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[摘 要] 根据“余角和补角”的地位与作用及其蕴涵的教育价值，通过“过程教育”指导下多次螺旋式加深发展的教学探索与反思，初步的理论求证与实践验证表明，探索中形成的教学操作方法对促进学生全面、和谐发展有积极的影响.
[关键词] 过程教育；余角和补角；教学探索；教学点评
■ 课例的背景
“过程教育”是旨在满足学生全面、和谐发展的需要，关注数学结果的形成、应用的过程和获得数学结果（或解决问题）之后的反思过程育人活动. 浙教版《义务教育教科书·数学》七年级上册“6.8余角和补角”是认识图形的初步知识的继续；其涉及的余角、补角概念和性质是后继学习几何与三角函数的基础知识，同一对象的多样化表示及三种语言之间的相互转化技能是进一步学习几何的基本技能；认识余角和补角的基本思路（产生并定义余角和补角→生成余角和补角的性质→用余角和补角的概念与性质解答有代表性的问题）具有普遍适用性. 余角和补角概念的形成过程和蕴涵的数形结合思想、归纳思想、多样化表示思想；生成余角和补角性质的过程和蕴涵的数形结合思想、归纳思想等；用余角和补角的概念与性质解决有代表性问题的过程和蕴涵的方程思想、研究几何命题的一般过程等，这些对发展学生的智力、能力和个性有积极的影响. 基于“过程教育”的“余角和补角”的教学怎样操作以发挥其蕴涵的教育价值？笔者在“过程教育”指导下的多次螺旋式加深发展的教学探索与反思的基础上，将形成的教学经验在余姚市全员研教活动中进行了再实践，课后获得了观课老师的广泛好评，现把它整理出来，以飨读者.
■ 教学实录
环节1：参与产生并定义余角和补角的活动——形成余角和补角的概念
师：我们知道，给定一个角（形），可以量出它的度数（数）；给定一个度数，也可以画出相应的角. 角与角之间也可以通过其度数来进行大小比较与运算.
师：现在请大家思考并回答下列问题.
师：在一副三角尺中，每块都有一个角是90°，那么每块三角尺其他两个角的和是多少度？
生1：每块三角尺其他两个角的和是90°.
师：好的. 由于两角和是90°对应的几何图形具有广泛存在性，并且这类几何图形有丰富的情景，为了以后研究和叙述的方便，我们给它一个名称：一般地，如图1所示，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角.
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师：根据两个角互为余角的含义，能再给出几个对应的几何图形吗？
生2：图2和图3都是互余角对应的几何图形.
师：好的. 类似地，两角和是180°对应的几何图形也具有广泛存在性，并且这类几何图形也有丰富的情景，为了以后研究和叙述的方便，我们也给它一个名称：一般地，如图4所示，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个角的补角.
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师：根据两个角互为补角的含义，能再给出几个对应的几何图形吗？
生3：图5和图6都是互补角对应的几何图形.
■
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师：好的. 若∠1和∠2互为余角，则可得怎样的数量关系？
生4：∠1 ∠2=90°或∠1=90°-∠2或∠2=90°-∠1.
师：若∠1和∠2互为补角，则可得怎样的数量关系？
生5：∠1 ∠2=180°或∠1=180°-∠2或∠2=180°-∠1.
师：好！现在老师提出一个反思性问题——获得两个角互为余角的概念经历了哪几个步骤？
生6：先从生活实例中抽象出两角和的等式，再讨论给出等式的意义，然后根据其数量特征用文字和符号进行命名.
师：好！在这个过程中，我们经历了形到数和数到形的转化过程，并且这个概念的含义具有双重性——既可作为判定（数到形），也可作为性质（形到数）.
师：获得两个角互为补角的概念用的是什么方法？
生7：获得两个角互为补角的概念用的是类比方法.
师：很好. 类比也是发现并提出问题的重要思想方法.
环节2：探索余角和补角的性质——生成余角和补角的两个性质
师：现在请大家依次完成下列任务.
（1）作图：借助三角尺作出尽可能多的图7中∠α的余角和图8中∠β的余角.
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（2）回答：①在图9（∠AOC=∠DOB=90°）中，∠1与∠2是否相等？为什么？
②在图10（∠AOC=∠DOB=90°）中，∠3与∠4是否相等？为什么？
③在图9和图10中，若∠α=∠β，则∠1与∠3是否相等？为什么？
（3）归纳：由此你能得出什么结论？
（4）说理：说明结论成立的依据是什么？
生8：同角的余角相等；等角的余角相等.
