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导数与曲线的切线有着密切的联系:[f(x0)]表示函数[y=f(x)在x=x0]处的瞬时变化率，其几何意义是曲线[y=f(x)]在点[(x0,f(x0))]处切线的斜率，其物理意义通常是指物体运动时的瞬时速度．曲线的切线反映了曲线的变化情况，用曲线的切线的变化来近似刻画曲线的变化，体现了微积分中重要的思想方法——以直代曲．因此，利用导数研究曲线的性质，几乎是高考每年的必考内容．
一、求曲线在某点处的切线方程
用导数求切线方程的关键在于求出切点[P(x0，y0)]及斜率，其求法为：设[P(x0，y0)]是曲线[y=f(x)]上的一点，则以[P]的切点的切线方程为：[y-y0=f(x0)(x-x0)]．若[y=f(x)]在点[P(x0，f(x0))]的切线平行于[y]轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为[x=x0]．
类型1 已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只需求出曲线的导数[f(x)]，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线[y=xx+2]在点[(-1,-1)]处的切线方程为 .
解析 由[f(x)=x+2-x(x+2)2=2(x+2)2]则在点[(-1,-1)]处斜率[k=f(-1)=2]，故所求的切线方程为[y+1=2(x+1)]，即[y=2x+1]．
类型2 已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可先利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2 与直线[2x-y+4=0]的平行的抛物线[y=x2]的切线方程是 .
解析 设[P(x0，y0)]为切点，则切点的斜率为[y|x=x0=2x0=2]．[∴x0=1]．
由此得到切点[(1，1)]．
故切线方程为[y-1=2(x-1)]，即[2x-y-1=0]．
类型3 已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点．
例3 求过曲线[y=x3-2x]上的点[(1,-1)]的切线方程．
解析 设[P(x0，y0)]为切点，则切线的斜率为[y|x=x0=3x02-2]．
[∴]切线方程为[y-y0=(3x02-2)(x-x0).]
即[y-(x03-2x0)=(3x02-2)(x-x0)]．
又知切线过点[(1，-1)]，把它代入上述方程，得
[-1-(x03-2x0)=(3x02-2)(1-x0)]．
解得[x0=1]或[x0=-12]．
故所求切线方程为[y-(1-2)=(3-2)(x-1)]或[y--18+1=34-2x+12]，
即[x-y-2=0]或[5x+4y-1=0]．
容易发现直线[5x+4y-1=0]并不以[(1,-1)]为切点，实际上是经过了点[(1,-1)]且以[-12，78]为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点.
类型4 已知过曲线外一点，求切线方程
此类题与类型3相似，不同之处在于类型3是点在曲线上，类型4是点在曲线外，但解法一致．即先设切点，再求切点．
例4 求过点[(3,5)]且与曲线[y=x2]相切的直线方程．
解析 设[P(x0，y0)]为切点，则切线的斜率为[yx=x0=2x0]．
[∴]切线方程为[y-y0=2x0(x-x0)]，
即[y-x02=2x0x-2x02]．
又已知切线过点[(3,5)]，把它代入上述方程得，
[5-x02=6x0-2x02]．
解得[x0=1或x0=5].
[∴]切点坐标为[(1,1)]，[(5,25)]．
[∴]切线方程为[2x-y-1=0,10x-y-25=0]．
点拨 在试题中，如果点[A]是切点，则化为类型1；如果切线过点[A]，则化为类型3或类型4．
二、切线的综合应用
引入导数后，切线方程的综合性明显加强，极易和其它数学知识相结合，成为新旧知识的一个交汇点，极大地丰富了和切线方程相关的题型．
例5 已知点[P]在曲线[y=4ex+1]上，[α]为曲线在点[P]处的切线的倾斜角，则[α]的取值范围是 ．
解析 此题是切线方程和不等式的综合应用，利用导数求解非常简便．
∵[f(x)=-4⋅ex(ex+1)2=-4exe2x+2ex+1]
[=-4ex+1ex+2,]
又∵[ex+1ex≥2]， ∴[-1≤k<0]．
由导数的几何意义知：[3π4≤α<π]．
例6 设[a>0]，[f(x)=ax2+bx+c], 曲线[y=f (x)]在点[(x0, f(x0))]处切线的倾斜角的取值范围为[0,π4]，则[P]到曲线[y=f(x)]对称轴距离的取值范围为（ ）
解析 此题是切线方程和点到直线距离的综合应用．
∵切线的倾斜角的取值范围为[0,π4]，
∴切线的斜率[k]的取值范围为[0,1].
