论文部分内容阅读
[摘 要] 变式训练在初中数学教学过程中是最为常见的一种教学形式，变式的过程中不仅仅是改变题目呈现的形式、变换题目中的条件、更改问题的答案，更多的是通过“变”来引导学生思维的多角度转变，以此引导学生以不变的思维习惯和思维方法来解决千变万化的问题，分析“变”的本质，剖析“变”的目的，吃透“变”的价值，最终提升应“变”能力.
[关键词] 变式；思维；资源；规律；初中数学
数学是灵活的，这个特点在初中阶段的知识内容当中就已经初露端倪了. 从某种程度上来讲，灵活多变的特点为初中数学学习增加了不小的难度，与此同时，也为数学教学的创新完善开辟了一个全新的方向. 如果说，一味向教学过程当中增加知识数量，是对教学内容的横向扩展的话，那么，立足于当前的知识范围，通过对知识进行灵活变化的方式挖掘深度、丰富内涵，则是对教学内容的纵向探寻. 这既是本文将要讨论的变式教学的理论基础，更是优质的初中数学教学所必不可少的开展角度.
一题多解，激发灵活思维
一题多解是变式教学当中一个十分重要的表现形式. 在初中数学当中，题目所对应的知识内容虽然是固定的，但解答题目的思想方法却并不是绝对唯一的. 为同一个数学问题找到多种解答思路，虽然对学生的思维提出了不小的挑战，却能有效激活学生的头脑，让他们在开展多角度思考的过程当中，调动多重知识方法. 对于数学学习来讲，这既是巩固，也是创新.
例如，带领学生学习方程组的解法时，笔者请大家尝试由三元一次方程组13x 5y 9z=9.25，2x 4y 3z=3.20 求得x y z的值. 未知数有三个，条件却只有两个，显然无法通过常规方法将x，y，z逐个解出. 既然两个方程只能求解两个未知数，同学们首先会提出，可以采用主元法，将其中的两个字母视为主元，将另一个字母视为常数，对两个主元分别表示并进行计算，作为常数的字母则可自然消去. 笔者又进一步启发学生，能否将x y z作为一个整体来凑整？大家发现，将方程组中的两式相加再除以3后可得5x 3y 4z=4.15，将之与第二个式子相加便可以凑出7（x y z）=7.35，顺利求解. 在此基础上，学生又逐渐探讨总结出了参数法，即设x y z=k加入方程组，最后将参数k消去. 不断寻找新解法的同时，学生的数学思维也灵活起来了.
起初，学生并不习惯一题多解的思维模式，甚至很多学生将之视为一种负担. 明明很容易就把问题解出来了，为什么还要停下来继续找出其他方法呢？但是，在教师的一再引导与坚持启发之下，学生会逐渐感受到，如果能够运用多种方法来解答同一个数学问题，往往能产生一种充实的体验，好像借助一道题目的解答就能唤醒多个内容的记忆，加倍提升学习效率. 一段时间后，一题多解已成为学生的思考习惯，学习效果也在多角度思维的过程中得到显著提升，而且学生在实际应用过程中也会站在多个角度去分析哪种解法更简单、更便捷，久而久之，学生的思维广度和深度都会得到有效的训练和提升.
一题多变，挖掘既有资源
一题多解是从思维的纵向拓展角度提出的，一题多变则是从横向角度进行的教学变式. 对于同一个数学问题，我们不仅可以从解答环节进行多变思考，还可以将这个变式入口提前，从问题的提出环节就开始. 一题多变的适用，让同样的知识内容产生了多种形式的提问方法，能无形中引导学生从多个方向深入知识内核，完成对既有知识内容的深入、完整的探索，从纵向方面将知识的体系进行完善.
例如，在对多项式内容进行教学时，出现了这样一个问题：多项式2x2y3-3x3y 4xy-5的项数和次数分别是多少？为了加深学生对多项式基本概念的理解，笔者又将这个问题进行了如下变化：（1）已知关于x，y的多项式2xm-1y3-3x3y 4xy-5是五次四项式，求正整数m的值；（2）已知关于x，y的多项式2xm-1y3-3x3y 4xy-5是四次四项式，求正整数m的值；（3）已知关于x，y的多项式xy3-kxm-1y 4xy-5是四次三项式，求k和m的值.
