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[摘 要] 在初中数学课堂教学中践行探究性学习，不仅顺应了当今时代发展的要求，还迎合了学生核心素养的渐进式建构. 本文以人教版九年级数学“圆周角”的课堂教学为例，就初中数学课堂教学探究性学习进行具体阐述，并谈谈笔者的一些认识.
[关键词] 探究性学习；核心素养；经验积累；主动发展
在数学课堂教学中，发挥学生主动性是实施素质教育的重要前提. 《基礎教育课程改革纲要（试行）》也提出了转变学生学习方式的任务. 探究性学习是以学生已有知识、经验积累为基础，在学生主动参与的前提下，学生自己对问题进行不断地研究，在研究过程中获得创新实践能力、获得思维发展，从而自主构建知识体系. 在这个过程中，学生主动参与学习、学会学习，这些行为和效果也正好迎合了核心素养的建构和达成. 由此可见，探究性学习这种学习方式顺应了诸多方面的需求. 本文以人教版九年级数学“圆周角”的课堂教学为例，就初中数学课堂教学探究性学习进行具体阐述，并谈谈自己的一些认识，与同行们进行交流.
启发探究，助推新知生成
课堂实录1：圆周角概念的形成
师：观察图1所示的角，它与圆有怎样的位置关系？
生（观察、分析、议论）：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.
师：前面，我们把顶点在圆心的角称为圆心角，现在，这个角的顶点在圆上，即圆周上，那给它什么名称比较合适？
生：圆周角.
师：你能根据圆周角与圆的关系，给圆周角下个定义吗？
生：角的顶点在圆上，角的两边都与圆相交，这样的角叫圆周角.
师：想一想，能否给出更简练、明了的定义？
生：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角.
圆周角是和圆相关的角中的一种，考虑到学生已学过圆心角有关知识及类比等数学方法，教学中，教师没有简单地把圆周角的意义教给学生，而是引导学生通过观察感知、分析，提炼出圆周角与圆关系的两个特征，再运用类比的方法自觉生成圆周角的概念.
课堂实录2：圆周角定理结论的得出
师：如图2，若AB是⊙O的直径，则∠AOB等于多少？
生：∠AOB=180°.
师：利用量角器测量一下∠C，你得到它等于多少度？
生（画图、测量、议论）：∠C=90°.
师：我们再一起来研究图3，若A，B是⊙O的六等分点，则∠AOB等于多少度？
生：∠AOB=60°.
师：再测量一下∠C的大小.
生（画图、测量、议论）：∠C=30°.
师：由上述两个例子的研究，同学们大胆地猜想一下，一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间有怎样的关系？
生：圆周角等于圆心角的一半.
师：你能完整地叙述吗？
生：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
建构主义理论告诉我们，学生只有通过自己的探究与实践构建的知识体系才是符合他们的认知发展规律的. 教学中，教师通过创设几种特殊的问题情境，让学生经历画图、测量等探究活动，反复感知一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系，在此基础上，学生根据自己的感性认识进行大胆地猜想，自觉地生成了圆周角定理的结论，虽然这是一种初步的认识，但绝对是有效的认识.
深入探究，促进智力生长
课堂实录3：圆周角定理的证明
师：同学们画一些圆周角，分析一下圆心与圆周角有哪些位置关系？
生（画图、观察、分析、议论）：有三种.
学生回答后，教师画出图4展示.
师：圆心与圆周角的位置关系实际上也提示了同一条弧所对的圆心角与圆周角的位置关系. 那么图4中圆周角所对的圆心角如何表示？
生：连接OA，OB，圆心角是∠AOB.
师（画图）：这样得出的圆周角与圆心角的位置关系就有以下三种（如图5）.
教师强调：在命题给出的条件下，能画出三个不同的图形，在这种情况下，证明这样的命题时，就必须逐一加以证明.
