣的一门学科,因为它与实际生活联系紧密,可以解决很多实际问题,有一定的应用性.
方程是初中代数中主要内容之一,列方程解应用题既是重点,又是难点,而行程问题更为突出,这部份知识对培养学生分析问题、解决问题、发展学生思维能力是十分重要的。
行程类应用题是指路程、速度、时间这三个量有关的问题,在列一元一次方程解这类应用题时,我们常用的公式是:路程=速度×时间;速度=路程÷时间;时间=路程÷速度。
常见的问题背景有以下几种:
1 两人或两个物体的运动
当考虑两人或两个物体运动时,就有“相向”“同向”“背向”这三种情况,“相向而行”是指两者面对面地行进,其距离越来越近;“同向而行”是指两者的运动方向相同;“背向而行”是指两者背对背行进;如果两人或两个物体相向而行,到一定时间就会相遇;相遇后仍按原方向行进,就会变成背向而行,总之,相向而行与背向而行,其运动方向都是相反的,所以我们可作如下分类:两人(物体)运动方向相同→同向方向相反→相向背向
如果运动路线不是直线,而是一个圆圈(比如我们在操场上进行环形赛跑)情况就要复杂一些,这时两人(或物体)如果面对面跑,那么也就是背对背跑,而两人(或物体)的距离会呈现“增加—减少—增加—减少—增加……”的现象;如果不是面对面跑,而是同向跑,那么速度快的就会比速度慢的先多跑1圈,然后多跑2圈,3圈……这两人(或物体)的距离也会呈现,“增加—减少—增加—减少—增加……”的现象。对于这些情况,只要到操场上试一试或在纸上画幅图分析一下,就可以明白。
2 船在水中航行类问题
在行程问题中还有一类顺(逆)水航行的问题,如果航行的工具是轮船,那么常用的相等关系是:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度—水流速度。
3 飞机在空中飞行类问题
如果航行的工具是飞机,那么常用的相等关系是:
顺风速度=无风时飞机速度+风速
逆风速度=无风时飞机速度—风速
下面我们来看一下这类问题的具体处理过程:
例1、我国著名数学家苏步青教授一次在德国访问,一位有名的德国数学家在电车上给他出了一道题:“甲乙两人相对而行,距离为50千米,甲每小时走3千米,乙每小时走2千米,甲带一只狗,狗每小时跑5千米,狗跑得比人走得快,同甲一起出发,碰到乙后又往甲方向走,碰到甲后,它又往乙方向跑,这样继续下去,问直到甲乙两人相遇,这只狗一共跑了多少千米?”
等下电车时,苏步青把答案告诉了这位数学家,这位数学家满意地笑了,苏步青给出的答案很简单:5×10=50,狗跑了10小时,跑了50千米的路。
我们设狗从甲出发第一次碰到乙时所用的时间为t1,所走路程为S1,再往回跑每两次遇见甲所花时间为t2,所走路程为S2,这样依次有t3、S3,t4、S4……直到甲、乙两人相遇为止,此时有tn、Sn,显然狗花时间为t1+t2+t3+t4+……+tn,所走路程为S1+S2+S3+S4+……+Sn,只要逐个算出,总能算出最终结果,这是通常的算法,然而决非好方法。
苏步青教授想到的却是:狗不断地跑,人出发到甲、乙相遇为止,这样狗就以每小时5千米的速度整整跑了10小时(因为甲、乙相遇时间为50÷(3+2)=10小时),显然10×5=50
苏步青教授的高明之处就在于着眼于“狗不断地跑”这个全过程,抓住“直到甲、乙相遇为止。”这个整体去分析,这就把局部看来(狗来回每次与甲、乙相遇)十分繁锁的问题变得简单了,这启迪我们,在解数学题时,运用“观全局想整体”的思考方法,即着眼于问题的全过程,抓住其整体的特点,这样往往能达到化繁为简,变难为易的目的,促使问题的解决。
例2、父子两人在400米长的环形跑道上跑步,父亲平均每分钟跑240米,儿子平均每分钟跑200米,两人从同地同时同向出发,问几分钟后两人首次相遇?