一题多变，就像是在数学教学过程中变了一个魔术，让一个问题瞬间演变成多个更有意思的问题. 虽然数学教学需要触发学生的灵动思维，但是，教师们需要意识到，灵动的思维并不一定需要大量的教学资料来支撑. 从上述示例当中不难发现，既有的教学资源并不在多，而是通过不断的变式拓展实现了资源的深入挖掘，以一个问题为中心，引发出了多个相关问题. 也正是这些问题，带领着学生的思维走向更深的地方. 不过，教师在课堂教学过程中的变式也不能变得太广，一题多变的深度和广度一定要建立在学生能够达到的思维高度和深度，按需施教、以学定“变”.
一题多导，打开思考维度
初中阶段的数学教学逐渐出现了越来越多的疑难问题，这些问题对于学生的知识能力水平要求较高，对于接触新知识不久的学生来讲，一下子达到这种高度比较困难. 为此，教师们就需要想办法为学生的数学思维搭建阶梯，层层铺垫，让他们能够更加顺利地完成预期的问题解答. 这时，变式教学的思维就会派上用场. 将既有的待探究问题变化为多个难度弱化的小问题，分别导入启发，往往能够取得更为理想的教学效果，即我们在这里所提到的“一题多导”.
解答复杂问题就像在爬山. 如果坡度过大，难于行进，便可以多拐几个弯，多搭几级台阶，虽然会延长一些路程，却可以让爬山的过程更加轻松，也更有把握到达顶峰. 面对难度较大的数学问题也是一样，通过对最终问题进行灵活变式与拆分，能为学生提供一个顺畅的思维梯度. 在这个逐级引导的过程当中，学生的思维维度得到了拓宽与延展，从直接面向一个点开展思考，转化成以一条线的形式逐步深入，在完成问题探究的同时，也实现了知识的全面掌握. 这种一题多导的方式在启迪学生智慧、帮助学生解决问题的同时，还教会了学生如何分析问题、思考问题，最终帮助学生提升分析问题、解决问题的能力，达成“授之以渔”的效果. 多题一解，巧妙寻找规律
为了实现变式教学的创新，教师们还可以选择恰当的时机从逆向进行教学设计，多题一解的教学模式便是其中具有代表性的一种. 前文已经论述过一题多解的教学优势，如果教师们能够将这个过程反过来，将多个不同的问题呈现在学生面前，引导学生从中发现解题思路的相同部分，进而强化对该种解题思路的理解认识，也不失为一种非常巧妙的教学方法. 为同一种解题思路寻找多个具体问题，本身也是变式教学的一种呈现途径.
例如，在对矩形内容进行教学时，笔者向学生提出了如下几个问题：（1）如图4，一块锐角三角形铁皮，BC长80，高AD长60，现要将其加工为长、宽之比为2 ∶ 1的矩形零件，且矩形一边在BC上，另两个顶点P，Q分别在AB和AC上，则矩形的长与宽是多少？矩形的面积是多少？△APQ的面积是多少？（2）如图5，要将∠A为直角的三角形铁皮加工成矩形，使矩形一边在BC上，另两个顶点P，Q分别在AB和AC上，则PS，BS，CR之间有何关系？多个不同问题的解答，所需要的矩形思路有重合的部分，这也是笔者想让学生掌握的内容.
不难发现，多题一解的教学思路更加有利于学生自主发现数学问题解答当中的规律性. 初中数学中的问题变化多种多样，想要将其系统掌握，就必须从思想方法的层面进行把握和理解. 这种思想方法的内容比较抽象，仅靠教师的口头表述很难让学生真正理解其中的实质内涵，更不用说实际应用了. 引入多题一解的变式教学方法之后，效果便大大优化了. 多题的形式，为学生提供了丰富的研究资料. 在实际解答这些看似不同的问题的过程当中，学生自主发现其中的思维规律并不困难，且多次运用实现了对相应思想方法的强调. 几个问题解答下来，学生已经在潜移默化中深化了对该思想方法的巩固记忆和深化理解，无需教师多言，也可以完整而透彻地予以掌握，教学效果十分理想.
谈到变式教学，师生们首先想到的大多是一题多解或是一题多变. 其实，变式教学的内涵实质与表现形式是非常丰富的. 只要是将数学问题的非本质特征加以改变，围绕原问题形成新的角度、新的侧面与新的背景，都是成功的数学变式. 变式教学的应用，为初中数学呈现了多种样式的面貌，使得学生看到数学学习的多种色彩与可能性. 在这个变式的过程当中，学生的思维实现了灵动转化，并对相应的知识方法理解得更加深入、透彻了. 可以说，变式教学对于烘托教学积极氛围和深化学生知识感知来讲，均达到了事半功倍的效果.
