论文部分内容阅读
对于数学思维的突出强调是国际范围内新一轮数学课程改革的一个重要特征，如由美国的《学校数学课程与评估的标准》和我国的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）关于数学教育目标的论述中就可清楚地看出。然而，就小学数学教育的现实而言，上述的理念还不能说已经得到了很好的贯彻，而造成这一现象的一个重要原因就是以下的认识：小学数学的教学内容过于简单，因而不可能很好地体现数学思维的特点。以下将依据国际上的相关研究对这一观点作出具体分析，希望能促进这一方向上的深入研究，从而能够对于实际教学活动发挥积极的导向作用。
一、数学化：数学思维的基本形式
众所周知，强调与现实生活的联系正是新一轮数学课程改革的一个重要特征。"数学课程的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。"[1]就努力改变传统数学教育严重脱离实际的弊病而言，这一做法是完全正确的；但是，从更为深入的角度去分析，我们在此则又面临着这样一个问题，即应当如何去处理"日常数学"与"学校数学"之间的关系。
事实上，即使就最为初等的数学内容而言，我们也可清楚地看到数学的抽象特点，而这就已包括了由"日常数学"向"学校数学"的重要过渡。
综上可见，即使就正整数的加减法此类十分初等的题材而言，就已十分清楚地体现了数学思维的一些重要特点，特别是体现了在现实意义与纯数学研究这两者之间所存在的辩证关系。当然，从理论的角度看，我们在此又应考虑这样的问题，即应当如何去认识所说的纯数学研究的意义。特别是，我们是否应当明确肯定由"日常数学"过渡到"学校数学"的必要性，或是应当唯一地坚持立足于现实生活。
由于后一问题的全面分析已经超出了本文的范围，在此仅指明这样一点：与现实意义在一定程度上的分离对于学生很好地把握相应的数量关系是十分重要的。这正是国际上的相关研究、特别是近年来所兴起的"民俗数学"研究的一个重要结论：尽管"日常数学"具有密切联系实际的优点，但也有着明显的局限性。例如，如果仅仅依靠"自发的数学能力"，人们往往就不善于从反面去思考问题，与此相对照，通过学校中的学习，上述的情况就会有很大改变，这就是说，纯数学的研究"在帮助学生学会使用逆运算来解决问题方面有着明显的效果"；另外，同样重要的是，如果局限于特定的现实情景，所学到的数学知识在"可迁移性"方面也会表现出很大的局限性。
二、凝聚：算术思维的基本形式
由以下关于算术思维基本形式的分析可以看出，思维的分析相对于具体知识内容的教学而言并非某种外加的成分，而是有着重要的指导意义。
具体地说，这正是现代关于数学思维研究的一项重要成果，即指明了所谓的"凝聚"，也即由"过程"向"对象"的转化构成了算术以及代数思维的基本形式，这也就是说，在数学特别是算术和代数中有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终却又转化成了一个对象──对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的运算。
例如，加减法在最初都是作为一种过程得到引进的，即代表了这样的"输入-输出"过程：由两个加数（被减数与减数）我们就可求得相应的和（差）；然而，随着学习的深入，这些运算又逐渐获得了新的意义：它们已不再仅仅被看成一个过程，而且也被认为是一个特定的数学对象，我们可具体地去指明它们所具有的各种性质，如交换律、结合律等，从而，就其心理表征而言，就已经历了一个"凝聚"的过程，即由一个包含多个步骤的运作过程凝聚成了单一的数学对象。
三、互补与整合：数学思维的一个重要特征
以上关于"过程-对象性思维"的论述显然已从一个侧面表明了互补与整合这一思维形式对于数学的特殊重要性。以下再以有理数的学习为例对此作出进一步的说明。
首先，我们应注意同一概念的不同解释间的互补与整合。
具体地说，与加减法一样，有理数的概念也存在多种不同的解释，如部分与整体的关系，商，算子或函数，度量，等等；但是，正如人们所已普遍认识到了的，就有理数的理解而言，关键恰又在于不应停留于某种特定的解释，更不能将各种解释看成互不相关、彼此独立的；而应对有理数的各种解释（或者说，相应的心理建构）很好地加以整合，也即应当将所有这些解释都看成同一概念的不同侧面，并能根据情况与需要在这些解释之间灵活地作出必要的转换。
其次，我们应注意不同表述形式之间的相互补充与相互作用。
这也正是新一轮数学课程改革的一个重要特征，即突出强调学生的动手实践、主动探索与合作交流："有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式......教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。"由于实践活动（包括感性经验）构成了数学认识活动的重要基础，合作交流显然应被看成学习活动社会性质的直接体现和必然要求，因此，从这样的角度去分析，上述的主张就是完全合理的。
再次，我们应清楚地看到解题方法的多样性及其互补关系。
众所周知，大力提倡解题策略的多样化也是新一轮数学课程改革的一个重要特征："由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应当尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。"[7]（53）当然，在大力提倡解题策略多样化的同时，我们还应明确肯定思维优化的必要性，这就是说，我们不应停留于对于不同方法在数量上的片面追求，而应通过多种方法的比较帮助学生学会鉴别什么是较好的方法，包括如何依据不同的情况灵活地去应用各种不同的方法。显然，后者事实上也就从另一个角度更为清楚地表明了"互补与整合"确应被看成数学思维的一个重要特点。