分析:本题是行程问题的追及问题,它有两个相等关系:
父亲跑的路程—儿子跑路程=环形跑道的周长
父亲用的时间=儿子用的时间
解:经过x分钟两人首次相遇,根据题意得:
240x-200x=400
解之得:x=10,即经过10分钟父子两人首次相遇。
说明:在追及问题中常用的等量关系是:
(1)若甲、乙同地出发,甲先行,则乙追上甲时有:甲所走的路程=乙所走的路程,甲所用的时间=乙所用的时间+甲先行的时间。
(2)若甲、乙同时不同地出发,甲在乙后面,则甲追上乙时有:甲所走的路程=乙所走的路程+甲、乙出发时二者的差距;甲所用的时间=乙所用的时间。
此类题值得注意:在思考数学问题的时候,思维定势常常表现在,当问题的条件改变了,思考者仍按过去的习惯或从熟悉的
(下转159页)(上接67页)
角度去思考,从而产生了思维的误差。如:有一个跑马场,周长为600米,现在有A、B、C三匹马,A每分钟跑2圈,B每分钟跑3圈,C每分钟跑4圈,如果让这三匹马并排在起跑线上,同时往同一个方向跑,经过几分钟,这三匹马才能重新并排在起跑线上。
分析:受小学“求最小公倍数问题”的影响,有的同学是这样思考的:本题类似于求最小公倍数问题,由2,3,4的最小公倍数是12,于是得出“12分钟后三匹马才能重新并排在起跑线上。”
正确答案:每跑完1分钟后,三匹马又并排在起跑线上,因为每过1分钟,A跑完2圈,B跑完3圈,C跑完4圈,三匹马正好再一次在一起跑线上处于并排状态。
例3、一艘轮船从甲码头顺流而下到乙码头需要8小时,返回时需要12小时,已知水流速度是3米/时,求甲、乙两码头的距离。
分析:这是顺水、逆水航行问题,要注意如下速度关系:
顺水速度=静水速度+水流速度。
逆水速度=静水速度-水流速度。
本题中有两个不变量:
(1)轮船在静水的速度不变;(2)甲、乙两地的距离不变;
利用(1)列方程时,可直接设元,设甲、乙距离x千米,把顺水航行与逆水航行的相关数量列成下表:
显然可得方程得:x=144
利用(2)列方程,可采用间接设元,设轮船在静水中的速度x千米/时,把顺水和逆水的相关数量及其关系列成下表:
易得方程:8(x+3)=12(x-3)
解之得:x=15
故: 8(x+3)=144
說明:有关飞机在空中飞行问题可仿此例分析解决。
关键词:联生活 教“行程” 抓等量 把实质
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C【文章编号】1671-8437(2010)01-0067-01
数学是学生感兴趣的一门学科,因为它与实际生活联系紧密,可以解决很多实际问题,有一定的应用性.
方程是初中代数中主要内容之一,列方程解应用题既是重点,又是难点,而行程问题更为突出,这部份知识对培养学生分析问题、解决问题、发展学生思维能力是十分重要的。
行程类应用题是指路程、速度、时间这三个量有关的问题,在列一元一次方程解这类应用题时,我们常用的公式是:路程=速度×时间;速度=路程÷时间;时间=路程÷速度。
常见的问题背景有以下几种:
1 两人或两个物体的运动
当考虑两人或两个物体运动时,就有“相向”“同向”“背向”这三种情况,“相向而行”是指两者面对面地行进,其距离越来越近;“同向而行”是指两者的运动方向相同;“背向而行”是指两者背对背行进;如果两人或两个物体相向而行,到一定时间就会相遇;相遇后仍按原方向行进,就会变成背向而行,总之,相向而行与背向而行,其运动方向都是相反的,所以我们可作如下分类:两人(物体)运动方向相同→同向方向相反→相向背向
如果运动路线不是直线,而是一个圆圈(比如我们在操场上进行环形赛跑)情况就要复杂一些,这时两人(或物体)如果面对面跑,那么也就是背对背跑,而两人(或物体)的距离会呈现“增加—减少—增加—减少—增加……”的现象;如果不是面对面跑,而是同向跑,那么速度快的就会比速度慢的先多跑1圈,然后多跑2圈,3圈……这两人(或物体)的距离也会呈现,“增加—减少—增加—减少—增加……”的现象。对于这些情况,只要到操场上试一试或在纸上画幅图分析一下,就可以明白。
2 船在水中航行类问题
在行程问题中还有一类顺(逆)水航行的问题,如果航行的工具是轮船,那么常用的相等关系是:顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度—水流速度。
3 飞机在空中飞行类问题
如果航行的工具是飞机,那么常用的相等关系是:
顺风速度=无风时飞机速度+风速
逆风速度=无风时飞机速度—风速
下面我们来看一下这类问题的具体处理过程:
例1、我国著名数学家苏步青教授一次在德国访问,一位有名的德国数学家在电车上给他出了一道题:“甲乙两人相对而行,距离为50千米,甲每小时走3千米,乙每小时走2千米,甲带一只狗,狗每小时跑5千米,狗跑得比人走得快,同甲一起出发,碰到乙后又往甲方向走,碰到甲后,它又往乙方向跑,这样继续下去,问直到甲乙两人相遇,这只狗一共跑了多少千米?”