师：结论成立的依据是什么？
生9：余角的概念.
师：好！这样我们得到了余角的一个性质：同角或等角的余角相等.
师：类似地可以得出：同角或等角的补角相等.
师：现在，老师提出下列反思性问题，请大家发表自己的观点.
师：生成余角的性质经历了哪几个步骤？
生10：作图→计算→归纳→说理→表述.
师：生成补角的性质用的是什么方法？
生11：类比方法.
师：好！这两条性质在以后研究几何问题时会经常用到，其蕴涵的数学思想有：数形结合思想、归纳思想、类比思想等. 环节3：参与尝试知识应用的活动——合作解答有代表性的问题
师：现在请大家解答下列问题：
（1）若∠A的补角是∠A余角的4倍，则∠A多少度？
（2）若∠1的补角是∠1的3倍，则∠1多少度？
（3）若∠B的补角减去20°后，等于∠B余角的2倍，则∠B多少度？
师（待学生完成任务）：谁能回答问题（1）？
生12：∠A=60°.
师：好的. 谁能回答问题（2）？
生13：∠1=45°.
师：好的. 谁能回答问题（3）？
生14：∠B=20°.
师：好的. 现在老师提出下列反思性问题，请大家思考并回答.
上述求角的度数用的是什么思想方法？解题的关键是什么？
生15：用的是方程思想，解题的关键是根据题意列出方程.
师：很好！现在请大家解答下列问题.
若直线CD经过点O，且OC平分∠AOB，则∠AOD与∠BOD有何数量关系？
师：请大家依次完成下列任务：
（1）根据题意画出图形；
（2）在图形上标注已知条件；
（3）在观察的基础上猜想有关角的数量关系；
（4）分析解题思路；
（5）按规范书写解题过程.
生16：如图11所示，因为OC平分∠AOB，所以∠AOC=∠BOC. 又因为∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC，所以∠AOD=∠BOD.
师：好的. 解答这个几何问题经历了哪几个步骤？
生17：根据题意画出图形→在图形上标注已知条件→在观察的基础上猜想有关角的数量关系→分析解题思路→按规范书写解题过程.
师：好的. 现在请大家再解答下列问题.
如图12所示，射线OA表示北偏西30°（一般不能说成“西偏北60°”）方向，你能用类似的方法画图表示下列各方向吗？
（1）北偏东40°；
（2）南偏西50°（一般不说成“西偏南40°”）；
（3）东南方向（即南偏东45°）.
■
学生画图并表示上述方向，教师巡视并指导，然后组织学生进行交互反馈. 在此基础上，教师再要求学生用数字或希腊字母标注图中互余或互补的角，并把它们列举出来（只需分别列举出两对），然后教师进行示范，并指出方位角经常用于航海、航空、测绘中，在解决有关问题时会经常遇到，并进一步强调描述方位角的方法.
环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结
师：本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？
生18：本节课主要研究了余角和补角的概念，及余角和补角的性质. 研究余角概念的基本过程是“从生活实例中抽象出两角和的等式→讨论给出等式的意义→用文字和符号进行命名→用图形语言和符号语言表示互余角和互补角”，研究补角概念用的是类比方法；研究余角性质的基本过程是“作图→计算→归纳→说理→表述”，研究补角性质用的是类比方法.
师：很好. 描述互余角和互补角有几种方式？
生19：描述互余角和互补角有三种方式：文字语言；符号语言；图形语言.
师：好的. 一般地，研究几何问题要经历哪几个步骤？
生20：根据题意画出图形→在图形上标注已知条件→在观察的基础上猜想→分析解题思路→按规范书写解题过程→解题后的反思（总结解题方法等）.
师：好的. 描述方位角的规则是什么？
生21：描述方位角的规则是“北偏东几度”“北偏西几度”或“南偏东几度”“南偏西几度”.
师：不错. 互余角和互补角的性质是后继学习几何和三角函数的理论基础，三种语言之间的相互转化技能和描述或确定方位角的技能是进一步学习所需要的基本技能.
■ 教学点评
因为“过程教育”旨在促进学生全面、和谐地发展，所以基于“过程教育”的数学教学的基本要求是：教学内容全面；认知过程完整；教学方法和谐. 这节课的教学操作符合基于“过程教育”的数学教学的基本要求，对促进学生全面、和谐地发展有积极的影响.
