论文部分内容阅读
逆向思维是分析问题时，从问题的反面入手寻求解题方法的一种思维模式.对于某些数学问题，用常规方法解题比较麻烦，若能打破常规，采用逆向思维的方法去思考问题往往会收到化繁为简，化难为易的效果.因此用逆向思维是解决数学问题的一种有效方式.
逆向思维大致分为几种：数学定义的逆用；数学公式的逆用；分析法-执果索因；反证法.这里我主要讨论一下分析法的应用.
一、分析法的定义
分析法是从问题的结论出发寻求其成立的充分条件的证明方法，即先假定所求的结果成立，分析使这个命题成立的条件，把证明这个命题转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原命题成立，在教学方法中特指由结果追溯到产生这一结果的原因的思维方式，我们称之为“执果索因”方法.
要证明命题“若A成立，则D成立”思考是可以由结论D出发向条件A回溯，先假定结论D成立，寻求D成立的原因，然后就各个原因分别研究，找出它们成立的条件逐步进行下去，最后达到条件A，从而证明了命题.
图1
例1如图1，在等腰三角形ABC的两腰AB及AC上分别取两点D和E，使AD=AE，F为BE与CD的交点，证明：FB=FC.
分析：本题要证结论成立FB=FC
只需∠FBC=∠FCB，因为有∠ABC=∠ACB，
所以只需证∠ABE=∠ACD，因此只要证△ABE≌△ACD，
而在△ABE和△ACD中，有AB=AC，AD=AE，∠A为
公共角，于是命题得证.
二、分析法的种类
在我们用分析法证明不同的题目时，可以用不同类型来证明，其中这些类型有：追溯型，构造型，可逆型，混合型等.
1.追溯型分析法
追溯型分析法是将研究的对象看成一个整体，假设它存在或成立的前提下，将它分解成几部分在研究各个部分成立的原因或条件，从而得出整体事物存在的原因或原命题成立的条件.
例2设x，y，z为互不相等的正数，求证：
x+yz+y+zx+z+xy>6.
分析：先将要证明的不等式
x+yz+y+zx+
z+xy>6看成一个整体，并且假设它成立，然后通过变形，将它分解成一些适当的部分
xz
+yz
+yx
+zx
+zy+xy>6
.再通过适当的组合，将不等式左端的各个部分进行结合而组成新的部分
（xz+zx）+
（yx+xy）+
（yz+zy）>6
再分析新的部分
（xz+zx），
（yx+xy），
（yz+zy），
由于
xz+zx=
x2+z2xz
>2，yx
+xy=y2+x2xy>2，
yz+zy
=y2+z2yz>2，
因而根据题设条件，这三部分显然成立，所以原不等式成立.
追溯型分析法的关键是如何将整体分析的各个部分重新组合，并找出新等式中成立的条件，即部分条件，从部分成立，可以推出整体成立，即“以点代面”.
2.构造型分析法
如果在结论向已知条件追溯的过程中，在寻找新的充分条件进行转化的时候，遇到了困难，这时需要采取相应的构造措施，在构造时要找相关的已知条件和相应的定理或公理，从而追溯到原命题的已知条件（或稍作变形处理）.
图2
例3（2013年苏州市初二期末试题）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，点D是斜边AC上的中点，过点D作斜边AC的垂线，交CB的延长线于点E，将DE绕点D按逆时针方向旋转60°后得到线段DF，连结AF、EF.
（1）求∠CED的度数；
（2）证明：四边形ABEF是矩形.
分析：（1）易得∠CED=30°.
（2）要证明四边形ABEF是矩形，很容易得∠ABC =90°， ∠BEF=∠CED+∠DEF=30°+60°=90°，所以AB∥EF.
因此只要证明AB=EF，就可以证得四边形ABEF是平行四边形，再有∠BEF=90°，从而可得四边形ABEF是矩形.但要证明AB=EF难度很大，先要看到△DEF是等边三角形，有EF=DE，再证DE=AB就要构造△ABC和△EDC全等，而在△ABC和△EDC中，∠BAC=∠CED=30°， ∠ABC=∠CDE=90°，CD=BC=
12AC，所以命题成立.
构造是一种重要的数学思维，它是创造能力较高的表现形式，没有固定的模式可循，应用构造法解题需要敏锐的观察、丰富的联系、灵活的构思及创造性的思维能力，在数学活动中教师应注意引导学生根据题目的特征类比相关知识，通过构造相关数学教学模型以达到解题的目的.