学生通过自己的探究所发现的知识，有时则更需要加以论证. 像圆周角定理的证明需要分三种情况，其必要性无疑是本堂课教学中的一个难点. 教学中，教师巧妙地引导学生通过画图、观察、分析，探究出圆周角与圆心角的三种不同位置关系，其必要性成为学生探究后的一种自觉生成，从而有效地突破了教学难点.
师：先看图5（1），你能证明∠C=∠AOB吗？
学生思考后给出证明（证明略）. 教学过程显示，学生对此并不感到困难.
师：根据图5（2），你还能证明∠C=∠AOB吗？
教学过程显示，学生需要思考.
生：先作直径AD.
师：你是怎么思考的？说说你的想法.
生：（回答不出）
教师估计这个学生课前做了预习，但没有真正理解.
师：图5（1）是一种特殊情形，同学们都已经证明了，而图5（2）相对而言就是一般情形了，在证明时，我们不妨以图5（1）为基础，将问题转化，即将一般情形转化为特殊情形来处理，因此，这就让我们想到要作直径AD了（画出图6（1））. 根据图6（1），试写出证明过程.
一个学生上黑板演示.
师：现在，同学们有了图5（2）证明的经验，你能根据图5（3）来证明∠C=∠AOB吗？
生：能（学生根据图6（2）完成了证明）.
师：上面三种情形的证明过程是不是相同的？
生：不同.
师：通过刚才对定理的证明，你们有哪些体会？
生1：如果在命题的条件下，得到图形的位置关系不止一种时，且不论在什么情形下证明的方法又都不相同时，我们就应该逐一区分，加以证明. 生2：这种命题证明时，我们应该从特殊情形入手，然后，将一般情形转化为特殊情形来处理.
在教师的引导下，学生通过探究，明白了定理要分三种情形逐一加以证明的必要性，同时，我们知道，定理的证明是本堂课教学的又一个难点，如何突破这个难点呢？值得欣喜的是，教师再次引导学生进行探究，让学生懂得作出直径是随着思路的展开，以达到问题转化的必然结果.
变通探究，优化学以致用
课堂实录4：圆周角定义生成后
师：圆周角定义明确了角的顶点在圆上，且角的两边都要与圆相交. 那么，有没有这样的角：角的顶点不在圆上，而角的两边都和圆相交. 如果有，试画出图形.
生（画图、观察、议论）：有的.
教师让学生上前展示了所画的图（如图7）.
师：有没有这样的角：角的顶点在圆上，而角的两边不都与圆相交，如果有，试画出图形.
生（画图、观察、议论）：有的（展示如图8）.
师：刚才所画的角是不是圓周角？
生：不是.
师：大家想一想，怎样判断一个角是不是圆周角？要注意什么？
生：一看角顶点的位置是否在圆上，二看角的两边是否都与圆相交. 应该注意的是这两个特征必须要同时具备.
教学中发现，教师打破了先画图形，再让学生判断这一常规的教学手段，而是引领学生通过探究，画出反例，从侧面强化圆周角的两个特征，促使学生进一步理解、巩固了新知.
启发探究，启迪主动发展
课堂实录5：部分作业设置
1. 如图9，C是⊙O上一点，O是圆心，AD为直径，若∠C=145°，则∠AOB的度数为（ ）
A. 35° B. 70°C. 105° D. 110°
2. 如图10，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=20°，D是弧AC上任意一点，则∠D=______.
3. 如图11，已知点A，B，C在⊙O上，D，E在弦BC上，且BD=CE，∠1=∠2. 求证：AB=AC.
教师有效地提供对每个学生都具有一定挑战性的问题，从而使学生的思考得以延伸，让学生在探究解决问题的过程中，不断地增厚自己的数学素养，提升自己的学力，促进学生的主动发展.
反思探究，促进教学相长
在常态的教学中，我们要及时做好反思，一方面可以有效地服务于下阶段的教学，另一方面可以促进教师教学水平的提升，真正达到教学相长的效果. 基于本节课的探究与实践，笔者总结了以下几点反思和收获.