1. “参与产生并定义余角和补角的活动”的教学符合“过程教育”
余角和补角可以看成是从生活实例中抽象出来的，也可以看成是从两角和的等式中演绎出来的，但采用从生活实例中抽象出来的方式，其教学价值更大——暗示了“形→数→形”的转化思想. 尽管余角和补角概念的教学要求是了解，但教材对余角和补角的概念处于“抽象”层次. 当前，在这节课的教学中，普遍没有把蕴涵的思想方法纳入教学范围，并且存在获得概念的认知过程短暂和获得概念之后的反思过程缺失的现象. 这个参与式数学活动的内容不仅包括余角和补角的概念，也包括概念的形成过程和蕴涵的数形结合思想、类比思想和三种语言之间的转化技能等；认知过程既有抽象、归纳、命名、表示、类比等，以获得余角和补角的概念，也有获得概念之后的反思，以认识命名余角和补角的步骤及感悟蕴涵的数学思想；教学采用了教师价值引导与学生自主建构相结合的方法，这符合“过程教育”，能使学生知道互余角和互补角的常见几何模型，能使学生经历获得余角和补角概念的实质性思维过程和感悟蕴涵的数形结合思想等，以及概念的双重性含义，并对发展学生的智慧有积极的影响.
2. “探索余角和补角的性质”的教学符合“过程教育”
余角和补角的性质在解决物理问题和几何问题中会经常用到，研究余角和补角性质的过程具有普遍适用性. 当前，在这节课的教学中普遍没有把生成性质的过程列入教学内容，并且存在生成性质的过程短暂和生成性质之后的反思过程缺失的问题. 这个探索性数学活动的内容不仅包括余角和补角的性质，也包括研究余角和补角性质的方法及蕴涵的归纳思想和类比思想等；认知过程既有具体的活动或操作、有理性的思考，以生成余角和补角的性质，也有生成性质之后的反思，以感悟研究性质的方法和蕴涵的数形结合思想、类比思想等；教学采用了教师价值引导与学生自主建构相结合的先放后收方法，符合“过程教育”，能使学生理解余角和补角的性质，并对发展学生的智慧、感悟研究几何图形性质的一般过程和蕴涵的数学思想有积极的影响.
3. “参与尝试知识应用的活动”的教学符合“过程教育”
用获得的概念和生成的性质解决具体问题是整节课认知过程的后半段. 教材只要求会用方程思想方法求角的度数和用有关知识解决一些简单的问题（包括画图基础上判断角的大小关系和按要求确定方位角）. 当前，在这节课的教学中普遍没有关注蕴涵的思想方法，并且存在解题之前分析过程短暂和解题之后反思过程缺失的问题，而是采用“大容量、快节奏、高强度”的应试模式. 这个参与式数学活动的内容不仅包括用有关知识解决具体问题，也包括解题的过程和蕴涵的几何计算中常用的方程思想方法、研究几何命题的一般过程、描述方向的规则等；认知过程既有具体的解题活动，以解决具体问题，也有解题之后的反思，以感悟蕴涵的数学思想方法；教学采用了教师价值引导下学生独立学习和独立学习基础上的交互反馈方式，符合“过程教育”，对发展学生的智慧技能和感悟蕴涵的数学思想与积累数学活动经验有积极的作用.
4. “参与回顾与思考的活动”的教学符合“过程教育”
课堂总结也是整节课认知过程的后半段，旨在再认识研究内容和研究方法，及进一步感受研究的意义. 当前，课堂总结教学普遍采用的是让学生谈收获与感受的方式，由于问题的开放度较大，加之初中生缺乏谈收获与感受的视角与视点，导致这个环节成了虚设. 这个参与式数学活动的内容不仅包括回顾研究内容，也包括回顾研究方法；认知过程既有围绕“问题清单”进行回顾与思考，也有合作交流；教学采用了“问题清单”价值引导下的先放后收适度开放方法，符合“过程教育”，有助于学生将所学的知识纳入自己的认知结构，并对增强学生的反思意识和发展学生的语言表达能力有积极的影响.
总之，“过程教育”能满足学生全面、和谐发展的需要，而这节课全面的教学内容、完整的认知过程、和谐的教学方法符合基于“过程教育”的数学教学基本要求，对促进学生全面、和谐发展有积极的影响，并具有普遍的适用性，值得参考、研究.
