【摘 要】
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Based on a recent work of Mancini and Thizy (2019),we obtain the nonexistence of extremals for an inequality of Adimurthi and Druet (2004) on a closed Riemann s
【机 构】
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Department of Mathematics, Renmin University of China, Beijing 100872, China
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Based on a recent work of Mancini and Thizy (2019),we obtain the nonexistence of extremals for an inequality of Adimurthi and Druet (2004) on a closed Riemann surface (∑,g).Precisely,if λ1 (∑) is the first eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator with respect to the zero mean value condition,then there exists a positive real number α* ＜ λ1(∑) such that for all α ∈ (α*,λ1(∑)),the supremum u∈W1,2(∑,g),f∑sup udvg=0,‖▽gu‖2≤1∫∑exp(4πu2(1 + α‖u‖22))dvgcannot be attained by any u ∈ W1,2(∑,g) with f∑ udvg =0 and ‖▽gu‖2 ≤ 1,where W1,2(∑,g) denotes the usual Sobolev space and ‖· ‖2 =(∫∑ |· |2dvg)1/2 denotes the L2(∑,g)-norm.This complements our earlier result in Yang (2007).
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