又因为[f(x)=2ax+b],
则[k=f(x0)=2ax0+b]，∴[0≤2ax0+b≤1.]
∵[P]到曲线[y=f(x)]对称轴距离
[d=|x0－(-b2a)|=][|2ax0+b|2a,]
∴[0≤d≤12a]．
例7 已知函数[f(x)=x3-x]．
（1）求曲线[y=f(x)]在点[(t,f(t))]的切线方程；
（2）设[a>0],如果过点[(a,b)]可作曲线[y=f(x)]的三条切线，证明: [-a 分析 第一问，由导数的几何意义容易求解切线方程问题；第二问，难点就在于由条件“过点[(a,b)]可作曲线[y=f(x)]的三条切线”找到解题的突破口，而其中的关键是先把问题转化为方程问题再求解．
解 （1）[y=(3t2-1)x-2t3]（过程略）
（2）如果有一条切线过点[(a,b)]，则存在[t]，使[b=(3t2-1)a-2t3]．于是，若过点[(a,b)]可作曲线[y=f(x)]的三条切线，则方程[2t3-3at2+a+b=0]有三个相异的实数根．
记[g(t)=2t3-3at2+a+b]，
则[g(t)=6t2-6at][=6t(t-a)]．
当[t]变化时，[g(t)、g(t)]变化情况如下表：
[[t]&[(-∞,0)]&0&[(0,a)]&[a]&[(a,+∞)]&[g(t)]&[+]&0&[-]&0&[+]&[g(t)]&[↗]&极大值[a+b]&[↘]&极小值[b-f(a)]&[↗]&]
由[g(t)]的单调性，当极大值[a+b<0]或极小值[b-f(a)>0]时，方程[g(t)=0]最多有一个实数根.
当[a+b=0]时，解方程[g(t)=0]得[t=0，t=3a2].
即方程[g(t)=0]只有两个相异的实数根.
当[b-f(a)=0]时，
解方程[g(t)=0]得[t=-a2，t=a].
即方程[g(t)=0]只有两个相异的实数根.
综上，如果过[(a，b)]可作曲线[y=f(x)]三条切线，即[g(t)=0]有三个相异的实数根，则[a+b>0，b-f(a)<0.]即 [-a
点拨 从本题可以看出，导数已成为命题的一个重要工具，通过导数实现了函数与方程、不等式、曲线的切线等多方面知识的交汇，并巧妙渗透着数形结合、分类讨论等数学思想方法．此题只要把切线问题转化为方程根的个数问题，再运用数形结合，容易发现解决问题的关键之所在．
1. 若曲线[y=h(x)]在点[P(a,h(a))]处的切线方程为[2x+y+1=0]，那么（ ）
A. [h(a)=0] B. [h(a)<0]
C. [h(a)>0] D. [h(a)]不确定
2.下面说法正确的是（ ）
A. 若[f(x0)]不存在，则曲线[y=f(x)]在点[(x0，f(x0))]处没有切线
B. 若曲线[y=f(x)]在点[(x0，f(x0))]处有切线，则[f(x0)]必存在
C. [f(x0)]不存在，则曲线[y=f(x)]在点[(x0，f(x0))]处的切线斜率不存在
D. 若曲线[y=f(x)]在点[(x0，f(x0))]处没有切线，则[f(x0)]有可能存在
3. 如果曲线[y=f(x)]在点[(2,3)]处的切线过点[(-1,2)]，则有（ ）
A. [f(2)<0] B. [f(2)=0]
C. [f(2)>0] D. [f(2)不存在]
4. 设曲线[y=x+1x-1]在点（3,2）处的切线与直线[ax+y+1=0]垂直，则[a=]（ ）
A. 2 B. -2
C. [-12] D. [12]
5.设[a∈R]，函数[f(x)=ex-a⋅e-x]的导函数[y=f(x)]是奇函数，若曲线[y=f(x)]的一条切线斜率为[32]，且切点的横坐标为（ ）
A. [ln22] B. [-ln22]
C. [ln2] D. [-ln2]
6. 已知函数[f(x)=ax2-1]的图象在点[A(1，f(1))]处的切线[l]与直线[8x-y+2=0]平行，若数列[1f(n)]的前[n]项和为[Sn]，则[S2010]的值为（ ）
A．[20102011] B．[10052011]
C．[40204021] D．[20104021]
7. 如图，函数[y=f(x)]的图象在点[P]处的切线方程是[y=-x+8]，则[f(5)+f(5)=] .