1. 在初中数学课堂教学中践行探究性学习，不仅顺应了当今时代发展的要求，而且探究性学习面向的是全体学生，关注的是学生的全面发展和主动发展，脚踏实地地实施素质教育. 对此，笔者认为，在初中数学教学中，恰当地选择教学内容，开展探究性学习是可行的、可操作的. 这样，不是单纯地把数学知识作为结论教给学生，而是把数学教学作为一种“过程”，激发学生的智慧和潜力.
2. 探究性学习可以激发学生学习的内在动机. 让学生对获得有用的知识本身发生兴趣，不是让他们为各种外来的奖励所左右，这是教育的职责之一. 探究性学习则是在可行的情况下，把学习作为一项有所发现又有所习得的“劳动”，这对初中生来说，也多少具有借助发现本身所提供的“奖赏”，进一步推动自己的学习，这在一定程度上可以摆脱外来动机的作用. 这种自我提高的内在动机，既是学生在校学习期间力图取得好成绩的一种手段，也是他们在将来的工作中谋求做出贡献的一种手段.
3. 学生的探究性学习离不开教师的指导. 探究不限于寻求人类尚未知晓的事物，它还应该包括用自己的头脑亲自经历获得知识的一切步骤. 学生在探究性学习中发现，主要是再发现. 众所周知，一个人完全靠自己的力量学习一切东西是既不必要，也不可能的. 因此，学生的探究性学习，总的来说是在教师的指导下进行的. 这就要求我们必须根据不同发展阶段的学生的特点、教材内容，设计一种有利于学生独立思考、探究的气氛，创设问题情境，提出一些诱发性问题，让学生体会到某种程度上的不确定性，引导学生根据已有知识、经验积累去独立探究，尽可能设置各种让学生去发现的机会，让学生在成功中增加学习动力.
在大数据时代，初中数学探究性学习是基于学生发展需要和时代潮流而生成的教学智慧，教师需要在这智慧的征途上，继续远行.
[关键词] 探究性学习；核心素养；经验积累；主动发展
在数学课堂教学中，发挥学生主动性是实施素质教育的重要前提. 《基礎教育课程改革纲要（试行）》也提出了转变学生学习方式的任务. 探究性学习是以学生已有知识、经验积累为基础，在学生主动参与的前提下，学生自己对问题进行不断地研究，在研究过程中获得创新实践能力、获得思维发展，从而自主构建知识体系. 在这个过程中，学生主动参与学习、学会学习，这些行为和效果也正好迎合了核心素养的建构和达成. 由此可见，探究性学习这种学习方式顺应了诸多方面的需求. 本文以人教版九年级数学“圆周角”的课堂教学为例，就初中数学课堂教学探究性学习进行具体阐述，并谈谈自己的一些认识，与同行们进行交流.
启发探究，助推新知生成
课堂实录1：圆周角概念的形成
师：观察图1所示的角，它与圆有怎样的位置关系？
生（观察、分析、议论）：①角的顶点在圆上；②角的两边都与圆相交.
师：前面，我们把顶点在圆心的角称为圆心角，现在，这个角的顶点在圆上，即圆周上，那给它什么名称比较合适？
生：圆周角.
师：你能根据圆周角与圆的关系，给圆周角下个定义吗？
生：角的顶点在圆上，角的两边都与圆相交，这样的角叫圆周角.
师：想一想，能否给出更简练、明了的定义？
生：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫作圆周角.
圆周角是和圆相关的角中的一种，考虑到学生已学过圆心角有关知识及类比等数学方法，教学中，教师没有简单地把圆周角的意义教给学生，而是引导学生通过观察感知、分析，提炼出圆周角与圆关系的两个特征，再运用类比的方法自觉生成圆周角的概念.