3.可逆型分析法
在结论到已知的过程中每一步都是充分必要条件，那么这种分析方法叫做可逆型分析法.它在证明的过程中常用的符号“”，最后指出上述每步可逆，故命题成立.
例4已知关于x的一元二次方程
x2+（m-2）x+12m-3=0.
求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根.
分析：这个方程总有两个不相等的实数根方程的△>0，而这个方程的Δ=b2-4ac=（m-2）2-4×1×（
12m-3）=m2-6m+10=（m-3）2+1>0.所以原命题成立.
4.混合型分析法
混合型分析法是从命题的充分性出发，从整体事物中成立的某一部分出发，寻找其他部分成立的条件导致中间的结果，再从命题的必要性出发，用追溯型分析法追溯至同一中间结果，进而获得全过程的思维方法.
例5如图3，已知四边形OABC是平行四边形（其中O为坐标原点），点A坐标为（4，0），BC所在直线l经过点D（0，1），E是OA
图3
边的中点，连结CE并延长，交线段BA的延长线于点F.
（1）求四边形ABCE的面积；
（2）若CF⊥BF，求点B的坐标.（2013年苏州市初二期末试题）
分析：（1）易求四边形ABCE的面积等于3.
（2）要求点B的坐标，
必求点C的坐标，要求点C的坐标
只要求得CD的长度就可以，由四边形
OABC是平行四边形可得OC∥FB，
所以∠OCF=∠BFC=90°，再作CG⊥OE，
这样求CD，只要设CD=x，在Rt△OCE中，
由勾股定理得OC2+CE2=OE2为等量关系，构造方程解得.
在Rt△OCG中，OC2=12+x2，在Rt△CGE中， CE2=12+（2-x）2.
所以1+x2+1+（2-x）2=22，解得x=1，所以点B的坐标为（5，1）
分析法是辩证的思维方法，它是通过对事物内在矛盾进行分析，分析矛盾的主要方面和次要方面，它在不同发展阶段有不同的特点，从分析过程中得出规律，从而得出解决这种矛盾的方法.分析法对于每个人在探求数学解题过程中是极为有效的，同时，它还在锻炼、培养和提高学生的逻辑思维能力.由于分析法重在探索和发现.在中学数学中，每一位教师都应该重视分析法在解题中的重要性，使每个学生养成辩证、严密思考的好习惯，并提高他们的分析问题和解决问题的能力.
[江苏省昆山市娄江实验学校 （215300）]
逆向思维大致分为几种：数学定义的逆用；数学公式的逆用；分析法-执果索因；反证法.这里我主要讨论一下分析法的应用.
一、分析法的定义
分析法是从问题的结论出发寻求其成立的充分条件的证明方法，即先假定所求的结果成立，分析使这个命题成立的条件，把证明这个命题转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原命题成立，在教学方法中特指由结果追溯到产生这一结果的原因的思维方式，我们称之为“执果索因”方法.
要证明命题“若A成立，则D成立”思考是可以由结论D出发向条件A回溯，先假定结论D成立，寻求D成立的原因，然后就各个原因分别研究，找出它们成立的条件逐步进行下去，最后达到条件A，从而证明了命题.
图1
例1如图1，在等腰三角形ABC的两腰AB及AC上分别取两点D和E，使AD=AE，F为BE与CD的交点，证明：FB=FC.
分析：本题要证结论成立FB=FC
只需∠FBC=∠FCB，因为有∠ABC=∠ACB，
所以只需证∠ABE=∠ACD，因此只要证△ABE≌△ACD，
而在△ABE和△ACD中，有AB=AC，AD=AE，∠A为
公共角，于是命题得证.
二、分析法的种类
在我们用分析法证明不同的题目时，可以用不同类型来证明，其中这些类型有：追溯型，构造型，可逆型，混合型等.
1.追溯型分析法
追溯型分析法是将研究的对象看成一个整体，假设它存在或成立的前提下，将它分解成几部分在研究各个部分成立的原因或条件，从而得出整体事物存在的原因或原命题成立的条件.
例2设x，y，z为互不相等的正数，求证：
x+yz+y+zx+z+xy>6.
分析：先将要证明的不等式
x+yz+y+zx+
z+xy>6看成一个整体，并且假设它成立，然后通过变形，将它分解成一些适当的部分
xz
+yz
+yx
+zx
+zy+xy>6
.再通过适当的组合，将不等式左端的各个部分进行结合而组成新的部分
（xz+zx）+
（yx+xy）+
（yz+zy）>6
再分析新的部分
（xz+zx），
（yx+xy），
（yz+zy），
由于
xz+zx=
x2+z2xz
>2，yx
+xy=y2+x2xy>2，
yz+zy
=y2+z2yz>2，
因而根据题设条件，这三部分显然成立，所以原不等式成立.