[关键词] 过程教育；余角和补角；教学探索；教学点评
■ 课例的背景
“过程教育”是旨在满足学生全面、和谐发展的需要，关注数学结果的形成、应用的过程和获得数学结果（或解决问题）之后的反思过程育人活动. 浙教版《义务教育教科书·数学》七年级上册“6.8余角和补角”是认识图形的初步知识的继续；其涉及的余角、补角概念和性质是后继学习几何与三角函数的基础知识，同一对象的多样化表示及三种语言之间的相互转化技能是进一步学习几何的基本技能；认识余角和补角的基本思路（产生并定义余角和补角→生成余角和补角的性质→用余角和补角的概念与性质解答有代表性的问题）具有普遍适用性. 余角和补角概念的形成过程和蕴涵的数形结合思想、归纳思想、多样化表示思想；生成余角和补角性质的过程和蕴涵的数形结合思想、归纳思想等；用余角和补角的概念与性质解决有代表性问题的过程和蕴涵的方程思想、研究几何命题的一般过程等，这些对发展学生的智力、能力和个性有积极的影响. 基于“过程教育”的“余角和补角”的教学怎样操作以发挥其蕴涵的教育价值？笔者在“过程教育”指导下的多次螺旋式加深发展的教学探索与反思的基础上，将形成的教学经验在余姚市全员研教活动中进行了再实践，课后获得了观课老师的广泛好评，现把它整理出来，以飨读者.
■ 教学实录
环节1：参与产生并定义余角和补角的活动——形成余角和补角的概念
师：我们知道，给定一个角（形），可以量出它的度数（数）；给定一个度数，也可以画出相应的角. 角与角之间也可以通过其度数来进行大小比较与运算.
师：现在请大家思考并回答下列问题.
师：在一副三角尺中，每块都有一个角是90°，那么每块三角尺其他两个角的和是多少度？
生1：每块三角尺其他两个角的和是90°.
师：好的. 由于两角和是90°对应的几何图形具有广泛存在性，并且这类几何图形有丰富的情景，为了以后研究和叙述的方便，我们给它一个名称：一般地，如图1所示，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角.
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师：根据两个角互为余角的含义，能再给出几个对应的几何图形吗？
生2：图2和图3都是互余角对应的几何图形.
师：好的. 类似地，两角和是180°对应的几何图形也具有广泛存在性，并且这类几何图形也有丰富的情景，为了以后研究和叙述的方便，我们也给它一个名称：一般地，如图4所示，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个角的补角.
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师：根据两个角互为补角的含义，能再给出几个对应的几何图形吗？
生3：图5和图6都是互补角对应的几何图形.
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师：好的. 若∠1和∠2互为余角，则可得怎样的数量关系？
生4：∠1 ∠2=90°或∠1=90°-∠2或∠2=90°-∠1.
师：若∠1和∠2互为补角，则可得怎样的数量关系？
生5：∠1 ∠2=180°或∠1=180°-∠2或∠2=180°-∠1.
师：好！现在老师提出一个反思性问题——获得两个角互为余角的概念经历了哪几个步骤？
生6：先从生活实例中抽象出两角和的等式，再讨论给出等式的意义，然后根据其数量特征用文字和符号进行命名.
师：好！在这个过程中，我们经历了形到数和数到形的转化过程，并且这个概念的含义具有双重性——既可作为判定（数到形），也可作为性质（形到数）.
师：获得两个角互为补角的概念用的是什么方法？
生7：获得两个角互为补角的概念用的是类比方法.
师：很好. 类比也是发现并提出问题的重要思想方法.
环节2：探索余角和补角的性质——生成余角和补角的两个性质
师：现在请大家依次完成下列任务.
（1）作图：借助三角尺作出尽可能多的图7中∠α的余角和图8中∠β的余角.
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（2）回答：①在图9（∠AOC=∠DOB=90°）中，∠1与∠2是否相等？为什么？
②在图10（∠AOC=∠DOB=90°）中，∠3与∠4是否相等？为什么？
③在图9和图10中，若∠α=∠β，则∠1与∠3是否相等？为什么？
（3）归纳：由此你能得出什么结论？
（4）说理：说明结论成立的依据是什么？
生8：同角的余角相等；等角的余角相等.