课堂实录2：圆周角定理结论的得出
师：如图2，若AB是⊙O的直径，则∠AOB等于多少？
生：∠AOB=180°.
师：利用量角器测量一下∠C，你得到它等于多少度？
生（画图、测量、议论）：∠C=90°.
师：我们再一起来研究图3，若A，B是⊙O的六等分点，则∠AOB等于多少度？
生：∠AOB=60°.
师：再测量一下∠C的大小.
生（画图、测量、议论）：∠C=30°.
师：由上述两个例子的研究，同学们大胆地猜想一下，一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间有怎样的关系？
生：圆周角等于圆心角的一半.
师：你能完整地叙述吗？
生：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
建构主义理论告诉我们，学生只有通过自己的探究与实践构建的知识体系才是符合他们的认知发展规律的. 教学中，教师通过创设几种特殊的问题情境，让学生经历画图、测量等探究活动，反复感知一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系，在此基础上，学生根据自己的感性认识进行大胆地猜想，自觉地生成了圆周角定理的结论，虽然这是一种初步的认识，但绝对是有效的认识.
深入探究，促进智力生长
课堂实录3：圆周角定理的证明
师：同学们画一些圆周角，分析一下圆心与圆周角有哪些位置关系？
生（画图、观察、分析、议论）：有三种.
学生回答后，教师画出图4展示.
师：圆心与圆周角的位置关系实际上也提示了同一条弧所对的圆心角与圆周角的位置关系. 那么图4中圆周角所对的圆心角如何表示？
生：连接OA，OB，圆心角是∠AOB.
师（画图）：这样得出的圆周角与圆心角的位置关系就有以下三种（如图5）.
教师强调：在命题给出的条件下，能画出三个不同的图形，在这种情况下，证明这样的命题时，就必须逐一加以证明.
学生通过自己的探究所发现的知识，有时则更需要加以论证. 像圆周角定理的证明需要分三种情况，其必要性无疑是本堂课教学中的一个难点. 教学中，教师巧妙地引导学生通过画图、观察、分析，探究出圆周角与圆心角的三种不同位置关系，其必要性成为学生探究后的一种自觉生成，从而有效地突破了教学难点.
师：先看图5（1），你能证明∠C=∠AOB吗？
学生思考后给出证明（证明略）. 教学过程显示，学生对此并不感到困难.
师：根据图5（2），你还能证明∠C=∠AOB吗？
教学过程显示，学生需要思考.
生：先作直径AD.
师：你是怎么思考的？说说你的想法.
生：（回答不出）
教师估计这个学生课前做了预习，但没有真正理解.
师：图5（1）是一种特殊情形，同学们都已经证明了，而图5（2）相对而言就是一般情形了，在证明时，我们不妨以图5（1）为基础，将问题转化，即将一般情形转化为特殊情形来处理，因此，这就让我们想到要作直径AD了（画出图6（1））. 根据图6（1），试写出证明过程.
一个学生上黑板演示.
师：现在，同学们有了图5（2）证明的经验，你能根据图5（3）来证明∠C=∠AOB吗？
生：能（学生根据图6（2）完成了证明）.
师：上面三种情形的证明过程是不是相同的？
生：不同.
师：通过刚才对定理的证明，你们有哪些体会？
生1：如果在命题的条件下，得到图形的位置关系不止一种时，且不论在什么情形下证明的方法又都不相同时，我们就应该逐一区分，加以证明. 生2：这种命题证明时，我们应该从特殊情形入手，然后，将一般情形转化为特殊情形来处理.
在教师的引导下，学生通过探究，明白了定理要分三种情形逐一加以证明的必要性，同时，我们知道，定理的证明是本堂课教学的又一个难点，如何突破这个难点呢？值得欣喜的是，教师再次引导学生进行探究，让学生懂得作出直径是随着思路的展开，以达到问题转化的必然结果.