[关键词] 变式；思维；资源；规律；初中数学
数学是灵活的，这个特点在初中阶段的知识内容当中就已经初露端倪了. 从某种程度上来讲，灵活多变的特点为初中数学学习增加了不小的难度，与此同时，也为数学教学的创新完善开辟了一个全新的方向. 如果说，一味向教学过程当中增加知识数量，是对教学内容的横向扩展的话，那么，立足于当前的知识范围，通过对知识进行灵活变化的方式挖掘深度、丰富内涵，则是对教学内容的纵向探寻. 这既是本文将要讨论的变式教学的理论基础，更是优质的初中数学教学所必不可少的开展角度.
一题多解，激发灵活思维
一题多解是变式教学当中一个十分重要的表现形式. 在初中数学当中，题目所对应的知识内容虽然是固定的，但解答题目的思想方法却并不是绝对唯一的. 为同一个数学问题找到多种解答思路，虽然对学生的思维提出了不小的挑战，却能有效激活学生的头脑，让他们在开展多角度思考的过程当中，调动多重知识方法. 对于数学学习来讲，这既是巩固，也是创新.
例如，带领学生学习方程组的解法时，笔者请大家尝试由三元一次方程组13x 5y 9z=9.25，2x 4y 3z=3.20 求得x y z的值. 未知数有三个，条件却只有两个，显然无法通过常规方法将x，y，z逐个解出. 既然两个方程只能求解两个未知数，同学们首先会提出，可以采用主元法，将其中的两个字母视为主元，将另一个字母视为常数，对两个主元分别表示并进行计算，作为常数的字母则可自然消去. 笔者又进一步启发学生，能否将x y z作为一个整体来凑整？大家发现，将方程组中的两式相加再除以3后可得5x 3y 4z=4.15，将之与第二个式子相加便可以凑出7（x y z）=7.35，顺利求解. 在此基础上，学生又逐渐探讨总结出了参数法，即设x y z=k加入方程组，最后将参数k消去. 不断寻找新解法的同时，学生的数学思维也灵活起来了.
起初，学生并不习惯一题多解的思维模式，甚至很多学生将之视为一种负担. 明明很容易就把问题解出来了，为什么还要停下来继续找出其他方法呢？但是，在教师的一再引导与坚持启发之下，学生会逐渐感受到，如果能够运用多种方法来解答同一个数学问题，往往能产生一种充实的体验，好像借助一道题目的解答就能唤醒多个内容的记忆，加倍提升学习效率. 一段时间后，一题多解已成为学生的思考习惯，学习效果也在多角度思维的过程中得到显著提升，而且学生在实际应用过程中也会站在多个角度去分析哪种解法更简单、更便捷，久而久之，学生的思维广度和深度都会得到有效的训练和提升.
一题多变，挖掘既有资源
一题多解是从思维的纵向拓展角度提出的，一题多变则是从横向角度进行的教学变式. 对于同一个数学问题，我们不仅可以从解答环节进行多变思考，还可以将这个变式入口提前，从问题的提出环节就开始. 一题多变的适用，让同样的知识内容产生了多种形式的提问方法，能无形中引导学生从多个方向深入知识内核，完成对既有知识内容的深入、完整的探索，从纵向方面将知识的体系进行完善.
例如，在对多项式内容进行教学时，出现了这样一个问题：多项式2x2y3-3x3y 4xy-5的项数和次数分别是多少？为了加深学生对多项式基本概念的理解，笔者又将这个问题进行了如下变化：（1）已知关于x，y的多项式2xm-1y3-3x3y 4xy-5是五次四项式，求正整数m的值；（2）已知关于x，y的多项式2xm-1y3-3x3y 4xy-5是四次四项式，求正整数m的值；（3）已知关于x，y的多项式xy3-kxm-1y 4xy-5是四次三项式，求k和m的值.
一题多变，就像是在数学教学过程中变了一个魔术，让一个问题瞬间演变成多个更有意思的问题. 虽然数学教学需要触发学生的灵动思维，但是，教师们需要意识到，灵动的思维并不一定需要大量的教学资料来支撑. 从上述示例当中不难发现，既有的教学资源并不在多，而是通过不断的变式拓展实现了资源的深入挖掘，以一个问题为中心，引发出了多个相关问题. 也正是这些问题，带领着学生的思维走向更深的地方. 不过，教师在课堂教学过程中的变式也不能变得太广，一题多变的深度和广度一定要建立在学生能够达到的思维高度和深度，按需施教、以学定“变”.