8. 过点[P(-1，2)]且与曲线[y=3x2-4x+2]在点[M(1，1)]处的切线平行的直线方程是 ．
9. 已知抛物线[f(x)=ax2+bx-7]通过点[(1，1)]，且过此点的切线方程为[4x-y-3=0]，求[a、b]的值．
10. 设函数[f(x)=lnx-12ax2-bx.]
（1）当[a=b=12]时，求[f(x)]的最大值；
（2）令[F(x)+12ax2+bx+ax(0
1~6 BCCBCD
7. 2 8. [2x-y+4=0] 9. [a=-4,b=12]
10. （1）[-34]; （2）[a≥12]
用导数求切线方程的关键在于求出切点[P(x0，y0)]及斜率，其求法为：设[P(x0，y0)]是曲线[y=f(x)]上的一点，则以[P]的切点的切线方程为：[y-y0=f(x0)(x-x0)]．若[y=f(x)]在点[P(x0，f(x0))]的切线平行于[y]轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为[x=x0]．
类型1 已知切点，求曲线的切线方程
此类题较为简单，只需求出曲线的导数[f(x)]，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线[y=xx+2]在点[(-1,-1)]处的切线方程为 .
解析 由[f(x)=x+2-x(x+2)2=2(x+2)2]则在点[(-1,-1)]处斜率[k=f(-1)=2]，故所求的切线方程为[y+1=2(x+1)]，即[y=2x+1]．
类型2 已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可先利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．
例2 与直线[2x-y+4=0]的平行的抛物线[y=x2]的切线方程是 .
解析 设[P(x0，y0)]为切点，则切点的斜率为[y|x=x0=2x0=2]．[∴x0=1]．
由此得到切点[(1，1)]．
故切线方程为[y-1=2(x-1)]，即[2x-y-1=0]．
类型3 已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点．
例3 求过曲线[y=x3-2x]上的点[(1,-1)]的切线方程．
解析 设[P(x0，y0)]为切点，则切线的斜率为[y|x=x0=3x02-2]．
[∴]切线方程为[y-y0=(3x02-2)(x-x0).]
即[y-(x03-2x0)=(3x02-2)(x-x0)]．
又知切线过点[(1，-1)]，把它代入上述方程，得
[-1-(x03-2x0)=(3x02-2)(1-x0)]．
解得[x0=1]或[x0=-12]．
故所求切线方程为[y-(1-2)=(3-2)(x-1)]或[y--18+1=34-2x+12]，
即[x-y-2=0]或[5x+4y-1=0]．
容易发现直线[5x+4y-1=0]并不以[(1,-1)]为切点，实际上是经过了点[(1,-1)]且以[-12，78]为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点.
类型4 已知过曲线外一点，求切线方程
此类题与类型3相似，不同之处在于类型3是点在曲线上，类型4是点在曲线外，但解法一致．即先设切点，再求切点．
例4 求过点[(3,5)]且与曲线[y=x2]相切的直线方程．
解析 设[P(x0，y0)]为切点，则切线的斜率为[yx=x0=2x0]．
[∴]切线方程为[y-y0=2x0(x-x0)]，
即[y-x02=2x0x-2x02]．
又已知切线过点[(3,5)]，把它代入上述方程得，
[5-x02=6x0-2x02]．
解得[x0=1或x0=5].
[∴]切点坐标为[(1,1)]，[(5,25)]．
[∴]切线方程为[2x-y-1=0,10x-y-25=0]．
点拨 在试题中，如果点[A]是切点，则化为类型1；如果切线过点[A]，则化为类型3或类型4．
引入导数后，切线方程的综合性明显加强，极易和其它数学知识相结合，成为新旧知识的一个交汇点，极大地丰富了和切线方程相关的题型．
例5 已知点[P]在曲线[y=4ex+1]上，[α]为曲线在点[P]处的切线的倾斜角，则[α]的取值范围是 ．
解析 此题是切线方程和不等式的综合应用，利用导数求解非常简便．
∵[f(x)=-4⋅ex(ex+1)2=-4exe2x+2ex+1]
[=-4ex+1ex+2,]
又∵[ex+1ex≥2]， ∴[-1≤k<0]．
由导数的几何意义知：[3π4≤α<π]．
例6 设[a>0]，[f(x)=ax2+bx+c], 曲线[y=f (x)]在点[(x0, f(x0))]处切线的倾斜角的取值范围为[0,π4]，则[P]到曲线[y=f(x)]对称轴距离的取值范围为（ ）
解析 此题是切线方程和点到直线距离的综合应用．
∵切线的倾斜角的取值范围为[0,π4]，
∴切线的斜率[k]的取值范围为[0,1].
