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一、变式学习法
在教学中，变式学习法是指从一道题目出发，通过改变题目的条件、问题或改变题目设计的情景，重新进行讨论的一种教学方法。学生可以沿用课本中的概念、例题、习题为素材，然后对它进行变式，使它“高于课本”。变式的常用方法有一题多解、多题一解、一题多变、一图多问等。
1.一题多解。启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用学过的数学方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题。一题多解在数学学习中，得到学生的普遍运用。比如，在解答立体几何问题时，可以利用定理、概念、公式直接求解，也可以利用空间向量的知识来解决问题。一些数学问题可以用综合法、分析法、数形结合等方法解答。
2.多题一解。多道题目，类形一样，它们的解题方法相同。在探索数学问题时，善于把类型相同的题目进行归纳出一般的解题规律，是一种有效的学习数学的方法。
如以下几种题形，都是使用相同的解题方法(利用對称性及几何性质解决问题)。
类型1：在同一平面内，在直线a的两侧有两定点A、B，在直线a上求一点P，使PA＋PB最小。
类型2：已知一定直线a及两定点A、B，直线a与直线AB异面，在直线a上求一点P，使PA＋PB最小。
类型3：已知平面M及其同侧两定点A、B，在平面M内求一点P，使PA＋PB最小。
3.一题多变。改变问题的条件，在变异的内容和能力的要求上，则浅入深，从简单到复杂，而在问题的内在与外表特征上却保持相近。
原题：指出函数f(x)＝－x2＋x－6的单调区间。
变式1：指出函数f(x)＝|－x2＋x－6|的单调区间。
变式2：指出函数f(x)＝■的单调区间。
变式3：指出函数f(x)＝－(■)■的单调区间。
4.一图多问。在不改变图形问题的前提下，有梯度的向纵深发展，挖掘出新的结论。
题目：过抛物线y2＝2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2＝-p2。
结论变式1：x1x2＝？或者问■A·■B＝？
结论变式2：焦点弦长|AB|＝？或者问，焦点弦长|AB|的最小值是什么？
结论变式3：■+■＝？
二、联想学习法
探究数学问题中的联想，不是漫无边际的幻想，而是通过观察，抓住数学问题有关部分的特性，以及它们之间的某种联系，回忆自己学过的知识，把所探究的问题归化到熟悉的问题和正确的情境中，弄清楚问题的实质，全面把握数学问题。常见的有类比联想、逆向联想、关系联想、横向联想等。
1.类比联想法。在数学学习过程中，抓住问题的相同、相似、相近的性质，把它们联系在一起，通过对比，归纳出共同特点以及本质上的区别，加深对数学问题的理解。
类型1：过定点的弦的中点的轨迹方程。
类型2：有定向动弦的中点的轨迹方程。
类型3：弦长为定值的中点的轨迹方程。
2.逆向联想法。在解决问题时，通常会出现正面解决有困难，联想到从它的反面或者从另一个角度去思考，从而使问题妥善解决，也就是常说的反证法、同一法等学习方法。
求二项式展开式(15■x-y)15中所有无理数系数之和。
分析：此二项式的展开式中，系数是有理数的只有首项和末项，即3x15和(－y)15，其系数之和为2，又此展开式中各项系数之和为(15■x-y)15，故展开式中所有无理数系数之和为(15■x-1)15-2。
3.关系联想法。在探索数学问题的过程中，往往通过抓住问题的有关部分的特征，以及它们之间的关系的某种联系，根据知识之间的从属关系、因果关系、形似关系进行的一种联想。
题目：长方形ABCD－A′B′C′D′的八个顶点中，任意连结两个顶点的所有线段中，互相异面的有多少对？
联想到不共面的四个顶点构成一个四面体，它的六条棱中，互相异面的有三对，问题转化为长方体的八个顶点可以作出多少个不同的四面体。
4.横向联想法。数学各分支之间，数学与物理、化学、生物、地理等学科之间的联想，利用横向联想，可使所探究的问题“举一反三”、“触类旁通”。
题目1：求函数y＝■取值范围。
本题的解决方法，可以用三角函数的性质求解，也可以通过数形结合利用解析几何的知识求解。
题目2：已知某质点运动方程为S(t)＝■－at，要使在t∈[0，∞)上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于1，求实数a的取值范围。