师：结论成立的依据是什么？
生9：余角的概念.
师：好！这样我们得到了余角的一个性质：同角或等角的余角相等.
师：类似地可以得出：同角或等角的补角相等.
师：现在，老师提出下列反思性问题，请大家发表自己的观点.
师：生成余角的性质经历了哪几个步骤？
生10：作图→计算→归纳→说理→表述.
师：生成补角的性质用的是什么方法？
生11：类比方法.
师：好！这两条性质在以后研究几何问题时会经常用到，其蕴涵的数学思想有：数形结合思想、归纳思想、类比思想等. 环节3：参与尝试知识应用的活动——合作解答有代表性的问题
师：现在请大家解答下列问题：
（1）若∠A的补角是∠A余角的4倍，则∠A多少度？
（2）若∠1的补角是∠1的3倍，则∠1多少度？
（3）若∠B的补角减去20°后，等于∠B余角的2倍，则∠B多少度？
师（待学生完成任务）：谁能回答问题（1）？
生12：∠A=60°.
师：好的. 谁能回答问题（2）？
生13：∠1=45°.
师：好的. 谁能回答问题（3）？
生14：∠B=20°.
师：好的. 现在老师提出下列反思性问题，请大家思考并回答.
上述求角的度数用的是什么思想方法？解题的关键是什么？
生15：用的是方程思想，解题的关键是根据题意列出方程.
师：很好！现在请大家解答下列问题.
若直线CD经过点O，且OC平分∠AOB，则∠AOD与∠BOD有何数量关系？
师：请大家依次完成下列任务：
（1）根据题意画出图形；
（2）在图形上标注已知条件；
（3）在观察的基础上猜想有关角的数量关系；
（4）分析解题思路；
（5）按规范书写解题过程.
生16：如图11所示，因为OC平分∠AOB，所以∠AOC=∠BOC. 又因为∠AOD=180°-∠AOC，∠BOD=180°-∠BOC，所以∠AOD=∠BOD.
师：好的. 解答这个几何问题经历了哪几个步骤？
生17：根据题意画出图形→在图形上标注已知条件→在观察的基础上猜想有关角的数量关系→分析解题思路→按规范书写解题过程.
师：好的. 现在请大家再解答下列问题.
如图12所示，射线OA表示北偏西30°（一般不能说成“西偏北60°”）方向，你能用类似的方法画图表示下列各方向吗？
（1）北偏东40°；
（2）南偏西50°（一般不说成“西偏南40°”）；
（3）东南方向（即南偏东45°）.
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学生画图并表示上述方向，教师巡视并指导，然后组织学生进行交互反馈. 在此基础上，教师再要求学生用数字或希腊字母标注图中互余或互补的角，并把它们列举出来（只需分别列举出两对），然后教师进行示范，并指出方位角经常用于航海、航空、测绘中，在解决有关问题时会经常遇到，并进一步强调描述方位角的方法.
环节4：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结
师：本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？
生18：本节课主要研究了余角和补角的概念，及余角和补角的性质. 研究余角概念的基本过程是“从生活实例中抽象出两角和的等式→讨论给出等式的意义→用文字和符号进行命名→用图形语言和符号语言表示互余角和互补角”，研究补角概念用的是类比方法；研究余角性质的基本过程是“作图→计算→归纳→说理→表述”，研究补角性质用的是类比方法.
师：很好. 描述互余角和互补角有几种方式？
生19：描述互余角和互补角有三种方式：文字语言；符号语言；图形语言.
师：好的. 一般地，研究几何问题要经历哪几个步骤？
生20：根据题意画出图形→在图形上标注已知条件→在观察的基础上猜想→分析解题思路→按规范书写解题过程→解题后的反思（总结解题方法等）.
师：好的. 描述方位角的规则是什么？
生21：描述方位角的规则是“北偏东几度”“北偏西几度”或“南偏东几度”“南偏西几度”.
师：不错. 互余角和互补角的性质是后继学习几何和三角函数的理论基础，三种语言之间的相互转化技能和描述或确定方位角的技能是进一步学习所需要的基本技能.
■ 教学点评
因为“过程教育”旨在促进学生全面、和谐地发展，所以基于“过程教育”的数学教学的基本要求是：教学内容全面；认知过程完整；教学方法和谐. 这节课的教学操作符合基于“过程教育”的数学教学的基本要求，对促进学生全面、和谐地发展有积极的影响.