追溯型分析法的关键是如何将整体分析的各个部分重新组合，并找出新等式中成立的条件，即部分条件，从部分成立，可以推出整体成立，即“以点代面”.
2.构造型分析法
如果在结论向已知条件追溯的过程中，在寻找新的充分条件进行转化的时候，遇到了困难，这时需要采取相应的构造措施，在构造时要找相关的已知条件和相应的定理或公理，从而追溯到原命题的已知条件（或稍作变形处理）.
图2
例3（2013年苏州市初二期末试题）如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，点D是斜边AC上的中点，过点D作斜边AC的垂线，交CB的延长线于点E，将DE绕点D按逆时针方向旋转60°后得到线段DF，连结AF、EF.
（1）求∠CED的度数；
（2）证明：四边形ABEF是矩形.
分析：（1）易得∠CED=30°.
（2）要证明四边形ABEF是矩形，很容易得∠ABC =90°， ∠BEF=∠CED+∠DEF=30°+60°=90°，所以AB∥EF.
因此只要证明AB=EF，就可以证得四边形ABEF是平行四边形，再有∠BEF=90°，从而可得四边形ABEF是矩形.但要证明AB=EF难度很大，先要看到△DEF是等边三角形，有EF=DE，再证DE=AB就要构造△ABC和△EDC全等，而在△ABC和△EDC中，∠BAC=∠CED=30°， ∠ABC=∠CDE=90°，CD=BC=
12AC，所以命题成立.
构造是一种重要的数学思维，它是创造能力较高的表现形式，没有固定的模式可循，应用构造法解题需要敏锐的观察、丰富的联系、灵活的构思及创造性的思维能力，在数学活动中教师应注意引导学生根据题目的特征类比相关知识，通过构造相关数学教学模型以达到解题的目的.
3.可逆型分析法
在结论到已知的过程中每一步都是充分必要条件，那么这种分析方法叫做可逆型分析法.它在证明的过程中常用的符号“”，最后指出上述每步可逆，故命题成立.
例4已知关于x的一元二次方程
x2+（m-2）x+12m-3=0.
求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根.
分析：这个方程总有两个不相等的实数根方程的△>0，而这个方程的Δ=b2-4ac=（m-2）2-4×1×（
12m-3）=m2-6m+10=（m-3）2+1>0.所以原命题成立.
4.混合型分析法
混合型分析法是从命题的充分性出发，从整体事物中成立的某一部分出发，寻找其他部分成立的条件导致中间的结果，再从命题的必要性出发，用追溯型分析法追溯至同一中间结果，进而获得全过程的思维方法.
例5如图3，已知四边形OABC是平行四边形（其中O为坐标原点），点A坐标为（4，0），BC所在直线l经过点D（0，1），E是OA
图3
边的中点，连结CE并延长，交线段BA的延长线于点F.
（1）求四边形ABCE的面积；
（2）若CF⊥BF，求点B的坐标.（2013年苏州市初二期末试题）
分析：（1）易求四边形ABCE的面积等于3.
（2）要求点B的坐标，
必求点C的坐标，要求点C的坐标
只要求得CD的长度就可以，由四边形
OABC是平行四边形可得OC∥FB，
所以∠OCF=∠BFC=90°，再作CG⊥OE，
这样求CD，只要设CD=x，在Rt△OCE中，
由勾股定理得OC2+CE2=OE2为等量关系，构造方程解得.
在Rt△OCG中，OC2=12+x2，在Rt△CGE中， CE2=12+（2-x）2.
所以1+x2+1+（2-x）2=22，解得x=1，所以点B的坐标为（5，1）
分析法是辩证的思维方法，它是通过对事物内在矛盾进行分析，分析矛盾的主要方面和次要方面，它在不同发展阶段有不同的特点，从分析过程中得出规律，从而得出解决这种矛盾的方法.分析法对于每个人在探求数学解题过程中是极为有效的，同时，它还在锻炼、培养和提高学生的逻辑思维能力.由于分析法重在探索和发现.在中学数学中，每一位教师都应该重视分析法在解题中的重要性，使每个学生养成辩证、严密思考的好习惯，并提高他们的分析问题和解决问题的能力.
[江苏省昆山市娄江实验学校 （215300）]