一题多导，打开思考维度
初中阶段的数学教学逐渐出现了越来越多的疑难问题，这些问题对于学生的知识能力水平要求较高，对于接触新知识不久的学生来讲，一下子达到这种高度比较困难. 为此，教师们就需要想办法为学生的数学思维搭建阶梯，层层铺垫，让他们能够更加顺利地完成预期的问题解答. 这时，变式教学的思维就会派上用场. 将既有的待探究问题变化为多个难度弱化的小问题，分别导入启发，往往能够取得更为理想的教学效果，即我们在这里所提到的“一题多导”.
解答复杂问题就像在爬山. 如果坡度过大，难于行进，便可以多拐几个弯，多搭几级台阶，虽然会延长一些路程，却可以让爬山的过程更加轻松，也更有把握到达顶峰. 面对难度较大的数学问题也是一样，通过对最终问题进行灵活变式与拆分，能为学生提供一个顺畅的思维梯度. 在这个逐级引导的过程当中，学生的思维维度得到了拓宽与延展，从直接面向一个点开展思考，转化成以一条线的形式逐步深入，在完成问题探究的同时，也实现了知识的全面掌握. 这种一题多导的方式在启迪学生智慧、帮助学生解决问题的同时，还教会了学生如何分析问题、思考问题，最终帮助学生提升分析问题、解决问题的能力，达成“授之以渔”的效果. 多题一解，巧妙寻找规律
为了实现变式教学的创新，教师们还可以选择恰当的时机从逆向进行教学设计，多题一解的教学模式便是其中具有代表性的一种. 前文已经论述过一题多解的教学优势，如果教师们能够将这个过程反过来，将多个不同的问题呈现在学生面前，引导学生从中发现解题思路的相同部分，进而强化对该种解题思路的理解认识，也不失为一种非常巧妙的教学方法. 为同一种解题思路寻找多个具体问题，本身也是变式教学的一种呈现途径.
例如，在对矩形内容进行教学时，笔者向学生提出了如下几个问题：（1）如图4，一块锐角三角形铁皮，BC长80，高AD长60，现要将其加工为长、宽之比为2 ∶ 1的矩形零件，且矩形一边在BC上，另两个顶点P，Q分别在AB和AC上，则矩形的长与宽是多少？矩形的面积是多少？△APQ的面积是多少？（2）如图5，要将∠A为直角的三角形铁皮加工成矩形，使矩形一边在BC上，另两个顶点P，Q分别在AB和AC上，则PS，BS，CR之间有何关系？多个不同问题的解答，所需要的矩形思路有重合的部分，这也是笔者想让学生掌握的内容.
不难发现，多题一解的教学思路更加有利于学生自主发现数学问题解答当中的规律性. 初中数学中的问题变化多种多样，想要将其系统掌握，就必须从思想方法的层面进行把握和理解. 这种思想方法的内容比较抽象，仅靠教师的口头表述很难让学生真正理解其中的实质内涵，更不用说实际应用了. 引入多题一解的变式教学方法之后，效果便大大优化了. 多题的形式，为学生提供了丰富的研究资料. 在实际解答这些看似不同的问题的过程当中，学生自主发现其中的思维规律并不困难，且多次运用实现了对相应思想方法的强调. 几个问题解答下来，学生已经在潜移默化中深化了对该思想方法的巩固记忆和深化理解，无需教师多言，也可以完整而透彻地予以掌握，教学效果十分理想.
谈到变式教学，师生们首先想到的大多是一题多解或是一题多变. 其实，变式教学的内涵实质与表现形式是非常丰富的. 只要是将数学问题的非本质特征加以改变，围绕原问题形成新的角度、新的侧面与新的背景，都是成功的数学变式. 变式教学的应用，为初中数学呈现了多种样式的面貌，使得学生看到数学学习的多种色彩与可能性. 在这个变式的过程当中，学生的思维实现了灵动转化，并对相应的知识方法理解得更加深入、透彻了. 可以说，变式教学对于烘托教学积极氛围和深化学生知识感知来讲，均达到了事半功倍的效果.