变通探究，优化学以致用
课堂实录4：圆周角定义生成后
师：圆周角定义明确了角的顶点在圆上，且角的两边都要与圆相交. 那么，有没有这样的角：角的顶点不在圆上，而角的两边都和圆相交. 如果有，试画出图形.
生（画图、观察、议论）：有的.
教师让学生上前展示了所画的图（如图7）.
师：有没有这样的角：角的顶点在圆上，而角的两边不都与圆相交，如果有，试画出图形.
生（画图、观察、议论）：有的（展示如图8）.
师：刚才所画的角是不是圓周角？
生：不是.
师：大家想一想，怎样判断一个角是不是圆周角？要注意什么？
生：一看角顶点的位置是否在圆上，二看角的两边是否都与圆相交. 应该注意的是这两个特征必须要同时具备.
教学中发现，教师打破了先画图形，再让学生判断这一常规的教学手段，而是引领学生通过探究，画出反例，从侧面强化圆周角的两个特征，促使学生进一步理解、巩固了新知.
启发探究，启迪主动发展
课堂实录5：部分作业设置
1. 如图9，C是⊙O上一点，O是圆心，AD为直径，若∠C=145°，则∠AOB的度数为（ ）
A. 35° B. 70°C. 105° D. 110°
2. 如图10，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=20°，D是弧AC上任意一点，则∠D=______.
3. 如图11，已知点A，B，C在⊙O上，D，E在弦BC上，且BD=CE，∠1=∠2. 求证：AB=AC.
教师有效地提供对每个学生都具有一定挑战性的问题，从而使学生的思考得以延伸，让学生在探究解决问题的过程中，不断地增厚自己的数学素养，提升自己的学力，促进学生的主动发展.
反思探究，促进教学相长
在常态的教学中，我们要及时做好反思，一方面可以有效地服务于下阶段的教学，另一方面可以促进教师教学水平的提升，真正达到教学相长的效果. 基于本节课的探究与实践，笔者总结了以下几点反思和收获.
1. 在初中数学课堂教学中践行探究性学习，不仅顺应了当今时代发展的要求，而且探究性学习面向的是全体学生，关注的是学生的全面发展和主动发展，脚踏实地地实施素质教育. 对此，笔者认为，在初中数学教学中，恰当地选择教学内容，开展探究性学习是可行的、可操作的. 这样，不是单纯地把数学知识作为结论教给学生，而是把数学教学作为一种“过程”，激发学生的智慧和潜力.
2. 探究性学习可以激发学生学习的内在动机. 让学生对获得有用的知识本身发生兴趣，不是让他们为各种外来的奖励所左右，这是教育的职责之一. 探究性学习则是在可行的情况下，把学习作为一项有所发现又有所习得的“劳动”，这对初中生来说，也多少具有借助发现本身所提供的“奖赏”，进一步推动自己的学习，这在一定程度上可以摆脱外来动机的作用. 这种自我提高的内在动机，既是学生在校学习期间力图取得好成绩的一种手段，也是他们在将来的工作中谋求做出贡献的一种手段.
3. 学生的探究性学习离不开教师的指导. 探究不限于寻求人类尚未知晓的事物，它还应该包括用自己的头脑亲自经历获得知识的一切步骤. 学生在探究性学习中发现，主要是再发现. 众所周知，一个人完全靠自己的力量学习一切东西是既不必要，也不可能的. 因此，学生的探究性学习，总的来说是在教师的指导下进行的. 这就要求我们必须根据不同发展阶段的学生的特点、教材内容，设计一种有利于学生独立思考、探究的气氛，创设问题情境，提出一些诱发性问题，让学生体会到某种程度上的不确定性，引导学生根据已有知识、经验积累去独立探究，尽可能设置各种让学生去发现的机会，让学生在成功中增加学习动力.
在大数据时代，初中数学探究性学习是基于学生发展需要和时代潮流而生成的教学智慧，教师需要在这智慧的征途上，继续远行.