综上可见，即使是小学数学的教学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特征性质，因此，在教学中我们应作出切实的努力以很好地落实"帮助学生学会基本的数学思想方法"这一重要目标。
一、数学化：数学思维的基本形式
众所周知，强调与现实生活的联系正是新一轮数学课程改革的一个重要特征。"数学课程的内容一定要充分考虑数学发展进程中人类的活动轨迹，贴近学生熟悉的现实生活，不断沟通生活中的数学与教科书上数学的联系，使生活和数学融为一体。"[1]就努力改变传统数学教育严重脱离实际的弊病而言，这一做法是完全正确的；但是，从更为深入的角度去分析，我们在此则又面临着这样一个问题，即应当如何去处理"日常数学"与"学校数学"之间的关系。
事实上，即使就最为初等的数学内容而言，我们也可清楚地看到数学的抽象特点，而这就已包括了由"日常数学"向"学校数学"的重要过渡。
综上可见，即使就正整数的加减法此类十分初等的题材而言，就已十分清楚地体现了数学思维的一些重要特点，特别是体现了在现实意义与纯数学研究这两者之间所存在的辩证关系。当然，从理论的角度看，我们在此又应考虑这样的问题，即应当如何去认识所说的纯数学研究的意义。特别是，我们是否应当明确肯定由"日常数学"过渡到"学校数学"的必要性，或是应当唯一地坚持立足于现实生活。
由于后一问题的全面分析已经超出了本文的范围，在此仅指明这样一点：与现实意义在一定程度上的分离对于学生很好地把握相应的数量关系是十分重要的。这正是国际上的相关研究、特别是近年来所兴起的"民俗数学"研究的一个重要结论：尽管"日常数学"具有密切联系实际的优点，但也有着明显的局限性。例如，如果仅仅依靠"自发的数学能力"，人们往往就不善于从反面去思考问题，与此相对照，通过学校中的学习，上述的情况就会有很大改变，这就是说，纯数学的研究"在帮助学生学会使用逆运算来解决问题方面有着明显的效果"；另外，同样重要的是，如果局限于特定的现实情景，所学到的数学知识在"可迁移性"方面也会表现出很大的局限性。
二、凝聚：算术思维的基本形式
由以下关于算术思维基本形式的分析可以看出，思维的分析相对于具体知识内容的教学而言并非某种外加的成分，而是有着重要的指导意义。
具体地说，这正是现代关于数学思维研究的一项重要成果，即指明了所谓的"凝聚"，也即由"过程"向"对象"的转化构成了算术以及代数思维的基本形式，这也就是说，在数学特别是算术和代数中有不少概念在最初是作为一个过程得到引进的，但最终却又转化成了一个对象──对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的运算。
例如，加减法在最初都是作为一种过程得到引进的，即代表了这样的"输入-输出"过程：由两个加数（被减数与减数）我们就可求得相应的和（差）；然而，随着学习的深入，这些运算又逐渐获得了新的意义：它们已不再仅仅被看成一个过程，而且也被认为是一个特定的数学对象，我们可具体地去指明它们所具有的各种性质，如交换律、结合律等，从而，就其心理表征而言，就已经历了一个"凝聚"的过程，即由一个包含多个步骤的运作过程凝聚成了单一的数学对象。
三、互补与整合：数学思维的一个重要特征
以上关于"过程-对象性思维"的论述显然已从一个侧面表明了互补与整合这一思维形式对于数学的特殊重要性。以下再以有理数的学习为例对此作出进一步的说明。
首先，我们应注意同一概念的不同解释间的互补与整合。
具体地说，与加减法一样，有理数的概念也存在多种不同的解释，如部分与整体的关系，商，算子或函数，度量，等等；但是，正如人们所已普遍认识到了的，就有理数的理解而言，关键恰又在于不应停留于某种特定的解释，更不能将各种解释看成互不相关、彼此独立的；而应对有理数的各种解释（或者说，相应的心理建构）很好地加以整合，也即应当将所有这些解释都看成同一概念的不同侧面，并能根据情况与需要在这些解释之间灵活地作出必要的转换。
其次，我们应注意不同表述形式之间的相互补充与相互作用。
这也正是新一轮数学课程改革的一个重要特征，即突出强调学生的动手实践、主动探索与合作交流："有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式......教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。"由于实践活动（包括感性经验）构成了数学认识活动的重要基础，合作交流显然应被看成学习活动社会性质的直接体现和必然要求，因此，从这样的角度去分析，上述的主张就是完全合理的。
再次，我们应清楚地看到解题方法的多样性及其互补关系。
众所周知，大力提倡解题策略的多样化也是新一轮数学课程改革的一个重要特征："由于学生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多样的，教师应当尊重学生的想法，鼓励学生独立思考，提倡计算方法的多样化。"[7]（53）当然，在大力提倡解题策略多样化的同时，我们还应明确肯定思维优化的必要性，这就是说，我们不应停留于对于不同方法在数量上的片面追求，而应通过多种方法的比较帮助学生学会鉴别什么是较好的方法，包括如何依据不同的情况灵活地去应用各种不同的方法。显然，后者事实上也就从另一个角度更为清楚地表明了"互补与整合"确应被看成数学思维的一个重要特点。
综上可见，即使是小学数学的教学内容也同样体现了一些十分重要的数学思维形式及其特征性质，因此，在教学中我们应作出切实的努力以很好地落实"帮助学生学会基本的数学思想方法"这一重要目标。