等下电车时,苏步青把答案告诉了这位数学家,这位数学家满意地笑了,苏步青给出的答案很简单:5×10=50,狗跑了10小时,跑了50千米的路。
我们设狗从甲出发第一次碰到乙时所用的时间为t1,所走路程为S1,再往回跑每两次遇见甲所花时间为t2,所走路程为S2,这样依次有t3、S3,t4、S4……直到甲、乙两人相遇为止,此时有tn、Sn,显然狗花时间为t1+t2+t3+t4+……+tn,所走路程为S1+S2+S3+S4+……+Sn,只要逐个算出,总能算出最终结果,这是通常的算法,然而决非好方法。
苏步青教授想到的却是:狗不断地跑,人出发到甲、乙相遇为止,这样狗就以每小时5千米的速度整整跑了10小时(因为甲、乙相遇时间为50÷(3+2)=10小时),显然10×5=50
苏步青教授的高明之处就在于着眼于“狗不断地跑”这个全过程,抓住“直到甲、乙相遇为止。”这个整体去分析,这就把局部看来(狗来回每次与甲、乙相遇)十分繁锁的问题变得简单了,这启迪我们,在解数学题时,运用“观全局想整体”的思考方法,即着眼于问题的全过程,抓住其整体的特点,这样往往能达到化繁为简,变难为易的目的,促使问题的解决。
例2、父子两人在400米长的环形跑道上跑步,父亲平均每分钟跑240米,儿子平均每分钟跑200米,两人从同地同时同向出发,问几分钟后两人首次相遇?
分析:本题是行程问题的追及问题,它有两个相等关系:
父亲跑的路程—儿子跑路程=环形跑道的周长
父亲用的时间=儿子用的时间
解:经过x分钟两人首次相遇,根据题意得:
240x-200x=400
解之得:x=10,即经过10分钟父子两人首次相遇。
说明:在追及问题中常用的等量关系是:
(1)若甲、乙同地出发,甲先行,则乙追上甲时有:甲所走的路程=乙所走的路程,甲所用的时间=乙所用的时间+甲先行的时间。
(2)若甲、乙同时不同地出发,甲在乙后面,则甲追上乙时有:甲所走的路程=乙所走的路程+甲、乙出发时二者的差距;甲所用的时间=乙所用的时间。
此类题值得注意:在思考数学问题的时候,思维定势常常表现在,当问题的条件改变了,思考者仍按过去的习惯或从熟悉的
(下转159页)(上接67页)
角度去思考,从而产生了思维的误差。如:有一个跑马场,周长为600米,现在有A、B、C三匹马,A每分钟跑2圈,B每分钟跑3圈,C每分钟跑4圈,如果让这三匹马并排在起跑线上,同时往同一个方向跑,经过几分钟,这三匹马才能重新并排在起跑线上。
分析:受小学“求最小公倍数问题”的影响,有的同学是这样思考的:本题类似于求最小公倍数问题,由2,3,4的最小公倍数是12,于是得出“12分钟后三匹马才能重新并排在起跑线上。”
正确答案:每跑完1分钟后,三匹马又并排在起跑线上,因为每过1分钟,A跑完2圈,B跑完3圈,C跑完4圈,三匹马正好再一次在一起跑线上处于并排状态。
例3、一艘轮船从甲码头顺流而下到乙码头需要8小时,返回时需要12小时,已知水流速度是3米/时,求甲、乙两码头的距离。
分析:这是顺水、逆水航行问题,要注意如下速度关系:
顺水速度=静水速度+水流速度。
逆水速度=静水速度-水流速度。
本题中有两个不变量:
(1)轮船在静水的速度不变;(2)甲、乙两地的距离不变;
利用(1)列方程时,可直接设元,设甲、乙距离x千米,把顺水航行与逆水航行的相关数量列成下表:
显然可得方程得:x=144
利用(2)列方程,可采用间接设元,设轮船在静水中的速度x千米/时,把顺水和逆水的相关数量及其关系列成下表:
易得方程:8(x+3)=12(x-3)
解之得:x=15
故: 8(x+3)=144
說明:有关飞机在空中飞行问题可仿此例分析解决。