1. “参与产生并定义余角和补角的活动”的教学符合“过程教育”
余角和补角可以看成是从生活实例中抽象出来的，也可以看成是从两角和的等式中演绎出来的，但采用从生活实例中抽象出来的方式，其教学价值更大——暗示了“形→数→形”的转化思想. 尽管余角和补角概念的教学要求是了解，但教材对余角和补角的概念处于“抽象”层次. 当前，在这节课的教学中，普遍没有把蕴涵的思想方法纳入教学范围，并且存在获得概念的认知过程短暂和获得概念之后的反思过程缺失的现象. 这个参与式数学活动的内容不仅包括余角和补角的概念，也包括概念的形成过程和蕴涵的数形结合思想、类比思想和三种语言之间的转化技能等；认知过程既有抽象、归纳、命名、表示、类比等，以获得余角和补角的概念，也有获得概念之后的反思，以认识命名余角和补角的步骤及感悟蕴涵的数学思想；教学采用了教师价值引导与学生自主建构相结合的方法，这符合“过程教育”，能使学生知道互余角和互补角的常见几何模型，能使学生经历获得余角和补角概念的实质性思维过程和感悟蕴涵的数形结合思想等，以及概念的双重性含义，并对发展学生的智慧有积极的影响.
2. “探索余角和补角的性质”的教学符合“过程教育”
余角和补角的性质在解决物理问题和几何问题中会经常用到，研究余角和补角性质的过程具有普遍适用性. 当前，在这节课的教学中普遍没有把生成性质的过程列入教学内容，并且存在生成性质的过程短暂和生成性质之后的反思过程缺失的问题. 这个探索性数学活动的内容不仅包括余角和补角的性质，也包括研究余角和补角性质的方法及蕴涵的归纳思想和类比思想等；认知过程既有具体的活动或操作、有理性的思考，以生成余角和补角的性质，也有生成性质之后的反思，以感悟研究性质的方法和蕴涵的数形结合思想、类比思想等；教学采用了教师价值引导与学生自主建构相结合的先放后收方法，符合“过程教育”，能使学生理解余角和补角的性质，并对发展学生的智慧、感悟研究几何图形性质的一般过程和蕴涵的数学思想有积极的影响.
3. “参与尝试知识应用的活动”的教学符合“过程教育”
用获得的概念和生成的性质解决具体问题是整节课认知过程的后半段. 教材只要求会用方程思想方法求角的度数和用有关知识解决一些简单的问题（包括画图基础上判断角的大小关系和按要求确定方位角）. 当前，在这节课的教学中普遍没有关注蕴涵的思想方法，并且存在解题之前分析过程短暂和解题之后反思过程缺失的问题，而是采用“大容量、快节奏、高强度”的应试模式. 这个参与式数学活动的内容不仅包括用有关知识解决具体问题，也包括解题的过程和蕴涵的几何计算中常用的方程思想方法、研究几何命题的一般过程、描述方向的规则等；认知过程既有具体的解题活动，以解决具体问题，也有解题之后的反思，以感悟蕴涵的数学思想方法；教学采用了教师价值引导下学生独立学习和独立学习基础上的交互反馈方式，符合“过程教育”，对发展学生的智慧技能和感悟蕴涵的数学思想与积累数学活动经验有积极的作用.
4. “参与回顾与思考的活动”的教学符合“过程教育”
课堂总结也是整节课认知过程的后半段，旨在再认识研究内容和研究方法，及进一步感受研究的意义. 当前，课堂总结教学普遍采用的是让学生谈收获与感受的方式，由于问题的开放度较大，加之初中生缺乏谈收获与感受的视角与视点，导致这个环节成了虚设. 这个参与式数学活动的内容不仅包括回顾研究内容，也包括回顾研究方法；认知过程既有围绕“问题清单”进行回顾与思考，也有合作交流；教学采用了“问题清单”价值引导下的先放后收适度开放方法，符合“过程教育”，有助于学生将所学的知识纳入自己的认知结构，并对增强学生的反思意识和发展学生的语言表达能力有积极的影响.
总之，“过程教育”能满足学生全面、和谐发展的需要，而这节课全面的教学内容、完整的认知过程、和谐的教学方法符合基于“过程教育”的数学教学基本要求，对促进学生全面、和谐发展有积极的影响，并具有普遍的适用性，值得参考、研究.