又因为[f(x)=2ax+b],
则[k=f(x0)=2ax0+b]，∴[0≤2ax0+b≤1.]
∵[P]到曲线[y=f(x)]对称轴距离
[d=|x0－(-b2a)|=][|2ax0+b|2a,]
∴[0≤d≤12a]．
例7 已知函数[f(x)=x3-x]．
（1）求曲线[y=f(x)]在点[(t,f(t))]的切线方程；
（2）设[a>0],如果过点[(a,b)]可作曲线[y=f(x)]的三条切线，证明: [-a
解 （1）[y=(3t2-1)x-2t3]（过程略）
（2）如果有一条切线过点[(a,b)]，则存在[t]，使[b=(3t2-1)a-2t3]．于是，若过点[(a,b)]可作曲线[y=f(x)]的三条切线，则方程[2t3-3at2+a+b=0]有三个相异的实数根．
记[g(t)=2t3-3at2+a+b]，
则[g(t)=6t2-6at][=6t(t-a)]．
当[t]变化时，[g(t)、g(t)]变化情况如下表：
[[t]&[(-∞,0)]&0&[(0,a)]&[a]&[(a,+∞)]&[g(t)]&[+]&0&[-]&0&[+]&[g(t)]&[↗]&极大值[a+b]&[↘]&极小值[b-f(a)]&[↗]&]
由[g(t)]的单调性，当极大值[a+b<0]或极小值[b-f(a)>0]时，方程[g(t)=0]最多有一个实数根.
当[a+b=0]时，解方程[g(t)=0]得[t=0，t=3a2].
即方程[g(t)=0]只有两个相异的实数根.
当[b-f(a)=0]时，
解方程[g(t)=0]得[t=-a2，t=a].
即方程[g(t)=0]只有两个相异的实数根.
综上，如果过[(a，b)]可作曲线[y=f(x)]三条切线，即[g(t)=0]有三个相异的实数根，则[a+b>0，b-f(a)<0.]即 [-a
1. 若曲线[y=h(x)]在点[P(a,h(a))]处的切线方程为[2x+y+1=0]，那么（ ）
A. [h(a)=0] B. [h(a)<0]
C. [h(a)>0] D. [h(a)]不确定
2.下面说法正确的是（ ）
A. 若[f(x0)]不存在，则曲线[y=f(x)]在点[(x0，f(x0))]处没有切线
B. 若曲线[y=f(x)]在点[(x0，f(x0))]处有切线，则[f(x0)]必存在
C. [f(x0)]不存在，则曲线[y=f(x)]在点[(x0，f(x0))]处的切线斜率不存在
D. 若曲线[y=f(x)]在点[(x0，f(x0))]处没有切线，则[f(x0)]有可能存在
3. 如果曲线[y=f(x)]在点[(2,3)]处的切线过点[(-1,2)]，则有（ ）
A. [f(2)<0] B. [f(2)=0]
C. [f(2)>0] D. [f(2)不存在]
4. 设曲线[y=x+1x-1]在点（3,2）处的切线与直线[ax+y+1=0]垂直，则[a=]（ ）
A. 2 B. -2
C. [-12] D. [12]
5.设[a∈R]，函数[f(x)=ex-a⋅e-x]的导函数[y=f(x)]是奇函数，若曲线[y=f(x)]的一条切线斜率为[32]，且切点的横坐标为（ ）
A. [ln22] B. [-ln22]
C. [ln2] D. [-ln2]
6. 已知函数[f(x)=ax2-1]的图象在点[A(1，f(1))]处的切线[l]与直线[8x-y+2=0]平行，若数列[1f(n)]的前[n]项和为[Sn]，则[S2010]的值为（ ）
A．[20102011] B．[10052011]
C．[40204021] D．[20104021]
7. 如图，函数[y=f(x)]的图象在点[P]处的切线方程是[y=-x+8]，则[f(5)+f(5)=] .
8. 过点[P(-1，2)]且与曲线[y=3x2-4x+2]在点[M(1，1)]处的切线平行的直线方程是 ．
9. 已知抛物线[f(x)=ax2+bx-7]通过点[(1，1)]，且过此点的切线方程为[4x-y-3=0]，求[a、b]的值．
10. 设函数[f(x)=lnx-12ax2-bx.]
（1）当[a=b=12]时，求[f(x)]的最大值；
（2）令[F(x)+12ax2+bx+ax(0
1~6 BCCBCD
7. 2 8. [2x-y+4=0] 9. [a=-4,b=12]
10. （1）[-34]; （2）[a≥12]