分析：质点在每一时刻的瞬时速度与导数的物理意义一致。
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在教学中，变式学习法是指从一道题目出发，通过改变题目的条件、问题或改变题目设计的情景，重新进行讨论的一种教学方法。学生可以沿用课本中的概念、例题、习题为素材，然后对它进行变式，使它“高于课本”。变式的常用方法有一题多解、多题一解、一题多变、一图多问等。
1.一题多解。启发和引导学生从不同角度、不同思路，运用学过的数学方法和不同的运算过程，解答同一道数学问题。一题多解在数学学习中，得到学生的普遍运用。比如，在解答立体几何问题时，可以利用定理、概念、公式直接求解，也可以利用空间向量的知识来解决问题。一些数学问题可以用综合法、分析法、数形结合等方法解答。
2.多题一解。多道题目，类形一样，它们的解题方法相同。在探索数学问题时，善于把类型相同的题目进行归纳出一般的解题规律，是一种有效的学习数学的方法。
如以下几种题形，都是使用相同的解题方法(利用對称性及几何性质解决问题)。
类型1：在同一平面内，在直线a的两侧有两定点A、B，在直线a上求一点P，使PA＋PB最小。
类型2：已知一定直线a及两定点A、B，直线a与直线AB异面，在直线a上求一点P，使PA＋PB最小。
类型3：已知平面M及其同侧两定点A、B，在平面M内求一点P，使PA＋PB最小。
3.一题多变。改变问题的条件，在变异的内容和能力的要求上，则浅入深，从简单到复杂，而在问题的内在与外表特征上却保持相近。
原题：指出函数f(x)＝－x2＋x－6的单调区间。
变式1：指出函数f(x)＝|－x2＋x－6|的单调区间。
变式2：指出函数f(x)＝■的单调区间。
变式3：指出函数f(x)＝－(■)■的单调区间。
4.一图多问。在不改变图形问题的前提下，有梯度的向纵深发展，挖掘出新的结论。
题目：过抛物线y2＝2px的焦点F的一条直线和此抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求证：y1y2＝-p2。
结论变式1：x1x2＝？或者问■A·■B＝？
结论变式2：焦点弦长|AB|＝？或者问，焦点弦长|AB|的最小值是什么？
结论变式3：■+■＝？
二、联想学习法
探究数学问题中的联想，不是漫无边际的幻想，而是通过观察，抓住数学问题有关部分的特性，以及它们之间的某种联系，回忆自己学过的知识，把所探究的问题归化到熟悉的问题和正确的情境中，弄清楚问题的实质，全面把握数学问题。常见的有类比联想、逆向联想、关系联想、横向联想等。
1.类比联想法。在数学学习过程中，抓住问题的相同、相似、相近的性质，把它们联系在一起，通过对比，归纳出共同特点以及本质上的区别，加深对数学问题的理解。
类型1：过定点的弦的中点的轨迹方程。
类型2：有定向动弦的中点的轨迹方程。
类型3：弦长为定值的中点的轨迹方程。
2.逆向联想法。在解决问题时，通常会出现正面解决有困难，联想到从它的反面或者从另一个角度去思考，从而使问题妥善解决，也就是常说的反证法、同一法等学习方法。
求二项式展开式(15■x-y)15中所有无理数系数之和。
分析：此二项式的展开式中，系数是有理数的只有首项和末项，即3x15和(－y)15，其系数之和为2，又此展开式中各项系数之和为(15■x-y)15，故展开式中所有无理数系数之和为(15■x-1)15-2。
3.关系联想法。在探索数学问题的过程中，往往通过抓住问题的有关部分的特征，以及它们之间的关系的某种联系，根据知识之间的从属关系、因果关系、形似关系进行的一种联想。
题目：长方形ABCD－A′B′C′D′的八个顶点中，任意连结两个顶点的所有线段中，互相异面的有多少对？
联想到不共面的四个顶点构成一个四面体，它的六条棱中，互相异面的有三对，问题转化为长方体的八个顶点可以作出多少个不同的四面体。
4.横向联想法。数学各分支之间，数学与物理、化学、生物、地理等学科之间的联想，利用横向联想，可使所探究的问题“举一反三”、“触类旁通”。
题目1：求函数y＝■取值范围。
本题的解决方法，可以用三角函数的性质求解，也可以通过数形结合利用解析几何的知识求解。
题目2：已知某质点运动方程为S(t)＝■－at，要使在t∈[0，∞)上的每一时刻的瞬时速度的绝对值都不大于1，求实数a的取值范围。
分析：质点在每一时刻的瞬时速度与导数的物理意义一致。
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